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所以本节课采用了复习引入课题,从特殊到一般的方法让学生易于接受。
在概念的探索过程中采用了举反例的方法来揭示概念的内涵。
在概念的应用即例题的设计方面,着重巩固对概念的两个条件的认识。
2、教学重点
“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念。
3、教学难点
怎样利用定义验证曲线是方程的曲线、方程是曲线的方程。
三、学情分析
此前,学生已知,在建立了直角坐标系后平面内的点和有序实数对之间建立了一一对应关系,已有了用方程(有时用函数式的形式出现)表示曲线的感性认识(特别是二元一次方程表示直线),现在要进一步研究平面内的曲线和含有两个变数的方程之间的关系,是由直观表象上升到抽象概念的过程,对学生有相当大的难度。
学生在学习时容易产生的问题是,不理解“曲线上的点的坐标都是方程的解”和“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”这两句话在揭示“曲线和方程”关系时各自所起的作用。
本节课的教学目标也只能是初步领会,要求学生能答出曲线和方程间必须满足两个关系时才能称作“曲线的方程”和“方程的曲线”两者缺一不可,并能借助实例指出两个关系的区别。
四、教学方法
1、教法:
教学过程是教师和学生共同参与的过程,启发学生自主性学习,充分调动学生的积极性、主动性;
有效地渗透数学思想方法,提高学生素质。
根据这样的原则和所要完成的教学目标,并为激发学生的学习兴趣,我采用如下的教学方法:
(1)引导探索、发现规律。
通过学生观察坐标系中的曲线和方程之间的关系,来得出曲线和方程的概念,这能充分调动学生的主动性和积极性。
(2)尝试指导法,以学生为主体,以训练为主线。
这样更能突出重点、解决难点,使学生的分析问题和解决问题的能力得到进一步的提高。
2、学法:
教给学生方法比教给学生知识更重要,本节课注重调动学生积极思考、主动探索,尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间,我进行了以下学法指导:
(1)观察分析:
让学生要学会观察问题,分析问题和解决问题。
(2)练习巩固:
让学生知道数学重在运用,从而巩固对概念的理解,找出未掌握的内容及其差距。
五:
教学活动程序
1、承上启下,提出课题
师:
在本节课之前,我们研究过直线的各种方程,建立了二元一次方程与直线的对应关系:
在平面直角坐标系中,任何一条直线都可以用一个二元一次方程来表示,同时任何一个二元一次方程也表示着一条直线。
下面看一个具体的例子:
例1:
画出方程表示的直线
y
(1)
(2)
借助多媒体让学生再一次从直观上深刻体会:
必须同时满足
(1)直线上的点的坐标都是方程的解和
(2)以这个方程的解为坐标的点都是直线上的点,即方程的解的集合与直线上所有点的集合之间建立了一一对应关系,那么
直线(图形)方程(数量)。
类比方程与如图所示的抛物线。
这条抛物线是否与这个二元方程也能建立这种对应关系呢?
(按照例1的分析方式的得出答案是肯定的.)
推广:
那么对任意的曲线和二元方程是否都能建立这种等价关系呢?
这就是今天这节课的内容:
曲线和方程。
(板书课题)
现在请同学们思考这样的问题:
方程的解与曲线C上的点的坐标具备怎样的关系,就能用方程表示曲线C,同时曲线C也表示着方程,为什么要具备这些条件?
(将问题重述一遍,使每个学生听清楚。
学生思考,讨论,口答)
2、运用反例,揭示内涵
刚才的讨论中,有的同学提到了应具备关系:
“曲线上的点的坐标都是方程的解”;
有的同学提到了应具备关系“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”;
还有的同学虽用了不同的提法,但意思不外乎这两个。
现在的问题是:
上述的两种提法一样吗?
它们反映的是不是同一个事实?
有何区别?
究竟用怎样的关系才能把例1中曲线和方程的这种对应关系完整的表达出来?
为了弄清这些问题,我们来研究下列例题。
例2:
用下列方程表示如图所示的曲线C,对吗?
为什么?
(1)
(2)
(3)
(学生思考,回答)
方程
(1),
(2),(3)都不是表示曲线C的方程。
第
(1)题中曲线C上的点不全是方程的解。
例如点,等,即不符合“曲线上的点的坐标都是方程的解”这一结论;
第
(2)题中,尽管“曲线上的点的坐标都是方程的解”,但是以方程的解为坐标的点却不全在曲线C上。
例如、等,即不符合“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”这一结论;
第(3)题中,则既有以方程的解坐标的点,如、等不在曲线C上,又有曲线C上的点,如、等的坐标不是方程的解。
事实上,
(1)、
(2)、(3)中各方程所表示的曲线应该是如图所示的三种情况。
(1)
(2)(3)
上面我们既观察、分析了完整地用方程表示曲线,用曲线表示方程的例1;
又观察、分析了例2中所出现的方程与曲线间所建立的不完整的对立关系。
假如我们把例1这种能完整地表示曲线的方程称为“曲线的方程”的话,我们完全有条件自己给“曲线的方程”下个定义了。
3、讨论归纳,得出定义
在下定义时,针对例2
(1)中“曲线上混有其坐标不是方程的解的点”,以及
(2)中“以方程的解为坐标的点不在曲线上”的情况,对“曲线的方程”应作何规定?
(学生口答)
为了不使曲线上混有其坐标不是方程的解的点,必须规定“
“曲线上的点的坐标都是方程的解”(板书);
为了防止以方程的解为坐标的点不在曲线上,必须规定“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”(板书)
这样我们可以对“曲线的方程”、“方程的曲线”下这样的定义:
在直角坐标系中,如果某曲线C上的点与一个二元方程的实数解建立了如下关系:
在平面直角坐标系中,如果曲线C与方程F(x,y)=0之间具有如下关系:
(1)曲线C上点的坐标都是方程F(x,y)=0的解;
(2)以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上,那么曲线C叫做方程F(x,y)=0的曲线,方程F(x,y)=0叫做曲线的方程。
一般地,一条曲线可以看成动点依某种条件运动的轨迹,所以曲线的方程又常称为满足某种条件的点的轨迹方程。
在坐标系选定以后,曲线被它的方程所唯一确定。
但曲线的方程不是唯一的,除与我们选取的坐标系有关外,在同一坐标系下,还会有同解方程。
由两条曲线的方程,可求出这两条曲线的交点的坐标。
已知两曲线方程F(x,y)=0,G(x,y)=0,交点坐标必须满足上述两个方程。
反之,如果某点是两方程的公共解,则此点必是两曲线交点。
故求两曲线交点只需要求两方程联立的实数解。
4、变换表达,强化理解
大家熟知,曲线可以看作是由点组成的集合,记作C;
一个二元方程的解可以作为点的坐标,因此二元方程的解集也描述了一个点集,记作F。
请大家思考:
如何用集合C和F间的关系来表述“曲线的方程”和“方程的曲线”定义中的两个关系?
进而重新认识“曲线的方程”和“方程的曲线”定义。
(学生思考、口答)
关系
(1)指点集C是点集F的子集;
关系
(2)指点集F是点集C的子集。
这样,根据集合的性质,我们可以用集合相等的概念来定义“曲线的方程”和“方程的曲线”,即(板书)
<====>。
5、初步应用,反复辨析
例3:
下列各题中,图所示的曲线C的方程为所列方程,对吗?
如果不对,是不符合关系
(1)还是关系
(2)?
曲线C为的中线曲线C是到坐标轴距离相等的点组成的直线
方程方程
曲线C是过点(4,1)的反比例函数图象
方程
学生回答:
(1)错。
不符合定义中的
(2),即;
(2)错。
不符合定义中的
(1),即;
(3)错。
不符合定义中的
(1)和
(2),即;
例4:
解答下列问题,并说出各依据了曲线的方程和方程的曲线定义中的哪一个关系?
(1)点是否在方程为的圆上?
(2)已知方程为的圆过点,求的值。
(学生练习、回答,老师纠错、小结。
)
师;
依据关系
(2),可知点在圆上;
依据关系
(1),可知点不在圆上;
依据关系
(2),求得;
例5:
证明以坐标原点为圆心,半径等于5的圆的方程是。
(学生练习过程中,适时插话。
与刚才判定时一样,证明也要紧扣定义分两步进行;
关系
(1)、
(2)中,“点”与“解”指的都是有关集合中的全体元素,我们只要用表示“任意一个”,以此代表“全体”即可,这种方法为数学证明中常用。
证明:
(略)
六、小结
本节课我们通过对实例的研究,掌握了“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义,在领会定义时,要牢记关系
(1)、
(2)两者缺一不可,它们都是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条件,两者都满足了,“曲线的方程”和“方程的曲线”才具备充分性。
即:
如果曲线C的方程是,那么点在曲线C上的充要条件是。
曲线和方程之间一一对应关系的确立,进一步把“曲线”与“方程”统一了起来。
在此基础上,我们就可以更多地用代数的方法研究几何问题。
2.1.2由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质(缺)
1教学目标
(1)知识与技能:
让学生理解坐标法的作用及意义,掌握求曲线方程的一般方法和步骤,能根据所给条件建立适当的坐标系求曲线方程。
(2)过程与方法:
通过自主探究,学生经历“特殊—一般—特殊”的认知模式,完善认知结构,体验坐标法在处理几何问题中的优越性。
(3)情感态度与价值观:
让学生感受数学问题探索的乐趣,体会数学的理性、严谨和实用,体现数学的文化价值。
2教材地位、作用
作为曲线内容学习的开始,“曲线与方程”既是“直线与方程”的自然延伸,又是学习“圆锥曲线”的必备,在解析几何的学习中起到了承上启下的作用。
“求曲线的方程”是第二课时,主要内容为求曲线方程的方法和步骤。
本课内容揭示了几何中的形与代数中的数相统一的关系,为“依形判数”与“就数论形”的相互转化开辟了途径。
求曲线方程是解析几何所要解决的两大类问题的首要问题,体现了坐标法的本质即代数化处理几何问题。
此外,本节有着很高的数学文化价值:
解析几何的发明是变量数学的第一个里程碑,也是近代数学崛起的标志之一。
重点:
求曲线方程的方法、步骤。
难点:
如何建立适当的坐标系将几何条件代数化。
3教法与学法
探究发现教学法、合作学习法、多媒体辅助教学。
4教学过程
【复习回顾】
“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念:
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
【复习引入】
由方程与曲线的概念可知,借助于坐标系,用坐标表示点,用方程表示曲线,通过研究方程的性质间接地研究曲线的性质,这就是我们反复提到的坐标法。
例1、设A、B两点的坐标分别是(-1,-1)和(3
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- 21 曲线 方程
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