高中数学人教A版必修三教学案第二章第2节第1课时用样本的频率分布估计总体分布含答案Word格式.docx
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(ⅰ)借助于图形
分析数据的一种基本方法是用图将它们画出来,此方法可以达到两个目的,一是从数据中提取信息,二是利用图形传递信息.
(ⅱ)借助于表格
分析数据的另一种方法是用紧凑的表格改变数据的排列方式,此方法是通过改变数据的构成形式,为我们提供解释数据的新方式.
(2)绘制频率分布直方图的步骤
(3)频率分布折线图和总体密度曲线
(4)茎叶图
①茎叶图的制作方法(以两位数据为例):
将所有两位数的十位数字作为茎,个位数字作为叶,茎相同者共用一个茎,茎按从小到大的顺序从上向下列出.
②茎叶图的优缺点
在样本数据较少时,用茎叶图表示数据的效果较好.它不但可以保留所有信息,而且可以随时记录,这对数据的记录和表示都能带来方便.但是当样本数据较多时,茎叶图就显得不太方便,因为每一个数据都要在图中占据一个空间,如果数据很多,茎叶就会很长.
[问题思考]
(1)频率分布直方图直观形象地表示了频率分布表,在频率分布直方图中是用哪些量来表示各组频率的?
在频率分布直方图中用每个矩形的面积表示相应组的频率,即×
组距=频率,各组频率的和等于1,因此各小矩形的面积的和等于1.
(2)茎叶图中对“叶”和“茎”有什么要求?
茎叶图中,“叶”是数据的最后一个数字,其前面的数字作为“茎”.
[课前反思]
通过以上预习,必须掌握的几个知识点:
(1)绘制频率分布直方图的步骤:
;
(2)频率分布折线图和总体密度曲线的制作方法:
(3)茎叶图的制作方法:
.
[思考] 频率分布表、频率分布直方图各有什么优缺点?
名师指津:
(1)频率分布表在数量表示上比较确切,但不够直观、形象,分析数据分布的总体态势不太方便.
(2)频率分布直方图能够很容易地表示大量数据,非常直观地表明分布的形状,使我们能够看到在分布表中看不清楚的数据模式.但是从直方图本身得不出原始数据内容,也就是说,把数据表示成直方图后,原有的具体数据信息就被抹掉了.
讲一讲
1.美国历届总统中,就任时年纪最小的是罗斯福,他于1901年就任,当时年仅42岁;
就任时年纪最大的是里根,他于1981年就任,当时69岁.下面按时间顺序(从1789年的华盛顿到2009年的奥巴马,共44任)给出了历届美国总统就任时的年龄:
57,61,57,57,58,57,61,54,68,51,49,64,50,48,65,52,56,46,54,49,51,47,55,55,54,42,51,56,55,51,54,51,60,62,43,55,56,61,52,69,64,46,54,48
将数据进行适当的分组,并画出相应的频率分布直方图和频率分布折线图.
[尝试解答] 以4为组距,列表如下:
频率分布直方图如图
(1)所示,频率分布折线图如图
(2)所示.
(1)频率分布表中极差、组距、组数的关系
①若为整数,则=组数;
②若不为整数,则的整数部分+1=组数.
(2)确定频率分布直方图中组距和组数的注意点
组距和组数的确定没有固定的标准,将数据分组时,组数力求合适,纵使数据的分布规律能较清楚地呈现出来,组数太多或太少,都会影响我们了解数据的分布情况,若样本容量不超过100,按照数据的多少常分为5~12组,一般样本容量越大,所分组数越多.
练一练
1.有一容量为50的样本,数据的分组及各组的数据如下:
[10,15),4;
[15,20),5;
[20,25),10;
[25,30),11;
[30,35),9;
[35,40),8;
[40,45],3.
(1)列出样本频率分布表;
(2)画出频率分布直方图及折线图.
解:
(1)由所给的数据,不难得出以下样本的频率分布表:
数据段
[10,15)
[15,20)
[20,25)
[25,30)
频数
4
5
10
11
频率
0.08
0.10
0.20
0.22
[30,35)
[35,40)
[40,45]
总计
9
8
3
50
0.18
0.16
0.06
1
(2)频率分布直方图如图
(1)所示,频率分布折线图如图
(2)所示.
观察下面茎叶图,它的中间部分像一棵树的茎,两边部分像这棵树的茎上长出来的叶子.
[思考] 怎样理解认识茎叶图?
茎叶图也是用来表示数据的一种图,它的思路是将数组中的数按位数进行比较,将高位数字作为一个主干(茎),将低位数字作为分枝(叶),列在主干的一侧,这样就可以清楚地看到每个主干后面有几个数,每个数具体是多少.
2.某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况如下:
甲的得分:
12,15,24,25,31,31,36,36,37,39,44,49,50;
乙的得分:
8,13,14,16,23,26,28,33,38,39,51.
(1)画出甲、乙两名运动员得分数据的茎叶图;
(2)根据茎叶图分析甲、乙两运动员的水平.
[尝试解答]
(1)作出茎叶图如图所示:
(2)由
(1)中的茎叶图可以看出,甲运动员的得分情况是大致对称的,中位数是36;
乙运动员的得分情况除一个特殊得分外,也大致对称,中位数是26.因此甲运动员的发挥比较稳定,总体得分情况比乙运动员好.
画茎叶图的步骤
第一步,将数据分为“茎”(高位)和“叶”(低位)两部分;
第二步,将表示“茎”的数字按大小顺序由上到下排成一列;
第三步,将各个数据的“叶”按次序写在其茎的左、右两侧.
2.甲、乙两名同学最近几次的数学考试成绩情况如下:
95,81,75,89,71,65,76,88,94,110,107;
83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,101.
画出两人数学成绩的茎叶图,并根据茎叶图对两人的成绩进行比较.
甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图所示.
从这个茎叶图上可以看出,乙同学的得分情况是大致对称的,中位数是98分;
甲同学的得分情况除一个特殊得分外,也大致对称,中位数是88分,但分数分布相对于乙来说,趋向于低分阶段.因此乙同学发挥比较稳定,总体得分情况比甲同学好.
3.从某小区抽取100户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在50至350度之间,频率分布直方图如图所示.
(1)求直方图中x的值;
(2)在这些用户中,求用电量落在区间[100,250)内的户数.
[思路点拨]
(1)根据各小长方形的面积和为1求解.
(2)先求数据落在[100,250)内的频率,再由频率公式求值.
[尝试解答]
(1)由频率分布直方图知[200,250)小组的频率为1-(0.0024+0.0036+0.0060+0.0024+0.0012)×
50=0.22,于是x==0.0044.
(2)∵数据落在[100,250)内的频率为
(0.0036+0.0060+0.0044)×
50=0.7,
∴所求户数为0.7×
100=70.
频率分布直方图的性质
(1)每个小矩形的面积表示样本数据落在该组内的频率.
(2)所有小矩形的面积和等于1.
(3)利用一组的频数和频率,可以求样本容量.
提醒:
频率分布直方图中的纵轴不是频率,而是频率/组距.
3.为了了解高一年级学生的体能情况,某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试,将所得数据整理后,画出频率分布直方图(如图所示),图中从左到右各小长方形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3,第二小组的频数为12.
(1)第二小组的频率是多少?
样本容量是多少?
(2)若次数在110以上(含110次)为达标,则该校全体高一年级学生的达标率是多少?
(1)频率分布直方图是以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小的,因此第二小组的频率为=0.08.
又因为第二小组的频率=,
所以样本容量===150.
(2)由直方图可估计该校高一年级学生的达标率为
×
100%=88%.
——————————————[课堂归纳·
感悟提升]———————————————
1.本节课的重点是会列频率分布表,会画频率分布直方图、频率分布折线图、茎叶图,难点是理解用样本的频率分布估计总体分布的方法.
2.本节课要重点掌握的规律方法
(1)绘制频率分布直方图的步骤,见讲1.
(2)绘制茎叶图的步骤及其意义,见讲2.
(3)会应用频率分布直方图的意义解决问题,见讲3.
3.本节课的易错点
将频率分布直方图中的纵轴的单位看错而致错是本节课的主要易错点,如讲3.
课下能力提升(十二)
[学业水平达标练]
题组1 列频率分布表、画频率分布直方图
1.用样本频率分布估计总体频率分布的过程中,下列说法正确的是( )
A.总体容量越大,估计越精确
B.总体容量越小,估计越精确
C.样本容量越大,估计越精确
D.样本容量越小,估计越精确
解析:
选C 由用样本估计总体的性质可得.
2.在画频率分布直方图时,某组的频数为10,样本容量为50,总体容量为600,则该组的频率是( )
A.B.
C.D.不确定
选A 该组的频率为=,故选A.
3.调查某校高三年级男生的身高,随机抽取40名高三男生,实测身高数据(单位:
cm)如下:
171 163 163 166 166 168 168 160 168 165
171 169 167 169 151 168 170 168 160 174
165 168 174 159 167 156 157 164 169 180
176 157 162 161 158 164 163 163 167 161
(1)作出频率分布表;
(2)画出频率分布直方图.
(1)最低身高151cm,最高身高180cm,它们的差是180-151=29,即极差为29;
确定组距为4,组数为8,列表如下:
分组
[149.5,153.5)
0.025
[153.5,157.5)
0.075
[157.5,161.5)
6
0.15
[161.5,165.5)
0.225
[165.5,169.5)
14
0.35
[169.5,173.5)
[173.5,177.5)
[177.5,181.5]
合计
40
(2)频率分布直方图如图所示.
题组2 茎叶图及应用
4.如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位:
台)的茎叶图,则数据落在区间[22,30)内的频率为( )
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