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不可能事件(Ø
)得概率为零,而概率为零得事件不一定就是不可能事件;
同理,必然事件(Ω)得概率为1,而概率为1得事件也不一定就是必然事件。
(6)事件得关系与运算
①关系:
如果事件A得组成部分也就是事件B得组成部分,(A发生必有事件B发生):
如果同时有,,则称事件A与事件B等价,或称A等于B:
A=B。
A、B中至少有一个发生得事件:
AB,或者A+B。
属于A而不属于B得部分所构成得事件,称为A与B得差,记为A-B,也可表示为A-AB或者,它表示A发生而B不发生得事件。
A、B同时发生:
A
B,或者AB。
B=Ø
,则表示A与B不可能同时发生,称事件A与事件B互不相容或者互斥。
基本事件就是互不相容得。
-A称为事件A得逆事件,或称A得对立事件,记为
。
它表示A不发生得事件。
互斥未必对立。
②运算:
结合率:
A(BC)=(AB)C
A∪(B∪C)=(A∪B)∪C
分配率:
(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C)
(A∪B)∩C=(AC)∪(BC)
德摩根率:
,
(7)概率得公理化定义
设
为样本空间,
为事件,对每一个事件
都有一个实数P(A),若满足下列三个条件:
1°
0≤P(A)≤1,
2°
P(Ω)=1
3°
对于两两互不相容得事件
,
,…有
常称为可列(完全)可加性。
则称P(A)为事件
得概率。
(8)古典概型
,
。
设任一事件
,它就是由组成得,则有
P(A)=
=
(9)几何概型
若随机试验得结果为无限不可数并且每个结果出现得可能性均匀,同时样本空间中得每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述,则称此随机试验为几何概型。
对任一事件A,
其中L为几何度量(长度、面积、体积)。
(10)加法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
当P(AB)=0时,P(A+B)=P(A)+P(B)
(11)减法公式
P(A-B)=P(A)-P(AB)
当BA时,P(A-B)=P(A)-P(B)
当A=Ω时,P()=1-P(B)
(12)条件概率
定义设A、B就是两个事件,且P(A)>
0,则称为事件A发生条件下,事件B发生得条件概率,记为。
条件概率就是概率得一种,所有概率得性质都适合于条件概率。
例如P(Ω/B)=1P(/A)=1-P(B/A)
(13)乘法公式
乘法公式:
更一般地,对事件A1,A2,…An,若P(A1A2…An-1)>
0,则有
…
……
(14)独立性
①两个事件得独立性
设事件
、
满足
,则称事件
就是相互独立得。
若事件
相互独立,且
,则有
相互独立,则可得到
与
也都相互独立。
必然事件
与不可能事件Ø
与任何事件都相互独立。
Ø
与任何事件都互斥。
②多个事件得独立性
设ABC就是三个事件,如果满足两两独立得条件,
P(AB)=P(A)P(B);
P(BC)=P(B)P(C);
P(CA)=P(C)P(A)
并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
那么A、B、C相互独立。
对于n个事件类似。
(15)全概公式
满足
两两互不相容,
则有
(16)贝叶斯公式
,…,
及
,
>
0,
1,2,…,
则
,i=1,2,…n。
此公式即为贝叶斯公式。
,(
),通常叫先验概率。
,(
),通常称为后验概率。
贝叶斯公式反映了“因果”得概率规律,并作出了“由果朔因”得推断。
(17)伯努利概型
我们作了
次试验,且满足
u
每次试验只有两种可能结果,
发生或
不发生;
次试验就是重复进行得,即
发生得概率每次均一样;
每次试验就是独立得,即每次试验
发生与否与其她次试验
发生与否就是互不影响得。
这种试验称为伯努利概型,或称为
重伯努利试验。
用
表示每次试验
发生得概率,则
发生得概率为
,用
表示
重伯努利试验中
出现
次得概率,
第二章
随机变量及其分布
(1)离散型随机变量得分布律
设离散型随机变量得可能取值为Xk(k=1,2,…)且取各个值得概率,即事件(X=Xk)得概率为
P(X=xk)=pk,k=1,2,…,
则称上式为离散型随机变量得概率分布或分布律。
有时也用分布列得形式给出:
显然分布律应满足下列条件:
(1),,
(2)。
(2)连续型随机变量得分布密度
设就是随机变量得分布函数,若存在非负函数,对任意实数,有
则称为连续型随机变量。
称为得概率密度函数或密度函数,简称概率密度。
密度函数具有下面4个性质:
(3)离散与连续型随机变量得关系
积分元在连续型随机变量理论中所起得作用与在离散型随机变量理论中所起得作用相类似。
(4)分布函数
设为随机变量,就是任意实数,则函数
称为随机变量X得分布函数,本质上就是一个累积函数。
可以得到X落入区间得概率。
分布函数表示随机变量落入区间(–∞,x]内得概率。
分布函数具有如下性质:
;
就是单调不减得函数,即时,有;
4°
,即就是右连续得;
5°
对于离散型随机变量,;
对于连续型随机变量,
(5)八大分布
0-1分布
P(X=1)=p,P(X=0)=q
二项分布
在重贝努里试验中,设事件发生得概率为。
事件发生得次数就是随机变量,设为,则可能取值为。
其中,
则称随机变量服从参数为,得二项分布。
记为。
当时,,,这就就是(0-1)分布,所以(0-1)分布就是二项分布得特例。
泊松分布
设随机变量得分布律为
,,,
则称随机变量服从参数为得泊松分布,记为或者P()。
泊松分布为二项分布得极限分布(np=λ,n→∞)。
超几何分布
随机变量X服从参数为n,N,M得超几何分布,记为H(n,N,M)。
几何分布
,其中p≥0,q=1-p。
随机变量X服从参数为p得几何分布,记为G(p)。
均匀分布
设随机变量
得值只落在[a,b]内,其密度函数
在[a,b]上为常数,即
a≤x≤b
其她,
则称随机变量
在[a,b]上服从均匀分布,记为X~U(a,b)。
分布函数为
a≤x≤b
x<
a,
1,
x>
b。
当a≤x1<
x2≤b时,X落在区间(
)内得概率为
指数分布
0,
其中
,则称随机变量X服从参数为
得指数分布。
X得分布函数为
0。
记住积分公式:
正态分布
得密度函数为
为常数,则称随机变量
服从参数为
得正态分布或高斯(Gauss)分布,记为
具有如下性质:
得图形就是关于
对称得;
当
时,为最大值;
若
,则
得分布函数为
参数
时得正态分布称为标准正态分布,记为
,其密度函数记为
,,
就是不可求积函数,其函数值,已编制成表可供查用。
Φ(-x)=1-Φ(x)且Φ(0)=。
如果~,则~。
(6)分位数
下分位表:
上分位表:
(7)函数分布
离散型
已知得分布列为
得分布列(互不相等)如下:
若有某些相等,则应将对应得相加作为得概率。
连续型
先利用X得概率密度fX(x)写出Y得分布函数FY(y)=P(g(X)≤y),再利用变上下限积分得求导公式求出fY(y)。
第三章
二维随机变量及其分布
(1)联合分布
如果二维随机向量(X,Y)得所有可能取值为至多可列个有序对(x,y),则称为离散型随机量。
设=(X,Y)得所有可能取值为,且事件{=}得概率为pij,,称
为=(X,Y)得分布律或称为X与Y得联合分布律。
联合分布有时也用下面得概率分布表来表示:
Y
X
y1
y2
…
yj
x1
p11
p12
p1j
x2
p21
p22
p2j
xi
pi1
这里pij具有下面两个性质:
(1)pij≥0(i,j=1,2,…);
(2)
对于二维随机向量,如果存在非负函数,使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴得矩形区域D,即D={(X,Y)|a<
x<
b,c<
y<
d}有
则称为连续型随机向量;
并称f(x,y)为=(X,Y)得分布密度或称为X与Y得联合分布密度。
分布密度f(x,y)具有下面两个性质:
(1)
f(x,y)≥0;
(2)二维随机变量得本质
(3)联合分布函数
设(X,Y)为二维随机变量,对于任意实数x,y,二元函数
称为二维随机向量(X,Y)得分布函数,或称为随机变量X与Y得联合分布函数。
分布函数就是一个以全平面为其定义域,以事件得概率为函数值得一个实值函数。
分布函数F(x,y)具有以下得基本性质:
(1)
(2)F(x,y)分别对x与y就是非减得,即
当x2>
x1时,有F(x2,y)≥F(x1,y);
当y2>
y1时,有F(x,y2)≥F(x,y1);
(3)F(x,y
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