中考数学几何归纳专题.docx
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中考数学几何归纳专题
中考数学几何归纳专题
姓名:
__________
指导:
__________
日期:
__________
9.〔12分〕如图,在正方形ABCD中,点E是AB边上一点,以DE为边作正方形DEFG,DF与BC交于点M,延长EM交GF于点H,EF与CB交于点N,连接CG.
〔1〕求证:
CD⊥CG;
〔2〕假设tan∠MEN=1/3,求MN/EM的值;
〔3〕正方形ABCD的边长为1,点E在运动过程中,EM的长能否为1/2?
请说明理由.
10.〔12分〕在矩形ABCD中,连结AC,点E从点B出发,以每秒1个单位的速度沿着B→A→C的路径运动,运动时间为t〔秒〕.过点E作EF⊥BC于点F,在矩形ABCD的内部作正方形EFGH.
〔1〕如图,当AB=BC=8时,
①假设点H在△ABC的内部,连结AH、CH,求证:
AH=CH;
②当0<t≤8时,设正方形EFGH与△ABC的重叠局部面积为S,求S与t的函数关系式;
〔2〕当AB=6,BC=8时,假设直线AH将矩形ABCD的面积分成1:
3两局部,求t的值.
11.〔12分〕如图,在平行四边形ABCD中,点E在边BC上,连结AE,EM⊥AE,垂足为E,交CD于点M,AF⊥BC,垂足为F,BH⊥AE,垂足为H,交AF于点N,点P是AD上一点,连接CP.
〔1〕假设DP=2AP=4,CP=√17,CD=5,求△ACD的面积.
〔2〕假设AE=BN,AN=CE,求证:
AD=√2CM+2CE.
12.〔12分〕如图①,在正方形ABCD中,AB=6,M为对角线BD上任意一点〔不与B、D重合〕,连接CM,过点M作MN⊥CM,交线段AB于点N
〔1〕求证:
MN=MC;
〔2〕假设DM:
DB=2:
5,求证:
AN=4BN;
〔3〕如图②,连接NC交BD于点G.假设BG:
MG=3:
5,求NG·CG的值.
1.【分析】〔1〕结论:
S△ABC:
S△ADE=定值.如图1中,作DH⊥AE于H,CG⊥BA交BA的延长线于G.首先证明∠DAE=∠CAG,利用三角形的面积公式计算即可.
〔2〕结论:
S△ABC:
S△ADE=定值.如图1中,作DH⊥AE于H,CG⊥BA交BA的延长线于G.首先证明∠DAE=∠CAG,利用三角形的面积公式计算即可.
〔3〕结论:
S△ABC:
S△ADE=定值.如图1中,作DH⊥AE于H,CG⊥BA交BA的延长线于G.首先证明∠DAE=∠CAG,利用三角形的面积公式计算即可.
【解答】解:
〔1〕结论:
S△ABC:
S△ADE=定值.
理由:
如图1中,作DH⊥AE于H,CG⊥BA交BA的延长线于G.
∵∠BAE=∠CAD=90°,
∴∠BAC+∠EAD=180°,∠BAC+∠CAG=180°,
∴∠DAE=∠CAG,∵AB=AE=AD=AC,
∴==1.
〔2〕如图2中,S△ABC:
S△ADE=定值.
理由:
如图1中,作DH⊥AE于H,CG⊥BA交BA的延长线于G.
不妨设∠ADC=30°,那么AD=AC,AE=AB,
∵∠BAE=∠CAD=90°,
∴∠BAC+∠EAD=180°,∠BAC+∠CAG=180°,
∴∠DAE=∠CAG,
∴==.
〔3〕如图3中,如图2中,S△ABC:
S△ADE=定值.
理由:
如图1中,作DH⊥AE于H,CG⊥BA交BA的延长线于G.
∵∠BAE=∠CAD=90°,
∴∠BAC+∠EAD=180°,∠BAC+∠CAG=180°,
∴∠DAE=∠CAG,
∵AB=a,AE=b,AC=m,AD=n∴==.
【点评】此题属于几何变换综合题,考查了等腰直角三角形的性质,30度的直角三角形的性质,三角形的面积等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,属于中考常考题型.
2.【分析】数学理解:
〔1〕由等腰直角三角形的性质可得AC=BC,∠A=∠B=45°,AB=AC,由正方形的性质可得DE=DF=CE,∠DFC=∠DEC=90°,可求AF=DF=CE,即可得AB=〔AF+BE〕;
问题解决:
〔2〕延长AC,使FM=BE,通过证明△DFM≌△DEB,可得DM=DB,通过△ADM≌△ADB,可得∠DAC=∠DAB=∠CAB,∠ABD=∠CBD=∠ABC,由三角形内角和定理可求∠ADB的度数;
联系拓广:
〔3〕由正方形的性质可得DE∥AC,DF∥BC,由平行线的性质可得∠DAB=∠ADM,∠NDB=∠ABD,可得AM=MD,DN=NB,即可求MN,AM,BN的数量关系.
【解答】解:
数学理解:
〔1〕AB=〔AF+BE〕
理由如下:
∵△ABC是等腰直角三角形
∴AC=BC,∠A=∠B=45°,AB=AC
∵四边形DECF是正方形∴DE=DF=CE=CF,∠DFC=∠DEC=90°
∴∠A=∠ADF=45°∴AF=DF=CE
∴AF+BE=BC=AC∴AB=〔AF+BE〕
问题解决:
〔2〕如图,延长AC,使FM=BE,连接DM,
∵四边形DECF是正方形
∴DF=DE,∠DFC=∠DEC=90°
∵BE=FM,∠DFC=∠DEB=90°,DF=ED
∴△DFM≌△DEB〔SAS〕∴DM=DB
∵AB=AF+BE,AM=AF+FM,FM=BE,
∴AM=AB,且DM=DB,AD=AD
∴△ADM≌△ADB〔SSS〕
∴∠DAC=∠DAB=∠CAB
同理可得:
∠ABD=∠CBD=∠ABC
∵∠ACB=90°,∴∠CAB+∠CBA=90°
∴∠DAB+∠ABD=〔∠CAB+∠CBA〕=45°
∴∠ADB=180°﹣〔∠DAB+∠ABD〕=135°
联系拓广:
〔3〕∵四边形DECF是正方形∴DE∥AC,DF∥BC
∴∠CAD=∠ADM,∠CBD=∠NDB,∠MDN=∠AFD=90°
∵∠DAC=∠DAB,∠ABD=∠CBD∴∠DAB=∠ADM,∠NDB=∠ABD
∴AM=MD,DN=NB
在Rt∠DMN中,MN2=MD2+DN2,∴MN2=AM2+NB2,
【点评】此题是四边形综合题,考查了正方形的性质,等腰三角形的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理等知识,添加恰当辅助线构造全等三角形是此题的关键.
3.【分析】〔1〕由“AAS〞可证△CEF≌△BEA,可得AB=CF,即可得结论;
〔2〕延长AE交DF的延长线于点G,由“AAS〞可证△AEB≌△GEC,可得AB=CG,即可得结论;
【解答】解:
〔1〕AD=AB+DC
理由如下:
∵AE是∠BAD的平分线∴∠DAE=∠BAE
∵AB∥CD∴∠F=∠BAE∴∠DAF=∠F∴AD=DF,
∵点E是BC的中点∴CE=BE,且∠F=∠BAE,∠AEB=∠CEF
∴△CEF≌△BEA〔AAS〕∴AB=CF
∴AD=CD+CF=CD+AB
〔2〕AB=AF+CF
理由如下:
如图②,延长AE交DF的延长线于点G
∵E是BC的中点,∴CE=BE,
∵AB∥DC,∴∠BAE=∠G.且BE=CE,∠AEB=∠GEC
∴△AEB≌△GEC〔AAS〕∴AB=GC
∵AE是∠BAF的平分线∴∠BAG=∠FAG,
∵∠BAG=∠G,∴∠FAG=∠G,
∴FA=FG,∵CG=CF+FG,∴AB=AF+CF
【点评】此题考查了全等三角形的判定和性质,平行线的性质,角平分线的性质,添加恰当辅助线构造全等三角形是此题的关键.
【分析】〔1〕根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可.
〔2〕解直角三角形求出BC,由△ABD∽△CBA,推出=,可得DB===,由DE∥AB,推出=,求出AE即可.
〔3〕点D在BC边上运动的过程中,存在某个位置,使得DF=CF.作FH⊥BC于H,AM⊥BC于M,AN⊥FH于N.那么∠NHM=∠AMH=∠ANH=90°,由△AFN∽△ADM,可得==tan∠ADF=tan∠B=,推出AN=AM=×12=9,推出CH=CM﹣MH=CM﹣AN=16﹣9=7,再利用等腰三角形的性质,求出CD即可解决问题.
【解答】〔1〕证明:
∵AB=AC,∴∠B=∠ACB,
∵∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD,∠ADE=∠B,
∴∠BAD=∠CDE,∴△BAD∽△DCE.
〔2〕解:
如图2中,作AM⊥BC于M.
在Rt△ABM中,设BM=4k,那么AM=BM·tan∠B=4k×=3k,
由勾股定理,得到AB2=AM2+BM2,
∴202=〔3k〕2+〔4k〕2,
∴k=4或﹣4〔舍弃〕,
∵AB=AC,AM⊥BC,∴BC=2BM=2·4k=32,
∵DE∥AB,∴∠BAD=∠ADE,
∵∠ADE=∠B,∠B=∠ACB,∴∠BAD=∠ACB,
∵∠ABD=∠CBA,∴△ABD∽△CBA,
∴=,∴DB===,
∵DE∥AB,∴=,
∴AE===.
〔3〕点D在BC边上运动的过程中,存在某个位置,使得DF=CF.
理由:
作FH⊥BC于H,AM⊥BC于M,AN⊥FH于N.那么∠NHM=∠AMH=∠ANH=90°,∴四边形AMHN为矩形,
∴∠MAN=90°,MH=AN,∵AB=AC,AM⊥BC,
∵AB=20,tan∠B=∴BM=CM=16,
∴BC=32,
在Rt△ABM中,由勾股定理,得AM===12,
∵AN⊥FH,AM⊥BC,∴∠ANF=90°=∠AMD,
∵∠DAF=90°=∠MAN,∴∠NAF=∠MAD,
∴△AFN∽△ADM,
∴==tan∠ADF=tan∠B=,∴AN=AM=×12=9,
∴CH=CM﹣MH=CM﹣AN=16﹣9=7,
当DF=CF时,由点D不与点C重合,可知△DFC为等腰三角形,
∵FH⊥DC,∴CD=2CH=14,
∴BD=BC﹣CD=32﹣14=18,
∴点D在BC边上运动的过程中,存在某个位置,使得DF=CF,此时BD=18.
【点评】此题属于相似形综合题,考查了新三角形的判定和性质,解直角三角形,锐角三角函数等,等腰三角形的判定和性质知识,解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题,学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考压轴题.
5.【分析】〔1〕根据三角形重心定理和平行线分线段成比例解答即可;
〔2〕过点A作AN∥BC交EF的延长线于点N,FE、CB的延长线相交于点M,得出△BME∽△ANE,△CMF∽△ANF,得出比例式解答即可;
〔3〕分两种情况:
当F点与C点重合时,E为AB中点,BE=AE;点F在AC的延长线上时,BE>AE,得出,那么,同理:
当点E在AB的延长线上时,,即可得出结论.
【解答】〔1〕证明:
∵G是△ABC重心,∴,
又∵EF∥BC,∴,,
那么;
〔2〕解:
〔1〕中结论成立,理由如下:
如图2,过点A作AN∥BC交EF的延长线于点N,FE、CB的延长线相交于点M,
那么△BME∽△ANE,△CMF∽△ANF,
,,
∴,
又∵BM+CM=BM+CD+DM,
而D是BC的中点,即BD=CD,
∴BM+CM=BM+BD+DM=DM+DM=2DM,∴,
又∵,∴,故结论成立;
〔3〕解:
〔1〕中结论不成立,理由如下:
当F点与C点重合时,E为AB中点,BE=AE,
点F在AC的延长线上时,BE>AE,
∴,那么,
同理:
当点E在AB的延长线上时,,
∴结论不成立.
【点评】此题是相似三角形综合题,考查了相似三角形的判定与性质、三角形重心定理、平行线分线段成比例定理等知识;此题综合性强,熟练掌握三角形的重心定理和平行线分线段成比例定理,证明三角形相似是解题的关键.
6.【分析】〔1〕通过证明△ABD∽△BCD,可得,可得结论;
〔2〕由平行线的性质可证∠MBD=∠BDC,即可证AM=MD=MB=4,由BD2=AD·CD和勾股定理可求MC的长,通过证明△MNB∽△CND
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