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离散系统稳定性判据
§5.4离散时间系统状态稳定性及判别法
1.离散时间系统的平衡状态(点)
设
(5.17)
称的为(5.17)的平衡状态(点).
当A奇异时,有无数个平衡状态.
2.平衡状态(点)的稳定性
(1)稳定:
使当时,有
;
(2)渐近稳定:
使当时,有
;
(3)全局渐近稳定:
任意,都有;
(4)不稳定:
无论多小正数,总有,使
对定常系统,渐近稳定全局一致渐近稳定.
3.稳定性判别
对定常系统
假设稳定(渐近稳定),那么其它也稳定(渐近稳定);
假设渐近稳定,那么必为一致全局渐近稳定;
简单介绍稳定性条件
设(5.17)的解
那么渐近稳定
(),
A的所有特征值的模全小于1
A的所有特征值都位于复平面上的单位圆.
其中J为A的假设当形.
如
且再如
A的所有特征值的模全小于1
A的所有特征值都位于复平面上的单位圆.
例设A有互不一样特征值,那么T,使
由此可得
.
定理5.12系统为(5.17)的稳定性判定如下:
(i)稳定A所有特征值的模全s小于1或等于1,
且模等于1的特征值对应的约当块是一阶的;
(ii)渐近稳定A的所有特征值模全小于1.
对一般非线性系统
(5.18)
在(设)的稳定性判定方法有
定理5.13对(5.18),假设的标量函数,满足
(i)为正定;
(ii)负定;
(iii)当时,有.
那么全局渐近稳定的.
假设无(iii),那么是渐近稳定的;
再假设(ii)中为半负定,那么仅是稳定的.
定理用于定常系统(5.17),即得
定理5.14线性定常离散(5.17)的为渐近稳定
对Q>0,雅普诺夫方程
有唯一正定解P
证只证充分性,
即已有对Q>0,有唯一解,
令,那么有
显见为负定,故渐近稳定.
例5.6设
试分析稳定的条件.
解选Q=I,那么有,即
整理且比拟,得
要P为正定,需满足
(5.19)
解出
一致全局渐近稳定.
实质上:
所有特征值的模全小于1.
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