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专题专题8-例例1本题中的阻力本题中的阻力f为一与位移为一与位移x成正比的变力,即成正比的变力,即f=kx示功图示功图xF0x1x2x3lW0W0W0图中各阴影图中各阴影“面积面积”表示第表示第1、2、3次锤击中,木桩克服阻力做次锤击中,木桩克服阻力做的功,数值上等于锤传给木桩的的功,数值上等于锤传给木桩的能量,设为能量,设为W0由图由图当当xn=l时,由时,由某质点受到某质点受到F=6x2的力的作用,从的力的作用,从x=0处移处移到到x=2.0m处,试求力处,试求力F做了多少功?
做了多少功?
专题专题8-例例2本题中的变力力本题中的变力力F与位移与位移x成成F=6x2关系,关系,F-x图线为抛物线图线为抛物线示功图示功图24x/mF/N02W图中图中“面积面积”表示表示F力做的功力做的功“面积面积”由阿基米德公式由阿基米德公式由示功图得由示功图得F力做的功力做的功如如图图所所示示,一一质质量量为为m,长长为为l的的柔柔软软绳绳索索,一一部部分分平平直直地地放放在在桌桌面面上上,另另一一部部分分跨跨过过桌桌面面边边缘缘的的光光滑滑定定滑滑轮轮下下垂垂,柔柔绳绳与与桌桌面面间间的的摩摩擦擦因因数数为为柔柔绳绳能能由由静静止止开开始始下下滑滑,求求下下垂垂部部分分长长度度至至少少多多长长?
由由这这一一位位置置开开始始运运动动,柔绳刚离开桌面时的速度多大?
柔绳刚离开桌面时的速度多大?
设柔绳恰由静止开始下滑时下垂部分长度为设柔绳恰由静止开始下滑时下垂部分长度为x0,则由,则由柔绳恰由静止开始下滑至以柔绳恰由静止开始下滑至以v离开桌面,由动能定理离开桌面,由动能定理其中,重力功等于绳重力势能减少其中,重力功等于绳重力势能减少摩擦力为线性变力:
摩擦力为线性变力:
示功图示功图xFf0l-x0Wfx一一质质点点的的质质量量为为m,被被固固定定中中心心排排斥斥,斥斥力力的的大大小小F=mr,其其中中r为为质质点点离离开开此此中中心心的的距距离离在在开开始始时时,r0=a,v=0,求求质点经过位移质点经过位移a时所达到的速度大小时所达到的速度大小斥力为线性变化力!
斥力为线性变化力!
示功图示功图rF0aaWF对示功图求梯形阴影对示功图求梯形阴影“面积面积”对质点经过位移对质点经过位移a的过程,由动能定理的过程,由动能定理跳跳水水运运动动员员从从高高于于水水面面H10m的的跳跳台台自自由由落落下下,运运动动员员的的质质量量m60kg,其其体体形形可可等等效效为为长长度度l1.0m、直直径径d0.30m的的圆圆柱柱体体,略略去去空空气气阻阻力力,运运动动员员入入水水后后水水的的等等效效阻阻力力F作作用用于于圆圆柱柱体体下下端端面面,F量量值值随随入入水水深深度度y变变化化如如图图,该该曲曲线线近近似似为为椭椭圆圆的的一一部部分分,长长轴轴和和短短轴轴分分别别与与OY和和OF重重合合,为为了了确确保保运运动员绝对安全,试计算水池中水的动员绝对安全,试计算水池中水的h至少应等于多少?
至少应等于多少?
5mg/2YF0h对全过程运用动能定理对全过程运用动能定理:
其中阻力功根据示功图为四分之一个椭圆其中阻力功根据示功图为四分之一个椭圆“面积面积”:
示功图示功图入水过程中,浮力随入水深度入水过程中,浮力随入水深度y作线性变化作线性变化示功图示功图YF浮浮0l如果在某一位移区间,力随位移变化的关系如果在某一位移区间,力随位移变化的关系为为F=f(s),求该变力的功通常用微元法,即将位,求该变力的功通常用微元法,即将位移区间分成移区间分成n(n)个小区间)个小区间s/n,在每个小,在每个小区间内将力视为恒定,求其元功区间内将力视为恒定,求其元功Fis/n,由于,由于功是标量,具有功是标量,具有“可加性可加性”,那么总功等于每个,那么总功等于每个小区间内元功之代数和的极限,即变力在这段位小区间内元功之代数和的极限,即变力在这段位移中所做的功为:
移中所做的功为:
方法方法BB在数学上,确定元功相当于给出数列通项式在数学上,确定元功相当于给出数列通项式,求总功即求数列,求总功即求数列n项和当项和当n时的极限时的极限半径等于半径等于r的半球形水池,其中充满了水,把池内的半球形水池,其中充满了水,把池内的水完全吸尽,至少要做多少功?
的水完全吸尽,至少要做多少功?
专题专题8-例例3rri沿着容器的竖直直径,我们将水池内的水均匀细分成沿着容器的竖直直径,我们将水池内的水均匀细分成n层,每一元层水的高度层,每一元层水的高度r1i2每一层水均可看作一个薄圆柱,水面下第每一层水均可看作一个薄圆柱,水面下第i层层水柱底面的半径水柱底面的半径这层水的质量这层水的质量将这层水吸出至少应做的元功是将这层水吸出至少应做的元功是将池水吸尽至少要做的功是将池水吸尽至少要做的功是一个质量为一个质量为m的机动小车,以恒定速度的机动小车,以恒定速度v在半径为在半径为R的竖直圆轨道绕的竖直圆轨道绕“死圈死圈”运动已知动摩擦因数为运动已知动摩擦因数为,问在小车从,问在小车从最低点运动到最高点过程中,摩擦力做了多少功?
最低点运动到最高点过程中,摩擦力做了多少功?
专题专题8-例例4小车沿竖直圆内轨匀速率运动到最小车沿竖直圆内轨匀速率运动到最高点的过程中,由于轨道支持力是变力,高点的过程中,由于轨道支持力是变力,故而摩擦力为一随位置变化的力!
故而摩擦力为一随位置变化的力!
xyOAB当小车运动在当小车运动在AA处元圆弧段时处元圆弧段时mgNA摩擦力在摩擦力在AA处元功为处元功为当小车运动在与当小车运动在与AA关于关于x轴对称的轴对称的BB处元圆弧段时处元圆弧段时mgNB续解续解摩擦力在摩擦力在BB处元功为处元功为小车在关于水平直径对称的轨道两元段上摩擦力元功之和为小车在关于水平直径对称的轨道两元段上摩擦力元功之和为查阅查阅摩擦力在半圆周轨道上的总功摩擦力在半圆周轨道上的总功计算水平直径以下段摩擦力的功:
计算水平直径以下段摩擦力的功:
续解续解水平直径以上段摩擦力的功:
水平直径以上段摩擦力的功:
将板沿板长均分为将板沿板长均分为n(n)等份等份将将木木板板在在水水平平地地面面上上绕绕其其一一端端转转动动角角,求求所所需需要要做做的的功功木木板板长长度度为为L,质质量量为为M,木木板板与与地地面面之之间间的的动动摩摩擦擦因因数数为为元摩擦力做功的位移为元摩擦力做功的位移为摩擦力对摩擦力对i段做的元功为段做的元功为则对木板的功则对木板的功各元段摩擦力为各元段摩擦力为从从一一个个容容器器里里向向外外抽抽空空气气,直直到到压压强强为为p容容器器上上有有一一小小孔孔,用用塞塞子子塞塞着着现现把把塞塞子子拔拔掉掉,问问空空气气最最初初以以多多大大速速率率冲冲进容器?
设外界大气压强为进容器?
设外界大气压强为p0,大气密度为,大气密度为pp0xs设小孔截面积为设小孔截面积为s,打开塞子,打开塞子后孔外侧厚度为后孔外侧厚度为x的一薄层空气的一薄层空气在内、外压强差作用下冲入容器,在内、外压强差作用下冲入容器,获得速度获得速度v0,由动能定理由动能定理:
这种求功方法依据功对能量变化的量度关系,这种求功方法依据功对能量变化的量度关系,只须了解初、未能量状态,得到能量的增量便是只须了解初、未能量状态,得到能量的增量便是相应的功量相应的功量方法方法CC如图所示如图所示,一质量分布均匀的粗绳长一质量分布均匀的粗绳长2a,质量为,质量为2m,两端悬于水平天花板上相距为,两端悬于水平天花板上相距为a的两点而悬垂静止,其重心位的两点而悬垂静止,其重心位于天花板下方于天花板下方b处处.现施一力于绳之最低点现施一力于绳之最低点C并将绳拉直至并将绳拉直至D点,求点,求拉力所做的功拉力所做的功D由几何关系拉直后两段绳的重心位置距天花由几何关系拉直后两段绳的重心位置距天花重力势能增加了重力势能增加了由功能原理,拉力功为由功能原理,拉力功为专题专题8-例例5由于拉力做功,使绳之重心高度变化因而重力势由于拉力做功,使绳之重心高度变化因而重力势能变化,重力势能的增量即为所求拉力功量能变化,重力势能的增量即为所求拉力功量Chh一质量为一质量为m的皮球,从高为的皮球,从高为h处自由下落(不计空气处自由下落(不计空气阻力),反弹起来的高度为原来的阻力),反弹起来的高度为原来的3/4,要皮球反弹回,要皮球反弹回h高处,求高处,求每次拍球需对球做的功每次拍球需对球做的功专题专题8-例例6在球与地面接触期间,地面对球的弹力对球做负功,在球与地面接触期间,地面对球的弹力对球做负功,使球的动能减少地面对球的弹力功是变力功使球的动能减少地面对球的弹力功是变力功!
牛顿碰撞定律:
若两球碰撞前速度依次为若两球碰撞前速度依次为v10、v20,碰,碰撞后速度为撞后速度为v1、v2,则碰撞后两者的分离速度,则碰撞后两者的分离速度v2v1与与碰撞前两者的接近速度碰撞前两者的接近速度v20v10成正比,比值成正比,比值e称恢复称恢复系数(或反弹系数),比值由两者的质料决定,即系数(或反弹系数),比值由两者的质料决定,即从从h高度自由下落再反弹高度自由下落再反弹的全过程的全过程,地面弹力功地面弹力功W1:
从从h高度拍下再反弹原高高度拍下再反弹原高的全过程的全过程,地面弹力功地面弹力功W2:
续解续解从从h高下落未速度即与地接近速度高下落未速度即与地接近速度:
从地面反弹的起跳速度即与地分离速度从地面反弹的起跳速度即与地分离速度:
同一球与同一地面碰撞同一球与同一地面碰撞,恢复系数相同恢复系数相同:
如如图图所所示示,有有两两个个薄薄壁壁圆圆筒筒半半径径为为R的的圆圆筒筒绕绕自自己己的的轴轴以以角角速速度度转转动动,而而另另一一个个圆圆筒筒静静止止使使两两圆圆筒筒相相接接触触并并且且它它们们的的转转轴轴平平行行,过过一一会会儿儿,由由于于摩摩擦擦两两圆圆筒筒开开始始做做无无滑滑动动的的转转动动问问有有多多少少机机械械能能转转换换成成内内能能?
(两两圆圆筒筒的的质量分别为质量分别为m1、m2)m1Rm21根据题意,一段时间内根据题意,一段时间内m1线速度从线速度从R1R,而而m2线速度从线速度从02r=1R这种变化是因为两者间有大小这种变化是因为两者间有大小相等的一对力作用,这对力做功使相等的一对力作用,这对力做功使系统机械能系统机械能(动能动能)转换成内能转换成内能!
对系统对系统,由动能定理由动能定理:
又又,由牛顿第二、三定律由牛顿第二、三定律,一对力大小相等一对力大小相等:
功是力的空间积累作用,能是对物体运动的一种量功是力的空间积累作用,能是对物体运动的一种量度功的作用效应是使物体的能量状态发生变化,做功度功的作用效应是使物体的能量状态发生变化,做功的过程就是物体能量转化的过程,转化了的能量都可以的过程就是物体能量转化的过程,转化了的能量都可以由做功的多少来量度,这是我们对功与能之间关系的基由做功的多少来量度,这是我们对功与能之间关系的基本认识,是我们从能量角度解决运动问题的依据本认识,是我们从能量角度解决运动问题的依据功能关系基本认识功能关系基本认识
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