概率论与数理统计(文科)吴传生7.1节PPT格式课件下载.ppt
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参数是刻画总体某方面概率特性的数量参数是刻画总体某方面概率特性的数量.当此数量未知时当此数量未知时,从总体抽出一个样本,从总体抽出一个样本,用某种方法对这个未知参数进行估计就用某种方法对这个未知参数进行估计就是参数估计是参数估计.例如,例如,XN(,2),点估计点估计区间估计区间估计若若,2未知未知,通过构造样本的函数通过构造样本的函数,给出给出它们的估计值或取值范围就是参数估计它们的估计值或取值范围就是参数估计的内容的内容.参数估计的类型参数估计的类型点估计点估计估计未知参数的值估计未知参数的值区间估计区间估计估计未知参数的取值范围,估计未知参数的取值范围,并使此范围包含未知参数并使此范围包含未知参数真值的概率为给定的值真值的概率为给定的值.7.1点估计方法点估计方法点估计的思想方法点估计的思想方法设总体X的分布函数的形式已知,但含有一个或多个未知参数:
1,2,k设X1,X2,Xn为总体的一个样本构造k个统计量:
随机变量7-57.1当测得样本值(x1,x2,xn)时,代入上述统计量,即可得到k个数:
数值称数为未知参数的估计值如何构造统计量?
如何构造统计量?
如何评价估计量的好坏?
7-6对应统计量为未知参数的估计量问问题题三种常用的点估计方法三种常用的点估计方法q频率替换法频率替换法利用事件A在n次试验中发生的频率作为事件A发生的概率p的估计量7-7法一法一例例11设总体XN(,2),在对其作28次独立观察中,事件“X4”出现了21次,试用频率替换法求参数的估计值.解解由查表得于是的估计值为7-8例例11方法方法用样本k阶矩作为总体k阶矩的估计量,建立含有待估参数的方程,从而解出待估参数7-9一般,不论总体服从什么分布,总体期望与方差2存在,则它们的矩估计量分别为q矩法矩法法二法二7-10事实上,按矩法原理,令7-11设待估计的参数为设总体的r阶矩存在,记为样本X1,X2,Xn的r阶矩为令含未知参数1,2,k的方程组7-12解方程组,得k个统计量:
未知参数1,k的矩估计量代入一组样本值得k个数:
未知参数1,k的矩估计值例例22设总体XN(,2),X1,X2,Xn为总体的样本,求,2的矩法估计量.解解例例33设总体XE(),X1,X2,Xn为总体的样本,求的矩法估计量.解解令7-13故例例2323例例44设从某灯泡厂某天生产的灯泡中随机抽取10只灯泡,测得其寿命为(单位:
小时)1050,1100,1080,1120,12001250,1040,1130,1300,1200试用矩法估计该厂这天生产的灯泡的平均寿命及寿命分布的方差.解解7-14例例44例例55设总体XU(a,b),a,b未知,求参数a,b的矩法估计量.解解由于令7-15例例55解得7-16q极大似然估计法极大似然估计法思想方法思想方法:
一次试验就出现的事件有较大的概率例如:
有两外形相同的箱子,各装100个球一箱99个白球1个红球一箱1个白球99个红球现从两箱中任取一箱,并从箱中任取一球,结果所取得的球是白球.答答:
第一箱.7-17问问:
所取的球来自哪一箱?
法三法三例例66设总体X服从0-1分布,且P(X=1)=p,用极大似然法求p的估计值.解解总体X的概率分布为设x1,x2,xn为总体样本X1,X2,Xn的样本值,则7-18例例66对于不同的p,L(p)不同,见右下图现经过一次试验,发生了,事件则p的取值应使这个事件发生的概率最大.7-19在容许范围内选择p,使L(p)最大注意到,lnL(p)是L的单调增函数,故若某个p使lnL(p)最大,则这个p必使L(p)最大。
7-20所以为所求p的估计值.一般,设X为离散型随机变量,其分布律为则样本X1,X2,Xn的概率分布为7-21或称L()为样本的似然函数称这样得到的为参数的极大似然估计值极大似然估计值称统计量为参数的极大似然估计量极大似然估计量7-22MLE简记mle简记选择适当的=,使取最大值,即L()极大似然法的思想若X连续,取f(xi,)为Xi的密度函数似然函数为7-23注注11注注22未知参数可以不止一个,如1,k设X的密度(或分布)为则定义似然函数为若关于1,k可微,则称为似然方程组若对于某组给定的样本值x1,x2,xn,参数使似然函数取得最大值,即则称为1,k的极大似然估计值7-24显然,称统计量为1,2,k的极大似然估计量7-25例例77设总体XN(,2),x1,x2,xn是X的样本值,求,2的极大似然估计.解解7-26例例77,2的极大似然估计量分别为似然方程组为7-27极大似然估计方法极大似然估计方法1)写出似然函数L2)求出,使得7-28可得未知参数的极大似然估计值然后,再求得极大似然估计量.7-29L是的可微函数,解似然方程组若若L不是的可微函数,需用其它方法求极大似然估计值.请看下例:
若若例例88设XU(a,b),x1,x2,xn是X的一个样本值,求a,b的极大似然估计值与极大似然估计量.解解X的密度函数为似然函数为7-30例例88似然函数只有当axib,i=1,2,n时才能获得最大值,且a越大,b越小,L越大.令xmin=minx1,x2,xnxmax=maxx1,x2,xn取则对满足的一切ab,7-31都有故是a,b的极大似然估计值.分别是a,b的极大似然估计量.7-32问问题题1)待估参数的极大似然估计是否一定存在?
2)若存在,是否惟一?
设XU(a,a+),x1,x2,xn是X的一个样本,求a的极大似然估计值.解解由上例可知,当时,L取最大值1,即显然,a的极大似然估计值可能不存在,也可能不惟一.7-33例例99例例99不仅如此,任何一个统计量若满足都可以作为a的估计量.7-34作业P.152习题7-12357-39习题习题
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- 概率论 数理统计 文科 吴传生 7.1