金融工程7-维纳过程与伊藤引理2011PPT文档格式.ppt
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到期的收益也不确定。
期期权当期的价当期的价值?
风险中性估中性估值期期权当期的价当期的价值未来收益折未来收益折现后的期望后的期望值cEMax(STX,0)问题ST的分布是怎的分布是怎样的?
的?
只有确定只有确定ST的分布才能确定的分布才能确定c的价的价值512.1弱式效率市场假说与马尔可夫过程弱式效率市场假说与马尔可夫过程效率市效率市场假假说1965年,法年,法玛(Fama)提出了著名的效率市提出了著名的效率市场假假说。
该假假说认为:
投投资者都力者都力图利用可利用可获得的信息得的信息获得更高的得更高的报酬;
酬;
证券价格券价格对新的市新的市场信息的反信息的反应是迅速而准确的,是迅速而准确的,证券价格能完券价格能完全反全反应全部信息;
全部信息;
市市场竞争使争使证券价格从一个均衡水平券价格从一个均衡水平过渡到另一个均衡水平,而渡到另一个均衡水平,而与新信息相与新信息相应的价格的价格变动是相互独立的。
是相互独立的。
效率市效率市场分分类效率市效率市场假假说可分可分为三三类:
弱式、半:
弱式、半强式和式和强式。
式。
弱式效率市弱式效率市场假假说认为,证券价格券价格变动的的历史不包含任何史不包含任何对预测证券价格未来券价格未来变动有用的信息,也就是有用的信息,也就是说不能通不能通过技技术分析分析获得得超超过平均收益率的收益。
平均收益率的收益。
6半半强式效率市式效率市场假假说认为,证券价格会迅速、准确券价格会迅速、准确地根据可地根据可获得的所有公开信息得的所有公开信息调整,因此以往的价整,因此以往的价格和成交量等技格和成交量等技术面信息以及已公布的基本面信息面信息以及已公布的基本面信息都无助于挑都无助于挑选价格被高估或低估的价格被高估或低估的证券。
券。
强式效率市式效率市场假假说认为,不,不仅是已公布的信息,而是已公布的信息,而且是可能且是可能获得的有关信息都已反映在股价中,因此得的有关信息都已反映在股价中,因此任何信息任何信息(包括包括“内幕信息内幕信息”)对挑挑选证券都没有用券都没有用处。
效效率率市市场假假说提提出出后后,许多多学学者者运运用用各各种种数数据据对此此进行行了了实证分分析析。
结果果发现,发达达国国家家的的证券券市市场大体符合弱式效率市大体符合弱式效率市场假假说。
7马尔可夫可夫过程程弱式效率市弱式效率市场假假说可用可用马尔可夫随机可夫随机过程程(MarkovStochasticProcess)来表述。
来表述。
马尔科夫科夫过程程(Markovprocess)是一种特殊是一种特殊类型的随机型的随机过程。
程。
未来的未来的预测只与只与变量的当前量的当前值有关,与有关,与变量量过去的去的历史和史和变量从量从过去到去到现在的演在的演变方式不相关。
方式不相关。
股股价价的的马尔科科夫夫性性质与与弱弱型型市市场有有效效性性(theweakformofmarketefficiency)相一致:
相一致:
一一种种股股票票的的现价价已已经包包含含了了所所有有信信息息,当当然然包包括括了了所所有有过去去的的价价格格记录。
如如果果弱弱型型市市场有有效效性性正正确确的的话,技技术分分析析师可可通通过分分析析股股价价的的过去去历史数据史数据图表表获得高于平均收益率的收益是不可能的。
得高于平均收益率的收益是不可能的。
是市是市场竞争保争保证了弱型市了弱型市场有效性成立。
有效性成立。
812.2维纳过程维纳过程(WienerProcess)布布朗朗运运动起起源源于于物物理理学学中中对完完全全浸浸没没于于液液体体或或气气体体中中的的小小粒粒子子运运动的的描描述述,以以发现这种种现象象的的英英国国植植物学家物学家RobertBrown命名。
命名。
描描述述布布朗朗运运动的的随随机机过程程的的定定义是是维纳(wiener)给出的,因此布朗运出的,因此布朗运动又称又称维纳过程程股价行股价行为模型通常用布朗运模型通常用布朗运动来描述。
来描述。
布朗运布朗运动是是马尔科夫随机科夫随机过程的一种特殊形式。
程的一种特殊形式。
9维纳过程(维纳过程(WienerProcess)维纳过程(程(WienerProcess)性性质一:
股票价格的一:
股票价格的变动是一个正是一个正态变量与量与时间的乘的乘积(服从服从标准正准正态分布)分布)性性质二:
任意两个不重叠二:
任意两个不重叠时段的股票价格段的股票价格变动相互独立相互独立从性从性质一,我一,我们知道知道z服从正服从正态分布,性分布,性质2则隐含含z遵循遵循马尔科夫科夫过程。
维纳过程程/布朗运布朗运动的特征的特征股票价格在任意股票价格在任意时段段变动的均的均值都都为0。
股票价格在某一股票价格在某一时段段变动的方差等于的方差等于时间的的长度度10程序:
维纳过程的模拟程序:
维纳过程的模拟假假定定股股票票价价格格服服从从普普通通布布朗朗运运动,即即dS=dt+dz,其其中中和和均均为常常数数,dz遵遵循循标准准布布朗朗运运动,也也就就是是说,在在短短时间t后后,S值的的变化化值S为假假定定股股票票价价格格服服从从几几何何布布朗朗运运动,即即dS=dt+dz,其其中中和和均均为常常数数,dz遵遵循循标准准布布朗朗运运动,也也就就是是说,在在短短时间t后后,ln(S)值的的变化化值ln(S)为当股票价格服从普通布朗运动时的走势图当股票价格服从普通布朗运动时的走势图11当股票价格服从几何布朗运动时的走势图当股票价格服从几何布朗运动时的走势图1213股票价格的一般变动股票价格的一般变动一般化的一般化的维纳过程程变量本身随着量本身随着时间的推移会有定量的增的推移会有定量的增长at除了除了时间价价值之外的之外的变动为布朗运布朗运动1412.3股票价格的一般变动股票价格的一般变动股票价格的股票价格的变动股票价格有随股票价格有随时间推移增推移增长的的稳定定趋势股票股票“实际”价格价格变动为布朗运布朗运动布朗运动股票价格布朗运动股票价格指数布朗运动股票价格指数布朗运动股票价格上证指数上证指数1812.4ItosLemmaItosLemma假假设存在一个伊藤存在一个伊藤过程:
程:
如果如果G是是x和和t的函数,即:
的函数,即:
G=G(x,t)那么:
那么:
期期权及其他衍生及其他衍生证券的价格券的价格变动股票价格服从股票价格服从维纳过程:
19证明:
如前述,假设标的资产价格变动过程服从:
证明:
其中其中利用泰勒展开,忽略高阶项,利用泰勒展开,忽略高阶项,G(x,t)可以展开为可以展开为20因此,上式可以改写为因此,上式可以改写为保留保留1阶项,忽略阶项,忽略1阶以上的高阶项阶以上的高阶项21其中(忽略高阶项):
其中(忽略高阶项):
22因此,可得因此,可得由此得到由此得到代入前述公式可得到伊藤引理。
代入前述公式可得到伊藤引理。
2312.5股票价格的对数正态特性股票价格的对数正态特性对数正数正态分布分布股票价格服从股票价格服从维纳过程程股票价格的分布股票价格的分布为对数正数正态分布分布公式公式24关于对数正态分布关于对数正态分布定义定义G=lnS,由于:
,由于:
所以有:
即:
显然显然G为一个广义维纳过程,其漂移率为常数为一个广义维纳过程,其漂移率为常数,波,波动率为常数动率为常数。
因此,因此,lnS的变化服从正态分布,不难知道:
的变化服从正态分布,不难知道:
25对数正态分布对数正态分布几何布朗运动的深入分析几何布朗运动的深入分析在很短的在很短的时间tt后,后,证券价格比率的券价格比率的变化化值为:
可可见,在短,在短时间内,内,具有正具有正态分布特征分布特征其均其均值为,标准差准差为,方差,方差为。
几何布朗运动的深入分析(几何布朗运动的深入分析
(2)但是,在一个但是,在一个较长的的时间T后,后,不再具有正不再具有正态分布的性分布的性质:
多期收益率的乘多期收益率的乘积问题,服从正,服从正态分布的分布的变量的乘量的乘积并不服从正并不服从正态分布。
而由于分布。
而由于总的的连续复利收益率等于复利收益率等于各期收益率的加和,因此仍各期收益率的加和,因此仍为正正态分布。
分布。
因此,尽管因此,尽管是短期内股票价格百分比收益率的是短期内股票价格百分比收益率的标准准差,但是在任意差,但是在任意时间长度度TT后,后,这个收益率的个收益率的标准差准差却不再是却不再是。
股票价格的年波。
股票价格的年波动率并不是一年内股率并不是一年内股票价格百分比收益率票价格百分比收益率变化的化的标准差。
准差。
几何布朗运动的深入分析(几何布朗运动的深入分析(3)如果股票价格服从几何布朗运如果股票价格服从几何布朗运动,则可以利用可以利用Ito引理来推引理来推导证券价格自然券价格自然对数数lnS所遵循的随所遵循的随机机过程:
这个随机个随机过程的特征:
程的特征:
普通布朗运普通布朗运动:
恒定的漂移率和恒定的方差率。
:
在任意在任意时间长度度T之后,之后,G的的变化仍然服从正化仍然服从正态分布,分布,均均值为,方差,方差为。
标准差仍然可以表准差仍然可以表示示为,和,和时间长度平方根成正比。
度平方根成正比。
从自然从自然对数数lnS所遵循的所遵循的这个随机个随机过程可以得到两个程可以得到两个结论:
(1)几何布朗运动意味着股票价格服从对数正态分布。
)几何布朗运动意味着股票价格服从对数正态分布。
令令t时刻刻G的的值为lnS,T时刻刻G的的值为lnST,其中,其中S表示表示t时刻(当前刻(当前时刻)的刻)的证券价格,券价格,ST表示表示T时刻(将来刻(将来时刻)的刻)的证券价格,券价格,则在在Tt期期间G的的变化化为:
这意味着:
意味着:
进一步从正一步从正态分布的性分布的性质可以得到可以得到也就是也就是说,证券价格券价格对数服从正数服从正态分布。
如果一个分布。
如果一个变量量的自然的自然对数服从正数服从正态分布,分布,则称称这个个变量服从量服从对数正数正态分布。
这表明表明ST服从服从对数正数正态分布。
这正好与正好与作作为预期收益率的定期收益率的定义相符。
相符。
(2)股票价格对数收益率服从正态分布股票价格对数收益率服从正态分布由于由于dG实际上就是上就是连续复利的复利的对数收益率。
因数收益率。
因此几何布朗运此几何布朗运动实际上意味着上意味着对数收益率遵循数收益率遵循普通布朗运普通布朗运动,对数收益率的数收益率的变化服从正化服从正态分分布,布,对数收益率的数收益率的标准差与准差与时间的平方根成比的平方根成比例。
例。
将将t与与T之之间的的连续复利年收益率定复利年收益率定义为,则结论结论几何布朗运几何布朗运动较好地描好地描绘了股票价格的运了股票价格的运动过程。
3212.6随机过程的蒙特卡罗模拟随机过程的蒙特卡罗模拟有关蒙特卡有关蒙特卡罗方法的由来方法的由来取名于摩取名于摩纳哥的著名哥的著名赌城城掷色子是一个随机事件色子是一个随机事件蒙特卡蒙特卡罗方法方法任何涉及随机采任何涉及随机采样的数的数值方法方法不不仅仅用于有关随机的用于有关随机的问题估估计圆周率周率优化化问题40年代美国年代美国LosAlam
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- 金融 工程 过程 伊藤引理 2011