正弦余弦定理的应用举例PPT推荐.ppt
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答:
两点间的距离为两点间的距离为65.7米。
米。
B分析:
用例1的方法可以在在ACD中,可求出AC长;
在BCD中,可求出BC长;
在ABC中,由AC、BC、可求出AB长.PABDCAa例例2、两点都在河的对岸(不可到达),设计一种两点都在河的对岸(不可到达),设计一种测量两点间的距离的方法。
测量两点间的距离的方法。
22、河同侧两点间的距离、河同侧两点间的距离转化为例转化为例11解:
测量者可以在河岸边选定两点解:
测量者可以在河岸边选定两点,测得,测得,并且在并且在两点分别测得两点分别测得,.在在和和中,应用正弦定理中,应用正弦定理得得计算出计算出和和后,再在后,再在中,应用余弦定理计中,应用余弦定理计算出算出两点间的距离两点间的距离ABDCa在测量上,我们根据测量需要适当确定的线段叫做在测量上,我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线基线,如例如例1中的中的,例,例2中的中的.在测量过程中,要根据实际在测量过程中,要根据实际需要选取合适的基线长度,使测量具有较高的精确度需要选取合适的基线长度,使测量具有较高的精确度.一一般来说,基线越长,精确度越高般来说,基线越长,精确度越高.例如,早在例如,早在1671年,两位法国天文学家为了测量地球与年,两位法国天文学家为了测量地球与月球之间的距离,利用几乎位于同一子午线的柏林与好月球之间的距离,利用几乎位于同一子午线的柏林与好望角,测量计算望角,测量计算的大小和两地之间的距离的大小和两地之间的距离,从,从而算出了地球与月球之间的距离约为而算出了地球与月球之间的距离约为385400km.(如图)(如图)我们在地球上所能用的最长的基线是地球椭圆轨道的长轴我们在地球上所能用的最长的基线是地球椭圆轨道的长轴长长.当然,随着科学技术的发展,还有一些更加先进与准确当然,随着科学技术的发展,还有一些更加先进与准确的测量距离的方法的测量距离的方法.图1.2-3仰角、俯角、视角仰角、俯角、视角如图,当我们进行测量时,在视线与水平如图,当我们进行测量时,在视线与水平线所成的角中,线所成的角中,视线在水平线上方的角叫视线在水平线上方的角叫仰角仰角,在水平线,在水平线下方的角叫做下方的角叫做俯角俯角由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角叫做而成的角叫做视角视角数学理论数学理论解直角三角形解直角三角形:
RtACE和和RtADE中中,列方程求解列方程求解.例例3:
AB是底部不可到达的一个建筑物,是底部不可到达的一个建筑物,A为建筑物建筑物的最高点的最高点设计一种一种测量建筑物高度量建筑物高度AB的的办法法ECD分析分析:
解斜角三角形解斜角三角形:
斜斜ADC求求AC,RtACE中中,求求AE.二、测量高度二、测量高度11、一个竖直平面内的高度、一个竖直平面内的高度例例4在山顶铁塔上在山顶铁塔上处测得地面处测得地面上一点上一点的俯角的俯角,在塔,在塔底底处测得处测得处的俯角处的俯角。
已知铁塔已知铁塔部分的高为部分的高为27.3m,求出山高求出山高(精确到精确到1m)分析:
根据已知条件,应该设分析:
根据已知条件,应该设法计算出法计算出或或的长的长解:
在解:
在中中所以根据正弦定理,可得所以根据正弦定理,可得答:
山的高度约为答:
山的高度约为150米。
例例5一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到处时测得处时测得公路北侧远处一山顶公路北侧远处一山顶在西偏北在西偏北15的方向上,行驶的方向上,行驶5km后到达后到达处,测得此山顶在西偏北处,测得此山顶在西偏北25的方向上,仰角的方向上,仰角8,求此山的高度,求此山的高度.分析:
要测出高分析:
要测出高,只要测出高所在的直角三角形的另一只要测出高所在的直角三角形的另一条直角边或斜边的长。
根据已知条件,可以计算出条直角边或斜边的长。
根据已知条件,可以计算出的的长。
长。
22、立体中的高度、立体中的高度例例5一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到处时测得处时测得公路北侧远处一山顶公路北侧远处一山顶在西偏北在西偏北15的方向上,行驶的方向上,行驶5km后到达后到达处,测得此山顶在西偏北处,测得此山顶在西偏北25的方向上,仰角的方向上,仰角8,求此山的高度,求此山的高度.(长度精确到(长度精确到1m)根据正弦定理,根据正弦定理,解:
在中中答:
山的高度约为1047米。
例例6一艘海轮从一艘海轮从出发,沿北偏东出发,沿北偏东75的方向航行的方向航行67.5nmile后后到达海岛到达海岛,然后从然后从出发,沿北偏东出发,沿北偏东32的方向航行的方向航行54.0nmile后到达海岛后到达海岛.如果下次航行直接从如果下次航行直接从出发到达出发到达,此船应此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离(角度精确到该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离(角度精确到0.1,距距离精确到离精确到0.01nmile)?
解:
在中中根据余弦定理,得根据余弦定理,得三、测量角三、测量角所以,所以,答:
此船应该沿北偏东答:
此船应该沿北偏东56.0的方向航行,需要航行的方向航行,需要航行113.15nmile.由正弦定理,得由正弦定理,得借助于正弦定理和余弦定理,我们可以进一步解决一些有关借助于正弦定理和余弦定理,我们可以进一步解决一些有关三角形的计算问题,以及一些三角恒等式的证明问题三角形的计算问题,以及一些三角恒等式的证明问题.在在中,边中,边上的高分别记为上的高分别记为那么那么容易证明:
容易证明:
根据三角形的面积公式根据三角形的面积公式,应用以上高的公式,应用以上高的公式可以推导出下面的三角形的面积公式:
可以推导出下面的三角形的面积公式:
同理:
四、三角形面积四、三角形面积(11)、面积公式的推导)、面积公式的推导(22)、结论)、结论11、面积公式、面积公式例例7在在中,根据下列条件,求三角形的面积中,根据下列条件,求三角形的面积S(精确到精确到0.1cm)
(1)已知已知
(2)已知已知(3)已知三边的长分别为)已知三边的长分别为22、求三角形的面积、求三角形的面积例例8在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成市在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成市内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少(精确到,这个区域的面积是多少(精确到0.1m)?
设解:
设,根据余弦定理的推论,根据余弦定理的推论,33、三角形面积公式的应用、三角形面积公式的应用证明:
证明:
(1)根据正弦定理,可设)根据正弦定理,可设显然显然
(2)根据余弦定理的推论,)根据余弦定理的推论,五、三角形中恒等式的证明五、三角形中恒等式的证明方法一:
边化角方法一:
边化角方法二:
角化边方法二:
角化边六、海上台风预报问题的研究六、海上台风预报问题的研究海上台风预报是天气预报中的一个重要课题,是一个庞大海上台风预报是天气预报中的一个重要课题,是一个庞大的系统工程的系统工程.作好海上台风预报对于保护国家财产和人民生作好海上台风预报对于保护国家财产和人民生命财产安全具有重要的意义。
命财产安全具有重要的意义。
例例10、在某海滨城市附近海面有一台风,当前台风中心位于、在某海滨城市附近海面有一台风,当前台风中心位于(如图(如图1)的东偏南)的东偏南方向方向海面海面处,并以处,并以的速度向西偏北的速度向西偏北方向移动方向移动.台风侵袭的范围为圆形台风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为区域,当前半径为,并以,并以的速度不断增大的速度不断增大.问几个问几个小时后该城市开始受到台风的侵袭?
小时后该城市开始受到台风的侵袭?
东东北北设在时刻设在时刻台风中心位于台风中心位于如图所示如图所示,此时台风侵袭此时台风侵袭的圆形区域的半径为的圆形区域的半径为,则时刻,则时刻城市城市受到受到台风侵袭的条件为台风侵袭的条件为解:
由余弦定理知解:
由余弦定理知容易计算得:
容易计算得:
于是可以得到于是可以得到解得解得答:
12小时后该城市受到台风侵袭,小时后该城市受到台风侵袭,24小时后风过天晴。
小时后风过天晴。
东东北北练习练习1、一艘船以、一艘船以32.2nmile/hr的速度向正的速度向正北航行。
在北航行。
在处看灯塔处看灯塔S在船的北偏东在船的北偏东20o的的方向方向,30min后航行到后航行到处,在处,在处看灯塔在处看灯塔在船的北偏东船的北偏东65o的方向,已知距离此灯塔的方向,已知距离此灯塔6.5nmile以外的海区为航行安全区域,这艘船可以外的海区为航行安全区域,这艘船可以继续沿正北方向航行吗?
以继续沿正北方向航行吗?
(11)什么是最大仰角?
)什么是最大仰角?
最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度(22)例题中涉及一个怎样的三角)例题中涉及一个怎样的三角形?
形?
在在ABC中已知什么,要求什么?
中已知什么,要求什么?
CAB练习练习2自动卸货汽车的车厢采用液压机构。
设计时需要计算自动卸货汽车的车厢采用液压机构。
设计时需要计算油泵顶杆油泵顶杆BC的长度已知车厢的最大仰角是的长度已知车厢的最大仰角是60,油泵顶点,油泵顶点B与与车厢支点车厢支点A之间的距离为之间的距离为1.95m,AB与水平线之间的夹角为与水平线之间的夹角为,AC长为长为1.40m,计算,计算BC的长(精确到的长(精确到0.01m0.01m)最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度已知已知ABC中中AB1.95m,AC1.40m,夹角夹角CAB6620,求,求BC解:
由余弦定理,得解:
由余弦定理,得答:
顶杆答:
顶杆BCBC约长约长1.89m。
练习练习2自动卸货汽车的车厢采用液压机构。
设计时需要计算油泵顶杆油泵顶杆BC的长度已知车厢的最大仰角是的长度已知车厢的最大仰角是60,油泵顶点,油泵顶点B与与车厢支点车厢支点A之间的距离为之间的距离为1.95m,AB与水平线之间的夹角为与水平线之间的夹角为,AC长为长为1.40m,计算,计算BC的长(精确到的长(精确到0.01m0.01m)回顾小结回顾小结解斜三角形应用中应注意的问题:
解斜三角形应用中应注意的问题:
(1)认真分析题意,将已知元素和未知元素弄认真分析题意,将已知元素和未知元素弄清楚,根据题意画出示意图清楚,根据题意画出示意图.
(2)明确题目中的一些名词、术语的意义,将明确题目中的一些名词、术语的意义,将实际问题中的数量关系归结为数学问题实际问题中的数量关系归结为数学问题.(3)在选择关系式时,一是要力求简便;
二是在选择关系式时,一是要力求简便;
二是尽可能使用题中原有的已知数据,尽量减少计尽可能使用题中原有的已知数据,尽量减少计算中误差的积累,并根据题目要求的精确度确算中误差的积累,并根据题目要求的精确度确定答案及注明单位定答案及注明单位.
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- 正弦 余弦 定理 应用 举例