2017年四川省中考突破复习题型专项(十)圆的简单证明与计算.doc
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题型专项(十) 圆的简单证明与计算
1.(2016·乐山)如图,在△ABC中,AB=AC,以AC边为直径作⊙O交BC边于点D,过点D作DE⊥AB于点E,ED,AC的延长线交于点F.
(1)求证:
EF是⊙O的切线;
(2)若EB=,且sin∠CFD=,求⊙O的半径与线段AE的长.
解:
(1)证明:
连接OD.
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACD.
∵OC=OD,
∴∠ODC=∠OCD.
∴∠B=∠ODC.
∴OD∥AB.
∵DE⊥AB,
∴OD⊥EF.
∴EF是⊙O的切线.
(2)在Rt△ODF和Rt△AEF中,
∵sin∠CFD=,∴==.
设OD=3x,则OF=5x.
∴AB=AC=6x,AF=8x.
∵EB=,∴AE=6x-.
∴=.解得x=.
∴⊙O的半径长为,AE=6.
2.(2016·鄂州改编)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AO是∠CAB的平分线.以O为圆心,OC为半径作⊙O.
(1)求证:
AB是⊙O的切线;
(2)已知AO交⊙O于点E,延长AO交⊙O于点D,tanD=,求的值.
解:
(1)证明:
过点O作OF⊥AB于点F.
∵AO平分∠CAB,OC⊥AC,OF⊥AB,
∴OC=OF.
∴AB是⊙O的切线.
(2)连接CE.
∵ED是⊙O的直径,
∴∠ECD=90°,即∠ECO+∠OCD=90°.
∵∠ACB=90°,∴∠ACE+∠ECO=90°.
∴∠ACE=∠OCD.
∵OC=OD,∴∠OCD=∠ODC.
∴∠ACE=∠ODC.
∵∠CAE=∠CAE,∴△ACE∽△ADC.
∴=.
∵tanD=,∴=,
∴=.
3.(2016·云南)如图,AB为⊙O的直径,C是⊙O上一点,过点C的直线交AB的延长线于点D,AE⊥DC,垂足为E,F是AE与⊙O的交点,AC平分∠BAE.
(1)求证:
DE是⊙O的切线;
(2)若AE=6,∠D=30°,求图中阴影部分的面积.
解:
(1)证明:
连接OC.
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA.
又∵AC平分∠BAE.
∴∠OAC=∠CAE.
∴∠OCA=∠CAE.
∴OC∥AE.
∴∠OCD=∠E.又AE⊥DC.
∴∠E=90°.
∴∠OCD=90°.
∴OC⊥DC.
∵点C在⊙O上,OC为⊙O的半径,
∴DE是⊙O的切线.
(2)在Rt△AED中,
∵∠D=30°,AE=6.
∴AD=2AE=12.
在Rt△OCD中,
∵∠D=30°.
∴DO=2OC=DB+OB=DB+OC.
∴DB=OB=OC=OA=AD=4,DO=8.
∴CD===4.
∴S△OCD===8.
又∵∠D=30°,∠OCD=90°.
∴∠DOC=60°.
∴S扇形OBC=×π×OC2=.
∵S阴影=S△OCD-S扇形OBC,
∴S阴影=8-.
∴阴影部分的面积为8-.
4.(2016·广安岳池县一诊)如图,PA为⊙O的切线,A为切点,过点A作OP的垂线AB,垂足为点C,交⊙O于点B.延长BO与⊙O交于点D,与PA的延长线交于点E.
(1)求证:
PB为⊙O的切线;
(2)若OC∶BC=2∶3,求sinE的值.
解:
(1)证明:
连接OA.
∵PA为⊙O的切线,
∴∠PAO=90°.
∵OA=OB,OP⊥AB,
∴BC=CA,PB=PA.
在△PBO和△PAO中,
∴△PBO≌△PAO(SSS).
∴∠PBO=∠PAO=90°.
∴PB为⊙O的切线.
(2)连接AD.
∵BD是直径,∴∠BAD=90°.
由
(1)知∠BCO=90°,∴AD∥OP.
∴△ADE∽△POE.∴=.
∵BC=AC,OB=OD,
∴OC是△ABD的中位线,
∴AD=2OC.
∵OC∶BC=2∶3,
设OC=2t,则BC=3t,AD=4t.
∵∠OBC+∠PBC=90°,∠BOC+∠OBC=90°,
∴∠BOC=∠PBC.
∵∠OCB=∠BCP,∴△PBC∽△BOC.
∴=,即=,
∴PC=t,OP=t.
∴==.
设EA=8m,EP=13m,则PA=5m.
∵PA=PB,
∴PB=5m.
∴sinE==.
5.(2014·攀枝花)如图,△ABC的边AB为⊙O的直径,BC与圆交于点D,D为BC的中点,过点D作DE⊥AC于点E.
(1)求证:
AB=AC;
(2)求证:
DE为⊙O的切线;
(3)若AB=13,sinB=,求CE的长.
解:
(1)证明:
连接AD.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°.
∴AD⊥BC.
又D是BC的中点,
∴AB=AC.
(2)证明:
连接OD.
∵O,D分别是AB,BC的中点,
∴OD∥AC.
∴∠ODE=∠DEC=90°.
∴OD⊥DE.
∴DE是⊙O的切线.
(3)∵AB=13,sinB=,
∴=,即AD=12.
∴由勾股定理得BD=5.
∴CD=5.
∵∠B=∠C,
∴=,即DE=.
∴根据勾股定理得CE=.
6.(2016·苏州)如图,AB是⊙O的直径,D,E为⊙O上位于AB异侧的两点,连接BD并延长至点C,使得CD=BD.连接AC交⊙O于点F,连接AE,DE,DF.
(1)证明:
∠E=∠C;
(2)若∠E=55°,求∠BDF的度数;
(3)设DE交AB于点G,若DF=4,cosB=,E是弧AB的中点,求EG·ED的值.
解:
(1)证明:
连接AD.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,即AD⊥BC.
∵CD=BD,
∴AD垂直平分BC.
∴AB=AC,
∴∠B=∠C.
又∵∠B=∠E,
∴∠E=∠C.
(2)∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形,
∴∠AFD=180°-∠E.
又∠CFD=180°-∠AFD,
∴∠CFD=∠E=55°,
又∵∠E=∠C=55°.
∴∠BDF=∠C+∠CFD=110°.
(3)连接OE.
∵∠CFD=∠AED=∠C,
∴FD=CD=BD=4.
在Rt△ABD中,cosB=,BD=4,∴AB=6.
∵E是的中点,AB是⊙O的直径,
∴∠AOE=90°.
∵AO=OE=3.∴AE=3.
∵E是的中点,∴∠ADE=∠EAB.
又∵∠AEG=∠DEA.
∴△AEG∽△DEA.
∴=,即EG·ED=AE2=18.
7.(2016·雅安)如图1,AB是⊙O的直径,E是AB延长线上一点,EC切⊙O于点C,OP⊥AO交AC于点P,交EC的延长线于点D.
(1)求证:
△PCD是等腰三角形;
(2)CG⊥AB于点H,交⊙O于点G,过点B作BF∥EC,交⊙O于点F,交CG于Q点,连接AF,如图2,若sinE=,CQ=5,求AF的值.
解:
(1)证明:
连接OC.∵EC切⊙O于点C,
∴OC⊥DE,即∠OCP+∠DCP=90°.
又∵OP⊥OA,∴∠OAP+∠OPA=90°.
∵OA=OC,∴∠OCP=∠OAP.
∴∠DCP=∠OPA.
又∵∠OPA=∠DPC,
∴∠DCP=∠DPC.
∴DP=DC,即△PCD为等腰三角形.
(2)连接OC,BC.
∵DE与⊙O相切于点C,
∴∠OCE=90°,即∠OCB+∠BCE=90°.
∵OC=OB,
∴∠OCB=∠OBC.
∴∠OBC+∠BCE=90°.
又∵CG⊥AB,
∴∠OBC+∠BCG=90°.
∴∠BCE=∠BCG.
∵BF∥DE,
∴∠BCE=∠QBC.
∴∠BCG=∠QBC.
∴QC=QB=5.
∵BF∥DE,
∴∠ABF=∠E.
∵sinE=,
∴sin∠ABF=.
∴QH=3,BH=4.
设⊙O的半径为r.
∴在Rt△OCH中,r2=82+(r-4)2.解得r=10.
又∵∠AFB=90°,sin∠ABF=,
∴AF=12.
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