双曲线的简单几何性质练习题.docx
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双曲线的简单几何性质练习题
课时作业(十一)
一、选择题
1.等轴双曲线的一个焦点是F1(-6,0),则它的标准方程是( )
A.-=1B.-=1
C.-=1D.-=1
【解析】 设等轴双曲线方程为-=1(a>0),
∴a2+a2=62,∴a2=18,故双曲线方程为-=1.
【答案】 B
2.(2014·高二考试)已知双曲线方程为x2-=1,过P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点,则共有l( )
A.4条B.3条C.2条D.1条
【解析】 因为双曲线方程为x2-=1,所以P(1,0)是双曲线的右顶点,所以过P(1,0)并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线,与双曲线只有一个公共点,另外还有两条就是过P(1,0)分别和两条渐近线平行的直线,所以符合要求的共有3条,故选B.
【答案】 B
3.(2014·大纲全国卷)双曲线C:
-=1(a>0,b>0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离为,则C的焦距等于( )
A.2B.2C.4D.4
【解析】 由已知得e==2,所以a=c,故b==c,从而双曲线的渐近线方程为y=±x=±x,由焦点到渐近线的距离为,得c=,解得c=2,故2c=4,故选C.
【答案】 C
4.(2014·高考)若实数k满足0 A.实半轴长相等B.虚半轴长相等 C.离心率相等D.焦距相等 【解析】 若0 【答案】 D 二、填空题 5.(2014·高二检测)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线-=1的离心率为,则m的值为________. 【解析】 ∵c2=m+m2+4, ∴e2===5, ∴m2-4m+4=0,∴m=2. 【答案】 2 6.(2013·高考)已知F为双曲线C: -=1的左焦点,P,Q为C上的点.若PQ的长等于虚轴长的2倍,点A(5,0)在线段PQ上,则△PQF的周长为________. 【解析】 由双曲线方程知,b=4,a=3,c=5,则虚轴长为8,则|PQ|=16.由左焦点F(-5,0),且A(5,0)恰为右焦点,知线段PQ过双曲线的右焦点,则P,Q都在双曲线的右支上.由双曲线的定义可知|PF|-|PA|=2a,|QF|-|QA|=2a,两式相加得,|PF|+|QF|-(|PA|+|QA|)=4a,则|PF|+|QF|=4a+|PQ|=4×3+16=28,故△PQF的周长为28+16=44. 【答案】 44 7.(2014·)设直线x-3y+m=0(m≠0)与双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A,B,若点P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是________. 【解析】 由得点A的坐标为 , 由得点B的坐标为, 则AB的中点C的坐标为, ∵kAB=, ∴kCP==-3, 即=-3,化简得a2=4b2, 即a2=4(c2-a2),∴4c2=5a2, ∴e2=,∴e=. 【答案】 三、解答题 8.双曲线与椭圆+=1有相同的焦点,它的一条渐近线为y=x,求双曲线的标准方程和离心率. 【解】由椭圆+=1,知c2=64-16=48,且焦点在y轴上, ∵双曲线的一条渐近线为y=x, ∴设双曲线方程为-=1. 又c2=2a2=48,∴a2=24. ∴所求双曲线的方程为-=1. 由a2=24,c2=48, 得e2==2, 又e>0,∴e=. 9.(2014·高二检测)已知双曲线-=1的右焦点为(2,0). (1)求双曲线的方程; (2)求双曲线的渐近线与直线x=-2围成的三角形的面积. 【解】 (1)∵双曲线的右焦点坐标为(2,0),且双曲线方程为-=1,∴c2=a2+b2=3+b2=4,∴b2=1, ∴双曲线的方程为-y2=1. (2)∵a=,b=1, ∴双曲线的渐近线方程为y=±x, 令x=-2,则y=±, 设直线x=-2与双曲线的渐近线的交点为A、B, 则|AB|=,记双曲线的渐近线与直线x=-2围成的三角形面积为S, 则S=××2=. 1.(2014·省实验中学高二检测)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线均与C: x2+y2-6x+5=0相切,则该双曲线离心率等于( ) A.B.C.D. 【解析】 圆的标准方程为(x-3)2+y2=4,所以圆心坐标为C(3,0),半径r=2,双曲线的渐近线为y=±x,不妨取y=x,即bx-ay=0,因为渐近线与圆相切,所以圆心到直线的距离d==2,即9b2=4(a2+b2),所以5b2=4a2,b2=a2=c2-a2,即a2=c2,所以e2=,e=,选A. 【答案】 A 2.(2014·市东城区)设F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P,满足|PF2|=|F1F2|,且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为( ) A.3x±4y=0B.3x+5y=0 C.5x±4y=0D.4x±3y=0 【解析】 由题意可知|PF2|=|F1F2|=2c,所以△PF1F2为等腰三角形,所以由F2向直线PF1作的垂线也是中线,因为F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长2a,所以|PF1|=2=4b,又|PF1|-|PF2|=2a,所以4b-2c=2a,所以2b-a=c,两边平方可得4b2-4ab+a2=c2=a2+b2,所以3b2=4ab,所以4a=3b,从而=,所以该双曲线的渐近线方程为4x±3y=0,故选D. 【答案】 D 3.过双曲线x2-=1的左焦点F1,作倾斜角为的直线AB,其中A、B分别为直线与双曲线的交点,则|AB|的长为________. 【解析】 双曲线的左焦点为F1(-2,0), 将直线AB方程y=(x+2)代入双曲线方程, 得8x2-4x-13=0.显然Δ>0, 设A(x1,y1)、B(x2,y2), ∴x1+x2=,x1x2=-, ∴|AB|=· =×=3. 【答案】 3 4.(2014·师大)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为(,0). (1)求双曲线C的方程; (2)若直线l: y=kx+与双曲线C恒有两个不同的交点A和B,且·>2,其中O为原点,求k的取值围. 【解】 (1)设双曲线C的方程为-=1(a>0,b>0),由已知得a=,c=2. 又因为a2+b2=c2,所以b2=1, 故双曲线C的方程为-y2=1. (2)将y=kx+代入-y2=1中, 得(1-3k2)x2-6kx-9=0, 由直线l与双曲线交于不同的两点得 即k2≠且k2<1.① 设A(xA,yA),B(xB,yB), 则xA+xB=,xAxB=, 由·>2得xAxB+yAyB>2, 而xAxB+yAyB=xAxB+(kxA+)(kxB+) =(k2+1)xAxB+k(xA+xB)+2 =(k2+1)·++2=, 于是>2,解此不等式得 由①②得 故k的取值围是∪.
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- 双曲线 简单 几何 性质 练习题