第一章 13 第2课时 补集Word文件下载.docx
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2.集合∁RA=∁QA.( ×
3.一个集合的补集一定含有元素.( ×
4.存在x0∈U,x0∉A,且x0∉∁UA.( ×
5.设全集U=R,A=
,则∁UA=
.( ×
一、补集的运算
例1
(1)设集合U=R,M={x|x>
2或x<
-2},则∁UM等于( )
A.{x|-2≤x≤2}B.{x|-2<
x<
2}
C.{x|x<
-2或x>
2}D.{x|x≤-2或x≥2}
答案 A
解析 如图,在数轴上表示出集合M,
可知∁UM={x|-2≤x≤2}.
(2)设U={x∈Z|-5≤x<
-2或2<
x≤5},A={x|x2-2x-15=0},B={-3,3,4},则∁UA=________,∁UB=________.
答案 {-5,-4,3,4} {-5,-4,5}
解析 方法一 在集合U中,∵x∈Z,
则x的值为-5,-4,-3,3,4,5,
∴U={-5,-4,-3,3,4,5}.
又∵A={x|x2-2x-15=0}={-3,5},
∴∁UA={-5,-4,3,4},∁UB={-5,-4,5}.
方法二 可用Venn图表示.
则∁UA={-5,-4,3,4},∁UB={-5,-4,5}.
(学生)
反思感悟 求补集的方法
(1)列举法表示:
从全集U中去掉属于集合A的所有元素后,由所有余下的元素组成的集合.
(2)由不等式构成的无限集表示:
借助数轴,取全集U中集合A以外的所有元素组成集合.
跟踪训练1
(1)已知全集U={x|x≥-3},集合A={x|-3<
x≤4},则∁UA=________;
答案 {x|x=-3或x>
4}
解析 借助数轴得∁UA={x|x=-3或x>
4}.
(2)已知全集为U,集合A={1,3,5,7},∁UA={2,4,6},∁UB={1,4,6},则集合B=________.
答案 {2,3,5,7}
解析 方法一 (定义法):
因为A={1,3,5,7},∁UA={2,4,6},所以U={1,2,3,4,5,6,7}.又∁UB={1,4,6},所以B={2,3,5,7}.
方法二 (Venn图法):
满足题意的Venn图,如图所示.
由图可知B={2,3,5,7}.
二、交、并、补集的综合运算
例2 已知全集U={x|x≤4},集合A={x|-2<
3},B={x|-3≤x≤2},求A∩B,(∁UA)∪B,A∩(∁UB),∁U(A∪B),(∁UA)∩(∁UB),∁U(A∩B),(∁UA)∪(∁UB).
解 如图所示.
∵A={x|-2<
3},B={x|-3≤x≤2},
U={x|x≤4},
∴∁UA={x|x≤-2或3≤x≤4},
∁UB={x|x<
-3或2<
x≤4},
A∪B={x|-3≤x<
3}.
故A∩B={x|-2<
x≤2},
(∁UA)∪B={x|x≤2或3≤x≤4},
A∩(∁UB)={x|2<
3},
∁U(A∪B)={x|x<
-3或3≤x≤4},
(∁UA)∩(∁UB)={x|x<
∁U(A∩B)={x|x≤-2或2<
(∁UA)∪(∁UB)={x|x≤-2或2<
x≤4}.
反思感悟 解决集合交、并、补运算的技巧
(1)如果所给集合是有限集,则先把集合中的元素一一列举出来,然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于Venn图来求解.这样处理起来,相对来说比较直观、形象且解答时不易出错.
(2)如果所给集合是无限集,则常借助数轴,把已知集合及全集分别表示在数轴上,然后进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题.
跟踪训练2 已知U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={3,4,5},B={4,7,8},求A∩B,A∪B,(∁UA)∩
(∁UB),A∩(∁UB),(∁UA)∪B.
解 方法一 (直接法):
由已知易求得A∩B={4},A∪B={3,4,5,7,8},∁UA={1,2,6,7,8},
∁UB={1,2,3,5,6},∴(∁UA)∩(∁UB)={1,2,6},A∩(∁UB)={3,5},(∁UA)∪B={1,2,4,6,7,8}.
画出Venn图,如图所示,
可得A∩B={4},A∪B={3,4,5,7,8},
(∁UA)∩(∁UB)={1,2,6},A∩(∁UB)={3,5},
(∁UA)∪B={1,2,4,6,7,8}.
三、与补集有关的参数值的求解
例3 已知全集U=R,集合A={x|x≤-2或x≥3},B={x|2m+1<
m+7},若(∁UA)∩B=B,求实数m的取值范围.
解 因为A={x|x≤-2或x≥3},
所以∁UA={x|-2<
因为(∁UA)∩B=B,所以B⊆(∁UA).
当B=∅时,即2m+1≥m+7,
所以m≥6,满足(∁UA)∩B=B.
当B≠∅时,由
无解.
故m的取值范围是{m|m≥6}.
延伸探究
1.若把本例的条件“(∁UA)∩B=B”改为“(∁UA)∪B=B”,则实数m的取值范围为________.
答案
解析 因为(∁UA)∪B=B,所以(∁UA)⊆B,
所以
解得-4≤m≤-
,
故实数m的取值范围为
.
2.若将本例的条件“(∁UA)∩B=B”改为“(∁UA)∩B=∅”,则实数m的取值范围为________.
答案 {m|m≤-9或m≥1}
解析 当B=∅时,m≥6.
当B≠∅时,m<
6时,m+7≤-2或2m+1≥3,解得m≤-9或1≤m<
6.
故实数m的取值范围为{m|m≤-9或m≥1}.
反思感悟 利用补集求参数应注意两点
(1)与集合的交、并、补运算有关的参数问题一般利用数轴求解,涉及集合间关系时不要忘掉空集的情形.
(2)不等式中的等号在补集中能否取到,要引起重视,还要注意补集是全集的子集.
跟踪训练3 已知集合A={x|x<
a},B={x|x<
-1或x>
0}.若A∩(∁RB)=∅,求实数a的取值范围.
解 ∵B={x|x<
0},
∴∁RB={x|-1≤x≤0},
要使A∩(∁RB)=∅,结合数轴分析(如图),
可得a≤-1.
即实数a的取值范围是{a|a≤-1}.
1.已知全集U={0,1,2},且∁UA={2},则A等于( )
A.{0}B.{1}C.∅D.{0,1}
答案 D
解析 ∵U={0,1,2},∁UA={2},∴A={0,1}.
2.设U=R,A={x|-1<
x≤0},则∁UA等于( )
A.{x|x≤-1或x>
0}B.{x|-1≤x<
0}
-1或x≥0}D.{x|x≤-1或x≥0}
解析 因为U=R,A={x|-1<
x≤0},
所以∁UA={x|x≤-1或x>
0}.
3.已知A={x|x+1>
0},B={-2,-1,0,1},则(∁RA)∩B等于( )
A.{-2,-1}B.{-2}
C.{-1,0,1}D.{0,1}
解析 因为集合A={x|x>
-1},
所以∁RA={x|x≤-1},
则(∁RA)∩B={x|x≤-1}∩{-2,-1,0,1}={-2,-1}.
4.已知集合A={3,4,m},集合B={3,4},若∁AB={5},则实数m=________.
答案 5
解析 ∵∁AB={5},∴5∈A,且5∉B.∴m=5.
5.设全集为R,A={x|3≤x<
7},B={x|2<
10},则∁R(A∪B)=________,(∁RA)∩B=________.
答案 {x|x≤2或x≥10} {x|2<
3或7≤x<
10}
解析 把全集R和集合A,B在数轴上表示如图:
由图知,A∪B={x|2<
10},
∴∁R(A∪B)={x|x≤2或x≥10}.
∵∁RA={x|x<
3或x≥7},
∴(∁RA)∩B={x|2<
10}.
1.知识清单:
(1)全集和补集的概念及运算.
(2)并、交、补集的综合运算.
(3)与补集有关的参数值的求解.
2.方法归纳:
正难则反的补集思想、数形结合.
3.常见误区:
求补集时忽视全集,运算时易忽视端点的取舍.
1.设全集U={x|x≥0},集合P={1},则∁UP等于( )
A.{x|0≤x<
1或x>
1}B.{x|x<
1}
1}D.{x|x>
解析 因为U={x|x≥0},P={1},
所以∁UP={x|x≥0且x≠1}={x|0≤x<
1}.
2.已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={3,4},B={6,7},则(∁UB)∩A等于( )
A.{1,6}B.{1,7}
C.{3,4}D.{3,4,5}
答案 C
解析 ∵U={1,2,3,4,5,6,7},A={3,4},B={6,7},
∴∁UB={1,2,3,4,5},∴(∁UB)∩A={3,4}.
3.集合A={x|-1≤x≤2},B={x|x<
1},则A∩(∁RB)等于( )
A.{x|x>
1}B.{x|x≥1}
C.{x|1<
x≤2}D.{x|1≤x≤2}
解析 由A={x|-1≤x≤2},B={x|x<
1}可知∁RB={x|x≥1}.∴A∩(∁RB)={x|1≤x≤2}.
4.设全集U为实数集R,M={x|x>
-2},N={x|x≥3或x<
1}都是全集U的子集,则图中阴影部分所表示的集合是( )
A.{x|-2≤x<
1}B.{x|-2≤x≤2}
x≤2}D.{x|x<
解析 阴影部分表示的集合为N∩(∁UM)={x|-2≤x<
5.已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x=2a,a∈A},则集合∁U(A∪B)中元素的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
答案 B
解析 A={1,2},B={2,4},所以A∪B={1,2,4},
则∁U(A∪B)={3,5},共有2个元素.
6.设全集U=R,A={x|x>
0},B={x|x>
1},则A∩(∁UB)=________.
答案 {x|0<
x≤1}
解析 ∵U=R,B={x|x>
1},∴∁UB={x|x≤1}.
又∵A={x|x>
∴A∩(∁UB)={x|x>
0}∩{x|x≤1}={x|0<
x≤1}.
7.设全集U=R,集合A={x|0<
9},B={x∈Z|-4<
4},则集合(∁UA)∩B中的元素的个数为________.
答案 4
解析 ∵U=R,A={x|0<
x
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