第2章 特殊三角形期末复习含答案文档格式.docx
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∴∠B=∠ADB=72°
,∠DAC=∠C=36°
∴AB=AD,DA=DC.
∴△ABD和△ADC是等腰三角形.
(2)在AC上截取AE=AB,连结DE,
又∵∠BAD=∠DAE,AD=AD,
∴△ABD≌△AED.
∴∠AED=∠B,BD=DE.
∵AB+BD=AC,AC=AE+EC,
∴BD=EC.
∴DE=EC.
∴∠EDC=∠C.
∴∠B=∠AED=∠EDC+∠C=2∠C.
∴∠B∶∠C=2∶1.
1.(上城区期中)如图,△ABC、△ADE中,C、D两点分别在AE、AB上,BC与DE相交于点F.若BD=CD=CE,∠ADC+∠ACD=104°
,则∠DFC的度数为(C)
A.104°
B.118°
C.128°
D.136°
2.如图,在△ABC中,AB=AC,点D、E、F分别在AB、BC、AC边上,且BE=CF,BD=CE.
(1)求证:
△DEF是等腰三角形;
(2)当∠A=40°
时,求∠DEF的度数.
(1)证明:
∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
在△BDE和△CEF中,
∴△BDE≌△CEF(SAS).
∴DE=EF,即△DEF是等腰三角形.
(2)∵∠A=40°
,AB=AC,
∴∠B=∠C=70°
由
(1)知,△BDE≌△CEF,
∴∠BDE=∠CEF.
∴∠DEF=180°
-∠BED-∠CEF
=180°
-∠BED-∠BDE
=∠B=70°
重难点2 直角三角形的性质及判定
【例2】 在Rt△ABC中,∠BAC=90°
,BF平分∠ABC,∠AEF=∠AFE.
AD⊥BC(请用一对互逆命题进行证明);
(2)写出你所用到的这对互逆命题.
【思路点拨】 由“直角三角形的两个锐角互余”得到∠ABF+∠AFB=90°
,又因为∠ABF=∠CBF,∠AEF=∠BED,从而转化为∠CBF+∠BED=90°
,从而AD⊥BC得证.
在Rt△ABC中,
∵∠BAC=90°
∴∠ABF+∠AFB=90°
∵BF平分∠ABC,
∴∠ABF=∠CBF.
∵∠AEF=∠AFE,
∠BED=∠AEF,
∴∠BED=∠AFE.
∴∠CBF+∠BED=90°
∴∠BDE=90°
∴AD⊥BC.
(2)互逆命题:
直角三角形的两个锐角互余;
有两个角互余的三角形是直角三角形.
3.(庆元县岭头中学月考)已知,如图,B、C、D三点共线,AB⊥BD,ED⊥CD,C是BD上的一点,且AB=CD,∠1=∠2,请判断△ACE的形状并说明理由.
△ACE是等腰直角三角形,理由:
∵∠1=∠2,
∴AC=CE.
∵AB⊥BD,ED⊥CD,
∴∠B=∠D=90°
在Rt△ABC和Rt△CDE中,
∴Rt△ABC≌Rt△CDE.
∴∠ACB=∠CED.
∵∠CED+∠ECD=90°
∴∠ACB+∠ECD=90°
∴∠ACE=90°
∴△ACE是等腰直角三角形.
重难点3 勾股定理及其逆定理
【例3】 如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°
,点D是AC的中点,作∠ADB的平分线DE交AB于点E.
DE∥BC;
(2)若AE=3,AD=5,点P为线段BC上的一动点,当BP为何值时,△DEP为等腰三角形?
请求出所有BP的值.
【思路点拨】
(1)要证DE∥BC,可转化为证∠AED=∠ABC=90°
,即证DE⊥AB,由等腰三角形“三线合一”的性质可推导得出;
(2)△DEP为等腰三角形,存在三种情况:
DE=EP,DP=EP,DE=DP,结合勾股定理可求得BP的值.
∵∠ABC=90°
,点D是AC的中点,
∴BD=AD=
AC.
∵DE是∠ADB的平分线,
∴DE⊥AB.
又∵∠ABC=90°
,∴DE∥BC.
(2)∵AE=3,AD=5,DE⊥AB,
∴DE=
=4.
∵DE⊥AB,AD=BD,
∴BE=AE=3.
①DE=EP时,BP=
=
;
②DP=EP时,BP=
DE=
×
4=2;
③DE=DP时,过点D作DF⊥BC于点F,则DF=BE=3,
由勾股定理,得FP=
点P在F下边时,BP=4-
点P在F上边时,BP=4+
综上所述,BP的值为
,2,4-
或4+
4.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°
,AB=5cm,AC=3cm,动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度运动,设运动时间为t(s).
(1)当△ABP为直角三角形时,求t的值;
(2)当△ABP为等腰三角形时,求t的值.
(1)∵∠C=90°
,AB=5cm,AC=3cm,
∴BC=4cm.
①当∠APB为直角时,点P与点C重合,BP=BC=4cm,
∴t=4.
②当∠BAP为直角时,BP=tcm,CP=(t-4)cm,AC=3cm,
在Rt△ACP中,AP2=32+(t-4)2,
在Rt△BAP中,AB2+AP2=BP2,
∴52+[32+(t-4)2]=t2,
解得t=
综上,当△ABP为直角三角形时,t=4或
(2)①当BP=BA=5cm时,t=5.
②当AB=AP时,BP=2BC=8cm,∴t=8.
③当PB=PA时,PB=PA=tcm,CP=(4-t)cm,AC=3cm,
在Rt△ACP中,AP2=AC2+CP2,
∴t2=32+(4-t)2,解得t=
综上,当△ABP为等腰三角形时,t=5或8或
03 备考集训
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.(上城区期中)下列四个图形中,是轴对称图形的是(C)
2.下列各命题的逆命题成立的是(C)
A.全等三角形的对应角相等
B.如果两个数相等,那么它们的绝对值相等
C.两直线平行,同位角相等
D.如果两个角都是45°
,那么这两个角相等
3.如图,在△ABC中,∠ACB=90°
,CD是AB边上的高,如果∠A=50°
,那么∠DCB=(A)
A.50°
B.45°
C.40°
D.25°
4.下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是(B)
A.两条直角边对应相等
B.两个锐角对应相等
C.一条直角边和它所对的锐角对应相等
D.一个锐角和锐角所对的直角边对应相等
5.(永嘉县校级期中)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°
,则顶角的度数为(D)
A.60°
B.120°
C.60°
或150°
D.60°
或120°
6.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°
,D为AC上一点,且DA=DB=5,如果△DAB的面积为10,那么DC的长是(B)
A.4B.3
C.5D.4.5
第6题图 第7题图
7.如图,在△ABC中,∠A=36°
,AB=AC,AB的垂直平分线OD交AB于点O,交AC于点D,连结BD,下列结论错误的是(D)
A.∠C=2∠A
B.BD平分∠ABC
C.图中有三个等腰三角形
D.S△BCD=S△BOD
8.(萧山区期中)△ABC中,AB=AC=5,BC=8,点P是BC边上的动点,过点P作PD⊥AB于点D,PE⊥AC于点E,则PD+PE的长是(A)
A.4.8B.4.8或3.8
C.3.8D.5
9.(庆元县岭头中学月考)如图,三角形纸片ABC中,∠B=2∠C,把三角形纸片沿直线AD折叠,点B落在AC边上的E处,那么下列等式成立的是(B)
A.AC=AD+BDB.AC=AB+BD
C.AC=AD+CDD.AC=AB+CD
第9题图 第10题图
10.(河北中考)如图,∠AOB=120°
,OP平分∠AOB,且OP=2.若点M,N分别在OA,OB上,且△PMN为等边三角形,则满足上述条件的△PMN有(D)
A.1个B.2个
C.3个D.3个以上
二、填空题(每小题4分,共24分)
11.等腰三角形的一个角是110°
,则它的底角是35°
.
12.(永嘉县校级期中)如图是一个外轮廓为长方形的机器零件的平面示意图,根据图中的尺寸(单位:
cm),计算两个圆孔中的A和B的距离为10cm.
第12题图 第13题图
13.如图,在△ABC中,AB=AC=7,BC=6,AF⊥BC于F,BE⊥AC于E,D是AB的中点,则△DEF的周长是10.
14.(萧山区期中)如图,已知∠MON=30°
,点A1、A2、A3…在射线ON上,点B1、B2、B3…在射线OM上,△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形,若OA1=1,则△A6B6A7的边长为32.
第14题图 第15题图
15.(江山期末)如图,在边长为2的等边△ABC中,AD是BC边上的高,点E是AC中点,点P是AD上一动点,则PC+PE的最小值是
16.(杭州期中)已知:
如图,BD为△ABC的角平分线,且BD=BC,E为BD延长线上的一点,BE=BA,过E作EF⊥AB,F为垂足,下列结论:
①△ABD≌△EBC;
②∠BCE+∠BCD=180°
③AD=EF=EC;
④BA+BC=2BF.其中正确的结论有①②④(填序号).
三、解答题(共46分)
17.(10分)如图,请将下面两个三角形分成两个等腰三角形.(要求重新画图,且标出每个等腰三角形的内角的度数)
如图:
18.(10分)(杭州中考)如图,在△ABC中,已知AB=AC,AD平分∠BAC,点M,N分别在AB,AC边上,AM=2MB,AN=2NC.求证:
DM=DN.
∵AM=2MB,AN=2NC,AB=AC,
∴AM=AN.
∵AD平分∠BAC,
∴∠MAD=∠NAD.
在△AMD和△AND中,
∴△AMD≌△AND(SAS).
∴DM=DN.
19.(12分)(萧山区期中)
(1)用直尺和圆规作一个等腰三角形,使得底边长为线段a,底边上的高的长为线段b,要求保留作图痕迹;
(不要求写出作法)
(2)在
(1)中,若a=6,b=4,求等腰三角形的腰长.
(1)如图,等腰三角形ABC即为所求作三角形,其中AB=a,OC=b.
(2)由题意知AC=BC,AO=BO,CO⊥AB,且CO=4,AB=6,
∴AO=3.
∴AC=
=5,
即等腰三角形的腰长为5.
20.(14分)如图1,OA=2,OB=4,以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC.
(1)求C点的坐标;
(2)如图2,P为y轴负半轴上一个动点,当P点沿y轴
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