一元一次方程解应用题的思路和解法(全)资料下载.pdf
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(6)比例问题;
(7)设中间变量的问题。
2不管是什么问题,关键是要了解各个具体问题所具有的基本量,并了解各个问题所本身隐含的等量关系,结合具体的问题,根据等量关系列出方程。
下面针对以上七项分别进行讲解。
1行程问题行程问题中有三个基本量:
路程、时间、速度。
等量关系为:
路程=速度时间;
速度=路程时间;
时间=路程速度。
特殊情况是航行问题,其是行程问题中的一种特殊情况,其速度在不同的条件下会发生变化。
顺水(风)速度=静水(无风)速度+水流速度(风速);
逆水(风)速度=静水(无风)速度水流速度(风速)。
由此可得到航行问题中一个重要等量关系:
顺水(风)速度水流速度(风速)逆水(风)速度+水流速度(风速)静水(无风)速度。
例1:
一列火车从甲地开往乙地,每小时行90千米,行到一半时耽误了12分钟,当着列火车每小时加快10千米后,恰好按时到了乙地,求甲、乙两站距离?
此题的等量关系是:
列车改变速度以后所用的总时间=原计划的时间。
则可设甲乙之间距离为x千米,那么原计划的时间为(x/90)小3时。
实际所用时间分三段,第一段用原速度90走了一半的路程所用时间(x290)小时,第二段是耽误停留的12分钟(转换成小时为(12/60)小时),第三段为加速后走另一半路程所用的时间(x290+10)小时,所以可以列方程为:
x90=x290+1260+x290+10解得:
x=360千米。
例2:
甲骑车从A地到B地,乙骑车从B地到A地,两人都匀速前进。
已知两人在上午8时同时出发,到上午10时,两人相距36千米,到中午12时,两人又相距36千米。
求AB两地路程。
本题可以简化为:
A、B两地两人匀速相向而行,2小时候相距36千米,4小时候后仍相距36千米,求A、B距离。
而两人各自的速度是多少,是不是相等这些均没有交代。
为了有助于我们找到等量关系,我们可以借助草图。
甲从A出发去B,乙从B出发去A,相向而行,2小时后假设甲到C,乙到D,此时CD之间的距离为36千米。
又过了两小时后甲到D,乙到C,此时CD之间的距离仍是36千米。
我们根本不知道甲乙的速度,但是我们知道一个等量关系就是甲乙的速度始终不变。
那么设A、B之间的距离为x千米,那么2小时后,甲乙一共走的路程是(x-36)千米,用时2小时,那么甲乙的速度和是:
CDB乙A甲4x-3624小时候后,甲乙仍相距36千米,此时他们共走的路程是(x+36)千米,用时4小时,那么甲乙的速度和是:
x+364所以可以列方程为:
x-362=x+364解得:
x=108千米。
例3:
某队伍450米长,以每分钟90米速度前进,某人从排尾到排头取东西后,立即返回排尾,速度为3米/秒。
问往返共需多少时间?
这一问题实际上分为两个过程:
从排尾到排头的过程是一个追及过程,相当于最后一个人追上最前面的人;
从排头回到排尾的过程则是一个相遇过程,相当于从排头走到与排尾的人相遇。
在第一个过程追及问题中,等量关系是:
此人行进的路程-队伍行进的路程=队伍长度。
设此段此人行进的时间为x,则:
3x-9060x=450解得x=300s。
在第二个过程相遇问题中,等量关系是:
此人行进的路程+队伍5行进的路程=队伍长度。
设此段此人行进的时间为y,则:
3y+9060y=450解得:
y=100s。
所以往返共用时间为x+y=400s。
例4:
一艘轮船在甲、乙两地之间行驶,顺流航行需6小时,逆流航行需8小时,已知水流速度每小时2km。
求甲、乙两地之间的距离。
顺水速度=静水速度+水流速度;
逆水速度=静水速度水流速度。
静水速度顺水速度水流速度逆水速度+水流速度。
设两地之间距离为x千米,则x6-2=x8+2解得x=96千米。
巩固练习:
1、某队伍450米长,以每分钟90米速度前进,某人从排尾到排头取东西后,立即返回排尾,速度为3米/秒。
2、一列火车从甲地开往乙地,每小时行90千米,行到一半时耽误了12分钟,当着列火车每小时加快10千米后,恰好按时到了乙地,求甲、乙两站距离?
3、小明到外婆家去,若每小时行5千米,正好按预定时间到达,他走了全程的五分之一时,搭上了一辆每小时行40千米的汽车,因6此比预定时间提前1小时24分钟到达,求小明与他外婆家的距离是多少千米?
4、甲乙两人分别从相距60千米的AB两地骑摩托车出发去某地,甲在乙后面,甲每小时骑80千米,乙每小时骑45千米,若甲比乙早30分出发,问甲出发经过多长时间可以追上乙?
5、某飞机原定以每小时495千米的速度飞往目的地,后因任务紧急,飞行速度提高到每小时660千米,结果提前1小时到达,问总的航程是多少千米?
6、一列货车和一列客车同时同地背向而行,当货车行5小时,客车行6小时后,两车相距568千米。
已知货车每小时比客车快8千米。
客车每小时行多少千米?
7、李欣骑自行车,刘强骑摩托车,同时从相距60千米的两地出发相向而行。
途中相遇后继续前进背向而行。
在出发后6小时,他们相距240千米。
已知李欣每小时行18千米,求刘强每小时行多少千米?
8、甲、乙两人相距22.5千米,并分别以2.5千米/时与5千米/时的速度同时相向而行,同时甲所带的小狗以7.5千米/时的速度奔向乙,小狗遇乙后立即回头奔向甲,遇甲后又奔向乙,直到甲、乙两人相遇,求小狗所走的路程。
9、一辆汽车以每小时60千米的速度由甲地驶往乙地,当车行驶了4小时30分后,遇雨路滑,车不能开快,这样将速度每小时减少20千米,结果比预计时间晚45分钟到达乙地,求甲,乙两地的距离。
710、小刚和小明骑自行车去郊外游玩,事先决定早晨8时从家里出发,预计每时骑7.5千米,上午10时可到目的地。
出发前他们又决定上午9时到达目的地。
那么每小时骑多少千米?
2工程问题工程问题的基本量有:
工作量、工作效率、工作时间。
关系式为:
工作量=工作效率工作时间;
工作时间=工作量工作效率;
工作效率=工作量工作时间。
工程问题中,一般常将全部工作量看作整体1,如果完成全部工作的时间为t,则工作效率为1t。
常见的相等关系有两种:
如果以工作量作相等关系,部分工作量之和=总工作量。
如果以时间作相等关系,则完成同一工作的时间差=多用的时间。
在工程问题中,还要注意有些问题中工作量给出了明确的数量,这时不能看作整体1,此时工作效率也即工作速度。
加工某种工件,甲单独作要20天完成,乙只要10就能完成任务,现在要求二人在12天内完成任务。
问乙需工作几天后甲再继续加工才可正好按期完成任务?
解析:
将全部工作看做整体1,由甲、乙单独完成的时间可知,甲的工作效率为120,乙的工作效率为110。
问题是乙需要单独工作几天后甲再工作正好完成任务,可知整个工程分成了两部分,第一部分由乙单独工作,第二部分由甲单独工作,两部分的和是整个工作。
所以8可知等量关系为:
乙工作的工程量+甲工作的工程量=1。
可设乙加工x天,那么因为要12天内完成任务,则甲工作的天数为(12-x)天。
因为乙的效率为110,则乙的工程量为x10;
甲的工作效率为120,则甲的工程量为12-x20,所以可列方程为:
x10+12-x12=1解得:
x=8天。
收割一块麦地,每小时割4亩,预计若干小时割完。
收割了?
后,改用新式农具收割,工作效率提高到原来的1.5倍。
因此比预计时间提前1小时完工。
求这块麦地有多少亩?
本题的等量关系为:
老式收割与新式收割混合的作业时间-单独老式收割的作业时间=1。
可设麦地有x亩,那么在改用新式农具之前的工作效率是4亩/小时,按照此效率收割了2x3亩,此作业时间为2x34=x6。
改用新式工具后,工作效率为1.54=6亩/小时,工作任务为x3亩,此作业时间为x36=x18,所以老式收割与新式收割混合的作业时间为:
x6+x18,而单独老式收割的作业时间为x4,所以根据等量关系可列方程为:
x4-x6+x18=1解得x=36亩。
一水池装有甲、乙、丙三个水管,加、乙是进水管,丙是排水管,甲单独开需10小时注满一池水,乙单独开需6小时注满一池水,丙单独开15小时放完一池水。
现在三管齐开,需多少时间注满水池?
9解析:
可知三个水管的工作效率如下:
甲水管的注水效率为110;
乙水管的注水效率为16;
丙水管的放水效率为115。
那么当三个水管同时开时,可知其等量关系为:
一定时间内甲乙的注水工作量-丙的排水工作量=工程整体1。
则可设注水时间为x小时,则甲的注水工作量为x10,乙的注水工作量为x6,丙的排水工作量为x15,则可列方程为:
x10+x6-x15=1解得x=5小时。
1、一件工作,甲单独做20小时完成,乙单独做12小时完成。
甲乙合做,需几小时完成这件工作?
2、一件工作,甲单独做20小时完成,乙单独做12小时完成。
若甲先单独做4小时,剩下的部分由甲、乙合做,还需几小时完成?
3、一件工作,甲单独做20小时完成,乙单独做12小时完成,丙单独做15小时完成,若先由甲、丙合做5小时,然后由甲、乙合做,问还需几天完成?
4、整理一批数据,、由一人做需要80小时完成。
现在计划先由一些人做2小时,再增加5人做8小时,完成这项工作的3/4,怎样安排参与整理数据的具体人数?
105、某工厂计划26小时生产一批零件,后因每小时多生产5件,用24小时,不但完成了任务,而且还比原计划多生产了60件,问原计划生产多少零件?
3溶液配比问题行程问题中有四个基本量:
溶质(纯净物)、溶剂(杂质)、溶液(混合物)、浓度(含量)。
其关系式为:
溶液=溶质+溶剂(混合物=纯净物+杂质);
浓度=溶质溶液100=溶质溶质+溶剂100;
纯度(含量)=纯净物混合物100=纯净物纯净物+杂质100。
由可得到:
溶质=浓度溶液=浓度(溶质+溶剂)。
把1000克浓度为80的酒精配成浓度为60的酒精,应加入浓度为20的酒精多少克?
等量关系是:
溶质质量相等。
配比前的溶质质量分两部分,第一部分为80%浓度的酒精的溶质质量,第二部分为浓度为20%浓度的酒精的溶质质量。
配比后的溶质质量为60%浓度的酒精的溶质质量。
则设加入溶度为20%的酒精x克,可以列式为:
1000?
80%+x?
20%=1000+x?
60%计算得:
x=2000克。
11例2:
现有浓度为10%及浓度为20%的两种氯化钠溶液,问各取多少可配制成浓度为14%的溶液100克?
本题跟上题等量关系一样。
可设需10%浓度的氯化钠溶液x克,那么需20%的氯化钠溶液(100-x)克,可列方程为:
x?
10%+100-x?
20%=100?
14%解得:
x=60克,则需要20%浓度的100-60=40克。
1、有含盐8%的盐水40Kg,要使盐水含盐20%,如果加盐,需加盐多少千克?
如果蒸发掉水分,需蒸发掉多
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- 一元一次方程 应用题 思路 解法