弹塑性力学习题及答案Word文档下载推荐.docx
- 文档编号:16311321
- 上传时间:2022-11-22
- 格式:DOCX
- 页数:20
- 大小:54.43KB
弹塑性力学习题及答案Word文档下载推荐.docx
《弹塑性力学习题及答案Word文档下载推荐.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《弹塑性力学习题及答案Word文档下载推荐.docx(20页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
Cib
c
aa
ab
ac
aiai
abi
aiCi
即得
ba
bb
bc
bai
bbi
bici
ca
cb
cc
cai
cbi
CiCi
Ci
c2
b、c和d是四个矢量,证明:
a1a2a3
a〔dC1
b1b2b3
a?
b?
C2
C1C2C3
a3b3C3
2.4设a、
(ab)(cd)(ac)(bd)(ad)(bc)证明:
(ab)(cd)
[a,b,c]2。
2.5设有矢量Uue。
原坐标系绕z轴转动求矢量U在新坐标系中的分量。
答案:
U1
U1cos
U2sin
U2
U1sin
U2cos
U3
U3。
角度,得到新坐标系,如图2.4所示。
试
2.6设有二阶张量TTje
ej。
当作和上题相同的坐标变换时,试求张量
T在新坐标系
中的分量Tii、T12、Ti3和T33。
提示:
坐标变换系数与上题相同。
答案:
T1
T11T22
T1T22cos2
2
T2T21
T2
--cos2
T3
T13cos
Esin,
T33
T33。
T12T2i
-—sin2
T—Ti
2_
sin2
2.7设有3'
个数Aii2in,对任意口阶张量Bjij2jm,定义
Ciii2inj1j2jm
Aiii2i
Bjij2
jm
iii2injij2
m阶张量,试证明
Aii2in是n阶张量。
证:
为书写简单起见,取n2,m2,则
2.8设A为二阶张量,试证明IAtrA
2.9设a为矢量,A为二阶张量,试证明:
(1)
aA
(ATa)T,
(2)Aa
(aAT)T
(ATa)T
(Ajieiej
ake)
(Ajieiakejknen)
(Ajiakejknei
en)T
Ajnakejkie
en
akekAjnej
ena
A。
(2)
2.10已知张量T具有矩阵
123
[T]456
789
求T的对称和反对称部分及反对称部分的轴向矢量。
解:
2.11已知二阶张量T的矩阵为
310
[T]130
001
求T的特征值和特征矢量。
2.12求下列两个二阶张量的特征值和特征矢量:
AImm,Bmnnm
其中,和是实数,m和n是两个相互垂直的单位矢量。
Am(Imm)m()m,
所以m是A的特征矢量,是和其对应的特征值。
设a是和m垂直的任意单
位矢量,则有
Aa(Imm)aa
所以和m垂直的任意单位矢量都是A的特征矢量,相应的特征值为,显然是特
n),
n),8=e2es
征方程的重根。
e2+e3)
则有
mT(e2+e3),nT(e2+e3)
上面定义的ei是相互垂直的单位矢量。
张量B可以表示成
B0e1ee2e2+e3e3
所以,三个特征值是1、0和—1,对应的特征矢量是e3、&
和e2。
2.13设a和b是矢量,证明:
(a)
(ab)
b(a)a
(b)a(
b)b(
a)
(
1)
2.14设a
x2yze1
2xz3e2xz:
2e3,求w
1(a
a)及其轴向矢量。
w»
(a
1
2[(x
2z2z3)ei
e2(x2y
z2)e1
e3(2z3x2z)e2&
6xz2e2e3(z2x2y)e3ei6xz2®
氏]
由上式很容易得到轴向矢量,也可以按下面的方法计算轴向矢量
37a占[6xz2ei(x2yz2)e2(2z3x2z)q]。
2.15设S是一闭曲面,r是从原点0到任意一点的矢径,试证明:
⑴若原点O在S的外面,积分n^dS0;
r3
S
⑵若原点O在S的内部,积分njldS4。
S「3
⑴当r0时,有
(勺一(勺0⑼
r3Xir3
因为原点在S的外面,上式在S所围的区域V中处处成立,所以由高斯公式得
(r?
)dv0。
⑵因为原点在S的内部,所以必定存在一个以原点为球心、半径为a的球面S完
全在S的内部。
用V表示由S和S所围的区域,在V中式(b)成立,所以
在S上,
背dS*)dV0
SV
S0
S^dS
r/a,于是
isdS4
2.16设fye(x2xz)e2xy*,试计算积分(f)ndS。
式中S是球面
x2y2z2a2在xy平面的上面部分.
用c表示圆x2y2a2,即球面x2y2z2a2和xy平面的交线。
由Stokes公式得
(f)ndS蜒drydxxdy0。
Scc
AVV*
第二早
3.1
设r是矢径、u是位移,
求Q%,并证明:
dr
Ui,j
=1时,型%是一个可逆
的二阶张量。
坐北屯i
drdrdr
di%
3.2
坐可逆。
设位移场为
称张量
u
(u
Ar,这里的A是二阶常张量,即A和r无关。
求应变张量&
、反对u)/2及其轴向矢量
1(AAT),Q1(AAT),
£
、
3.3
ue;
Ajkejekxel
—Ajkejmem
2jj
设位移场为uA
(1)变形前的直线在变形后仍为直线;
ek
11
iie—AjkQmemki—A;
ejmem
22
这里的A是二阶常张量,且ui,j=1。
请证明:
Iu的行列式就是书中的式(3.2),当u,j=1时,这一行列式大于零,所以
(2)变形前的平面在变形后仍然是一个平面;
(3)变形前的两个平行平面在变形后仍为两个平行的平面。
(1)方向和矢量a相同且过矢径为ro的点的直线方程可以写成
rtaro
其中t是可变的参数。
变形后的矢径为
⑵
%rurAr(IA)r
用IA点积式
(1)的两边,并利用式
(2),得
%t(IA)a(IA)ro
上式也是直线方程,所表示的直线和矢量所以变形前的直线变形后仍然是直线。
(IA)a平行,过矢径为(IA)ro的点。
⑵因为s,j=1,所以IA可逆。
记B(IA)1,则
r(IA)1%B%(3)
变形前任意一个平面的方程可以表示成
arc(4)
其中a是和平面垂直的一个常矢量,c是常数。
将式(3)代入式(4),得
(aB)%c(5)
上式表示的是和矢量aB垂直的平面。
所以变形前的平面在变形后仍然是平面。
(3)变形前两个平行的平面可以表示成
arC1,arC2
变形后变成
(aB)%C1,(aB)%C2
仍是两个平行的平面。
3.4在某点附近,若能确定任意微线段的长度变化,试问是否能确定任意两条微线段之间夹角的变化;
反之,若能确定某点附近任意两条微线段之间的夹角变化,试问能否确定任意微线段的长度变化。
能;
能。
3.5设位移场为uAr,其中A是二阶常张量,n和m是两个单位矢量,它们之间的夹角为。
求变形后的减小量。
n(AAt)mctg(nAnmAm)。
sin
3.6设n和m是两个单位矢量,drndr和rmr是两个微小的矢量,变形前它们所张的平行四边形面积为Adrr,试用应变张量把变形时它的面积变化率
A/A表示出来,其中A是面积变形前后的改变量。
变形后,dr和r变成
dr%dredr®
dr,%r&
r®
r
对上面两式进行叉积,并略去高阶小量,得
d%%drrdrerdrr对上式两边进行自身点积,略去高阶小量,得(d%i%(d%%
(drr)(drr)2(drer)(drr)2(drr)(drr)(a)注意到
(dr%%(d%%(AA)2A22(A)A
(drr)(drr)A
所以,从式(a)可得
A(drer)(drr)(dr&
r)(drr)
A(drr)(drr)
(nem)(nm)(nem)(nm)
(nm)(nm)
利用习题2.4中的等式,上式也可写成
Anen2(nem)(nm)mem
A1(nm)2
3.7设在一个确定的坐标系中的应变分量为ij,让坐标系绕Z轴转动角,得一个新的坐
标系,求在新坐标系中的应变分量。
3.8
3.9
xzCOS
在Oxy平面上,
如图3.9所示,
伸长度
--COS2
亍cos2
xysin2
xycos2,
yzSin
Oa、Ob、Oc和x轴正方向之间的夹角分别为
xzsin
yzCOS
0°
、60°
、120°
,
这三个方向的正应变分别为
n
3
d^sin2
试说明下列应变分量是否可能发生:
xaxy2,yax2y,zaxy,yzay2bz2,xzax2by2,
-cos2
xy
b和c。
求平面上任意方向的相对
其中a和b为常数。
3.10确定常数Ao,A,Bo,Bi,Co,Ci,C2之间的关系,使下列应变分量满足协
调方程
xA0A(x2y2)x4y4,
yBoB(x2y2)x4y4,
xyCoCixy(x2y2C2),
zy
zx
3.11若物体的变形是均匀的,即应变张量和空间位置无关,试写岀位移的一般表达式<解:
(由于应变张量&
和空间位置无关,所以书中的式(3.36a)简化成……)
3.12设xax,yby,zcz,刈yzzxo,其中a,b,c是常量,求位移的一般表达式。
第四章
4.1已知物体内一点的六个应力分量为:
x50a
y
0,
z
30a,yz
75a,zx80a,xy50a
试求法线方向余弦为n
12
n22,n3
吉的微分面上的总应力T、正应力n和
剪应力n
。
总应力T
-..T2
T22
T32
111.8a。
正应力n
Tm
26.04a
o
剪应力n
T2
n
108.7a。
4.2过某点有两个面,
它们的法向单位矢量分别为
n和m,在这两个面上的应力矢量分别
为Ti和T2,试证TimT2n。
证:
(利用应力张量的对称性……)
4.3某点的应力张量为
x
xz
yx
y
yz
且已知经过该点的某一平面上的应力矢量为零,求
y及该平面的单位法向矢量
设要求的单位法向矢量为n,则按题意有
jn0
即
n2
2n30,nyn2n30,2n1
上面第二式的两倍减去第一式和第三式,得
(2y2)n2
上式有两个解:
n20或y1。
若n2
n20
n1n30,
可求得
这是不可能的。
所以必有
0,则代入式(a)中的三个式子,可得
1。
将y1代入式(a),利用nn1,
ei2e2e3
飞。
4.8,下部受均匀压力作用,斜面自由,
4.4基础的悬臂伸出部分具有三角柱体形状,见图试验证应力分量
yarctg
亠C)
x2y2
A(
匕B)
y2
xyA2
满足平衡方程,并根据面力边界条件确定常数
A、B和C。
将题中的应力分量代入平衡方程,可知它们
满足平衡方程。
在y0的边界上,有边界条件
xz0,
图4.8
(y)y0q,所给的应力分量件,得
ABq
在上斜面上,有
y的表达式代入上面的第一个条
(xy)y00
xy自动满足上面的第二个条件。
yxtg,所以斜面上的应力分量可以简化成
4.5
4.6
xA(sincosC),xyAsin2,zyz
斜面上的外法向方向余弦为
xA(
cosB),
rnsin,n2cos
将式
(2)和(3)代入边界条件
n3
0,得
A(sincos)ABcos
联立求解
(1)和⑷,得
A—q,Btg
tg
图4.9表示一三角形水坝,
xaxby,ycx
yzxz0,xy
已求得应力分量为
dy,z0,
dxayx
和i分别是坝身和水的比重。
求常数使上述应力分量满足边界条件。
解:
在x0的边界上,有边界条件
(x)x01y,(xy)x00
将题中的应力分量代入上面两式,可解得:
b1o
在左侧的斜面上,xytg,外法向方向余弦为
nicos,门2sin,g0
把应力分量和上面得到的有关结果代入边界条件
unj
0,可解得:
d1ctg2,cctg(21ctg2)o
物体的表面由f(x,y,z)0确定,沿物体表面作用着与其外法向一致的分布载荷p(x,y,z),试写出其边界条件。
物体表面上任意一点的外法向单位矢量为
按题意,边界条件为
^npn
因此
dfPf
即df
..ff.ff
上式的指标形式为
ijf,jpf,i。
4.7如图4.10所示,半径为a的球体,一半沉浸在密度为的液体内,试写出该球的全
部边界条件
球面的外法向单位矢量为
当z0时,有边界条件
dn0即dr0或
当z0时,球面上的压力为
ngzn即dr
ijXj0。
gz,其中g为重力加速度,边界条件为
gzr或ijXjgzx。
4.8物体的应力状态为ij有势力,即存在一个函数
j,其中为矢径r的函数。
(1)证明物体所受的体积力是,使f;
(2)写出物体表面上的面力表达式。
(1)应力场必须满足平衡方程,所以
fdI,eiI,ie所以,只要令,就有f。
(2)表面上的面力为
TndnIn或Tnjo
4.9已知六个应力分量ij中的3i0,求应力张量的不变量并导岀主应力公式。
应力张量的三个不变量为:
I,xy,I2xyX;
,I30O特征方程是
3Il2I2(2Il12)0
上式的三个根即三个主应力为0和
4.10已知三个主应力为角形,其法向单位矢量为□二,n2
323
求八面体各个面上的正应力
,在主坐标系中取正八面体,它的每个面都为正三
53
0和剪应力
oijnnj
5(1
23),
Tmei.
T2T
Ti2n2
2)2
(23)2(31)2。
4.11某点的应力分量为
ii
22
33
0,122331,求:
(1)过此点法向为
e2
e3)的面上的正应力和剪应力;
(2)主方向、主应力、
最大剪应力及其方向。
(1)T
正应力为
剪应力为
由此可知,
是主应力,
——(©
ee3)是和其对应的主方向。
(2)用表示主应力,则
)2(
所以,三个主应力是
由上面的结论可知,和1对应的主
方向是n,又因为2
是重根,所以和n垂直的任何方向都是主方向。
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 塑性 力学 习题 答案