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v?
vx?
vy?
dt?
而前一种方法的错误可能有两点,其一是概念上的错误,即误把速度、加速度定义作
a?
ax?
ay?
dt
d2ra?
2
drd2rdr与2
dt误作速度与加速度的模。
在1-1题中已说明dt不是速度的模,其二,可能是将dt
d2r2
而只是速度在径向上的分量,同样,dt也不是加速度的模,它只是加速度在径向分量中
d2r?
a径?
dtdt?
。
的一部分?
或者概括性地说,前一种方法只考虑了位矢r在径向(即
量值)方面随时间的变化率,而没有考虑位矢r及速度v的方向随间的变化率对速度、加速
度的贡献。
1-3一质点在xoy平面上运动,运动方程为
式中t以s计,x,y以m计.
(1)以时间t为变量,写出质点位置矢量的表示式;
(2)求出t=1s时刻和t=2s时刻的位置矢量,计算这1秒内质点的位移;
(3)计算t=0s时刻到t=4s时刻内的平均速度;
(4)求出质点速度矢量表示式,计算t=4s时质点的速度;
(5)计算t=0s到t=4s内质点的平均加速度;
(6)求出质点加速度矢量的表示式,计算t=4s时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式).
1
x=3t+5,y=2t2+3t-4.
1?
r?
(3t?
5)i?
(t2?
3t?
4)j
2m解:
(1)
(2)将t?
1,t?
2代入上式即有
r1?
8i?
0.5jm
r2?
11j?
4jm
r1?
3j?
4.5jm
5j?
4j,r?
17i?
16j4(3)∵0
r12i?
20j?
40?
3i?
5jm?
s?
1
t4?
04∴
drv?
(t?
3)jm?
dt(4)
7jm?
1则4
3j,v4?
7j
(5)∵0
vv4?
v04?
1jm?
t44?
dv
dt(6)
这说明该点只有y方向的加速度,且为恒量。
1-4在离水面高h米的岸上,有人用绳子拉船靠岸,船在离岸s处,如题1-4图所示.当人以
v0(m2s?
1)的速率收绳时,试求船运动的速度和加速度的大小.
图1-4
设人到船之间绳的长度为l,此时绳与水面成?
角,由图可知
222
l?
h?
s
将上式对时间t求导,得
dlds?
2s
dtdt
根据速度的定义,并注意到l,s是随t减少的,
dldsv绳?
v0,v船?
dtdt∴
2l
题1-4图
vdsldll?
v0?
0dtsdtscos?
即
lv0(h2?
s2)1/2v0
v船?
ss或
v将船再对t求导,即得船的加速度
dlds
ldv?
v0s?
lv船
船?
2v0?
v0
dtss
l22
(?
)v02
h2v0s?
3
2ss
2?
1-5质点沿x轴运动,其加速度和位置的关系为a=2+6x,a的单位为m?
s,x的单位
s
为m.质点在x=0处,速度为10m?
s,试求质点在任何坐标处的速度值.
dvdvdxdv?
vdtdxdtdx解:
∵
adx?
(2?
6x)dx分离变量:
12
2x?
2x3?
c
两边积分得2
10,∴c?
50
由题知,x?
0时,0
3?
x?
25m?
s∴
1-6已知一质点作直线运动,其加速度为a=4+3tm?
s,开始运动时,x=5m,求该质点在t=10s时的速度和位置.
v=0,
4?
3tdt解:
∵
分离变量,得dv?
(4?
3t)dt
3
4t?
t2?
c1
2积分,得
0,∴c1?
由题知,t?
0,0
32t2故
dx3v?
t2
dt2又因为
dx?
(4t?
t2)dt
2分离变量,
x?
2t2?
t3?
c2
2积分得
5,∴c2?
5
由题知t?
故所以t?
10s时
13
t?
52
102?
190m?
121
x10?
103?
5?
705m
1-7一质点沿半径为1m的圆周运动,运动方程为?
=2+3t,?
式中以弧度计,t以秒
v10?
10?
计,求:
(1)t=2s角时,其角位移是多少?
d?
9t2,?
18tdtdt
18?
36m?
st?
2s?
(1)时,
an?
(9?
22)2?
1296m?
a
tan45?
(2)当加速度方向与半径成45角时,有
即
(9t)?
18t亦即
3t3?
3?
2.67rad
99则解得于是角位移为
1v0t?
bt2
21-8质点沿半径为r的圆周按s=的规律运动,式中s为质点离圆周上某点的弧
t3?
v0,b都是常量,
求:
(1)t时刻质点的加速度;
(2)t为何值时,加速度在数值上等于b.
dsv?
bt
dt解:
(1)dva?
b
v2(v0?
bt)2
an?
rr
长,
(v0?
bt)4
b?
r2则
n
加速度与半径的夹角为
(2)由题意应有
rb?
an(v0?
r24
(v?
bt)
b2?
b2?
02,?
(v0?
bt)4?
r即
vt?
b时,a?
b∴当
1-9半径为r的轮子,以匀速
v0沿水平线向前滚动:
(1)证明轮缘上任意点b的运动方程为
x=r(?
t?
sin?
t),y=r(1?
cos?
t),式中?
v0/r是轮子滚动的角速度,当b与
水平线接触的瞬间开始计时.此时b
所在的位置为原点,轮子前进方向为x轴正方向;
(2)
求b点速度和加速度的分量表示式.
依题意作出下图,由图可知
题1-9图
v0t?
2rsin?
rsin?
cos
(1)
r(?
t)
【篇二:
大学物理第五版马文蔚课后答案(上)】
但由于|dr|=ds,故
drds
即||=.由此可见,应选(c).dtdt
1-2分析与解
表示质点到坐标原点的距离随时间的变化率,在极坐标系中叫径向速率.通常用符号vr表示,dt
drds表示速度矢量;
在自然坐标系中速度大小可用公式v?
计算,在直
dtdt
这是速度矢量在位矢方向上的一个分量;
角坐标系中则可由公式v?
求解.故选(d).
1-3分析与解
表示切向加速度at,它表示速度大小随时间的变化率,是加速度矢量沿速度方向的一个分量,dt
drds在极坐标系中表示径向速率vr(如题1-2所述)在自然坐标系中表示质点的速率v;
dtdt
而
表示加速度的大小而不是切向加速度at.因此只有(3)式表达是正确的.故选(d).dt
1-4分析与解加速度的切向分量at起改变速度大小的作用,而法向分量an起改变速度方向的作用.质点作圆周
运动时,由于速度方向不断改变,相应法向加速度的方向也在不断改变,因而法向加速度是一定改变的.至于at是否改变,则要视质点的速率情况而定.质点作匀速率圆周运动时,at恒为零;
质点作匀变速率圆周运动时,at为一不为零的恒量,当at改变时,质点则作一般的变速率圆周运动.由此可见,应选(b).
1-5分析与解本题关键是先求得小船速度表达式,进而判断运动性质.为此建立如图所示坐标系,设定滑轮距水面高度为h,t时刻定滑轮距小船的绳长为l,则小船的运动方程为x?
船速度v?
l
l2?
h2,其中绳长l随时间t而变化.小
dl
式中表示绳长l随时间的变化率,其大小即为v0,代入整理后为
dtl2?
h2
v0l2?
h2/l
v0
dx
0来确定其运动方向t
dxdx
=4.0s时质点速度和加速度可用和两式计算.
dtdt2
0得知质点的换向时刻为tp?
2s(t=0不合题意)dt
a?
dtt?
4.0s
1-7分析根据加速度的定义可知,在直线运动中v-t曲线的斜率为加速度的大小(图中ab、cd段斜率为定值,即匀变速直线运动;
而线段bc的斜率为0,加速度为零,即匀速直线运动).加速度为恒量,在a-t图上是平行于t轴的直线,由v-t图中求出各段的斜率,即可作出a-t图线.又由速度的定义可知,x-t曲线的斜率为速度的大小.因此,匀速直线运动所对应的x-t图应是一直线,而匀变速直线运动所对应的x–t图为t的二次曲线.根据各段时间内的运动方程x=x(t),求出不同时刻t的位置x,采用描数据点的方法,可作出x-t图.
解将曲线分为ab、bc、cd三个过程,它们对应的加速度值分别为
48m?
4.0?
36m.s2
aab?
acd?
vb?
va
20m?
2(匀加速直线运动),abc?
0(匀速直线运动)
tb?
ta
vd?
vc
10m?
2(匀减速直线运动)
td?
tc
根据上述结果即可作出质点的a-t图[图(b)].在匀变速直线运动中,有
由此,可计算在0~2s和4~6s时间间隔内各时刻的位置分别为
用描数据点的作图方法,由表中数据可作0~2s和4~6s时间内的x-t图.在2~4s时间内,质点是作
1的匀速直线运动,其x-t图是斜率k=20的一段直线[图(c)].
则ds?
解
(1)由x(t)和y(t)中消去t后得质点轨迹方程为,y?
这是一个抛物线方程,轨迹如图(a)所示.
(dx)2?
(dy)2,最后用s?
ds积分求s.
12x4
(2)将t=0s和t=2s分别代入运动方程,可得相应位矢分别为
r0?
2j,r2?
4i?
图(a)中的p、q两点,即为t=0s和t=2s时质点所在位置.
2222x2?
y2?
x0?
y0?
2.47m
(dy)2,由轨
xdx,代入ds,则2s内路程为2
s?
ds?
p
q4
4?
x2dx?
5.91m
1-9分析由运动方程的分量式可分别求出速度、加速度的分量,再由运动合成算出速度和加速度的大小和方向.
解
(1)速度的分量式为vx?
dxdy
60t,vy?
15?
40tdtdt
-1
当t=0时,vox=-10m2s,voy=15m2s,则初速度大小为
v0?
v0x?
v0y?
18.0m?
v0yv0x
(2)加速度的分量式为
ax?
dvdvx
60m?
2,ay?
y?
40m?
2dtdt
72.1m?
ay
1-10分析在升降机与螺丝之间有相对运动的情况下,一种处理方法是取地面为参考系,分别讨论升降机竖直向上的匀加速度运动和初速不为零的螺丝的自由落体运动,列出这两种运动在同一坐标系中的运动方程y1=y1(t)和y2=y2(t),并考虑它们相遇,即位矢相同这一条件,问题即可解;
另一种方法是取升降机(或螺丝)为参考系,这时,螺丝(或升降机)相对它作匀加速运动,但是,此加速度应该是相对加速度.升降机厢的高度就是螺丝(或升降机)运动的路程.
解1
(1)以地面为参考系,取如图所示的坐标系,升降机与螺丝的运动方程分别为y1?
121
aty2?
gt222
当螺丝落至底面时,有y1=y2,即
11
v0t?
at2?
gt2
2h
0.705sg?
a
(2)螺丝相对升降机外固定柱子下降的距离为
gt?
0.716m2
解2
(1)以升降机为参考系,此时,螺丝相对它的加速度大小a′=g+a,螺丝落至底面时,有0?
(g?
a)t2t?
22h
(2)由于升降机在t时间内上升的高度为
h?
at2则d?
0.716m
1-11分析该题属于运动学的第一类问题,即已知运动方程r=r(t)求质点运动的一切信息(如位置矢量、位移、速度、加速度).在确定运动方程时,若取以点(0,3)为原点的o′x′y′坐标系,并采用参数方程x′=x′(t)和y′=y′(t)来表示圆周运动是比较方便的.然后,运用坐标变换x=x0+x′和y=y0+y′,将所得参数方程转换至
oxy坐标系中,即得oxy坐标系中质点p在任意时刻的位矢.采用对运动方程求导的方法可得速度和加速度.
解
(1)如图(b)所示,在o′
点p的参数方程为
t,则质t
rsiny?
rcos
坐标变换后,在oxy坐标系中有
rsin
y?
rt
则质点p的位矢方程为
dttttt
(2)5s时的速度和加速度分别为
1-12分析为求杆顶在地面上影子速度的大小,必须建立影长与时间的函数关系,即影子端点的位矢方程.根
据几何关系,影长可通过太阳光线对地转动的角速度求得.由于运动的相对性,太阳光线对地转动的角速度也就是地球自转的角速度.这样,影子端点的位矢方程和速度均可求得.
当杆长等于影长时,即s=h,则
t
【篇三:
大学物理上册练习册答案】
3、b4、8m,10m5、23m/s
6、4.8m/s,3.15rad7、r,?
消去t可得轨道方程:
x2?
r2
∴质点的轨道为圆心在(0,0)处,半径为r的圆;
(2)由v?
,有速度:
ti?
rcos?
tjdt
速率:
[(?
t)?
t)]?
9、解:
(1)由r?
4t2i?
(3?
2t)j,可知x?
4t2,y?
2t消去t得轨道方程为:
(y?
3)2,∴质点的轨道为抛物线。
8ti?
2jdt
从t?
0到t?
1秒的位移为:
vdt?
(8ti?
2j)dt?
(3)t?
0和t?
1秒两时刻的速度为:
v(0)?
2j,v
(1)?
2j。
10、解:
(1)由v?
drdv
,有:
2ti?
2j,a?
,有:
2i;
22(2
)有速率:
[(2t)?
2]?
dv2
∴at?
,利用a2?
an有:
11、解:
由于是一维运动,所以,由题意:
分离变量并积分有:
v
kv,dt
t1?
kt
dv?
kdt,得:
ve0?
v0v?
xtdx?
v0e,积分有:
v0e?
ktdt又∵
00dt
∴x?
0(1?
e)
k
第二章
4、解:
(1)子弹进入沙土后受力为-Kv,由牛顿定律
kv?
m
∴?
kdvdt?
mv
tvkdv?
mv0v0
∴v?
kt/m
(2)求最大深度解法一:
kt/mdt
x
(m/k)v0(1?
e?
kt/m)
xmax?
mv0/kdvdvdxdv
m?
m()()?
mv解法二:
dtdxdtdx
m
∴dx?
xmax0
k0v0
∴xmax?
mv0/k
f?
5、解:
根据牛顿第二定律
kdvdvdxdv
mv2
dtdxdtdxx
va/4
dxk
∴vdv?
k,vdv?
dx22?
mx0amx
12k413
kv?
)?
2maama
k/(ma)
6、解:
由于是在平面运动,所以考虑矢量。
dvdv2
24tj?
,两边积分有:
vt123dv?
(4i?
24tj)dt,∴v?
4tj,0?
02
考虑到v0?
4j,t?
1s,有v1?
5i
由:
f?
由于在自然坐标系中,v?
vet,而v1?
5i(t?
1s时),表明在t?
1s时,切向速度方向就是i方向,所以,此时法向的力是j方向的,则利用f?
24t2j,将t?
1s代入有
24j?
4et?
24en,∴fn?
24n。
第三章
1、b2、c3、c4、c5、-f0r
7、解:
由功的定义:
r,题意:
5ti?
0.5j
4
d2r
r(4)?
r
(2)?
60i,f?
m2?
0.5?
10i?
∴a?
5i?
60i?
300j。
8、解:
用动能定理,对物体
44122
mv?
0?
fdx?
(10?
6x)dx
002
10x?
2x=168
解出v=13m/s9、解:
(1)外力做的功
w?
dx
(52.8x?
38.4x2)dx
x1x2
=31j
(2)此力为保守力,因为其功的值仅与弹簧的始末态有关.10、解:
(1)建立如图坐标.
某一时刻桌面上全链条长为y,则摩擦力大小为y
gl00m
摩擦力的功wf?
fdy?
gydy
al?
al
mg20?
mg
yl?
a=?
(l?
a)2=2l2l
1122
(2)以链条为对象,应用质点的动能定理∑w=m
mv0
其中∑w=wp+wf,v0=0
mgmg(l2?
a2)xdx?
wp=?
pdx=?
ala2l?
mg(l?
a)2
由上问知wf?
mg(l2?
a2)?
mg1
a)2?
mv2所以
2l2l2
g(l2?
a)2v?
得
第四章
2?
6、mvd7、m?
ab0
(1)由于离开枪口处合力刚好为零,有:
400?
得:
10s;
(2)由冲量定义:
4
105t?
0,3
fdt有:
0.00342i?
(400?
105t)dt?
(400t?
105t2)0.003?
0.6n?
s00i
(3)再由m?
0.6/300?
3kg。
tj,9、解:
(1)根据动量的定义:
p?
mv,而v?
∴p(t)?
(asin?
bcos?
t)j;
(2)由i?
mv?
p(
所以冲量为零。
)?
p(0)?
bj?
0,
第五章
1、d2、a3、b
4、定轴转动刚体所受外力对轴的冲量矩等于转动刚体对轴的角动量(动量矩)的增量,
t2t1
mzdt?
j?
(j?
)0刚体所受对轴的合外力矩等于零.
5、m?
0/(m+2m)
受力分析如图,可建立方程:
mg?
ma┄①
tr?
┄②
mr2┄③2
2mgmmg
联立,解得:
,t?
,
m?
2mm?
2mvtdv2mg2mgt
考虑到a?
,∴?
00dtm?
2m
,j?
2mg?
2ma┄①
mg?
ma┄②(t2?
t)r?
┄③(t?
t1)r?
┄④
mr2/2┄⑤
111
mg联立,解得:
g,t?
48
设绳子
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