全等三角形习题集1文档格式.docx
- 文档编号:16392937
- 上传时间:2022-11-23
- 格式:DOCX
- 页数:14
- 大小:149.61KB
全等三角形习题集1文档格式.docx
《全等三角形习题集1文档格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《全等三角形习题集1文档格式.docx(14页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
(2)CM=CN;
(3)△CMN为等边三角形;
(4)MN∥BC。
例3:
(10分)已知,△ABC中,∠BAC=90°
,AB=AC,过A任作一直线l,作BD⊥l于D,CE⊥l于E,观察三条线段BD,CE,DE之间的数量关系.
⑴如图1,当l经过BC中点时,DE=(1分),此时BDCE(1分).
⑵如图2,当l不与线段BC相交时,BD,CE,DE三者的数量关系为,并证明你的结论.(3分)
⑶如图3,当l与线段BC相交,交点靠近B点时,BD,CE,DE三者的数量关系为.
证明你的结论(4分),并画图直接写出交点靠近C点时,BD,CE,DE三者的数量关系为.(1分)
图1图2图3
例4:
已知:
在平面直角坐标系中,放入一块等腰直角三角板ABC,∠BAC=90°
,AB=AC,A点的坐标为(0,2),B点的坐标为(4,0).
⑴求C点的坐标;
⑵D为△ABC内一点(AD>
2),连AD,并以AD为边作等腰直角三角形ADE,∠DAE=90°
,AD=AE,连CD、BE.试判断线段CD、BE的位置及数量关系,并给出你的证明;
⑶旋转△ADE,使D点刚好落在x轴的负半轴,连CE交y轴于M.
①EM=CM;
②BD=2AM.
练习2:
以直角三角形ABC的两直角边AB、BC为一边,分别向外作等边三角形△ABE和等边△BCF,连结EF、EC。
试说明:
(1)EF=EC;
(2)EB⊥CF
练习3:
如图
(1)A、E、F、C在同一直线上,AE=CF,过E、F分别作DE⊥AC,BF⊥AC若AB=CD,G是EF的中点吗?
请证明你的结论。
若将⊿ABC的边EC经AC方向移动变为图
(2)时,其余条件不变,上述结论还成立吗?
为什么?
例二:
如图1,已知,AC⊥CE,AC=CE,∠ABC=∠CDE=90°
,
问BD=AB+ED吗?
[分析]:
(1)凡是题中的垂直往往意味着会有一组90°
角,得到一组等量关系;
(2)出现3个垂直,往往意味着要运用同(等)角的余角相等,得到另一组等量关系;
(3)由全等得到边相等之后,还要继续往下面想,这几组相等的边能否组合在一起:
如如图6,除了得到三组对应边相等之外,还可以得到AC=BD。
解答过程:
得到△ABC≌CDE之后,可得到BC=DE,AB=CD
∴BC+CD=DE+AB(等式性质)
即:
BD=AB+DE
[变形1]:
如图7,如果△ABC≌△CDE,请说明AC与CE的关系。
[注意]:
两条线段的关系包括:
大小关系(相等,一半,两倍之类)
位置关系(垂直,平行之类)
[变形2]:
(2008泸州)如图,E是正方形ABCD的边DC上的一点,过点A作FA⊥AE交CB的延长线于点F,
求证:
DE=BF
[分析]:
注意图形中有多个直角,利用同角的余角相等或等式性质可到一组锐角相等。
[变形3]:
如图8,在△ABC中,∠BAC=90°
说明相等的边所在的三角形全等,
题中“AB=AC”,发现:
AB在Rt△ABD中,AC在Rt△CAE中,
所以尝试着去找条件,去说明它们所在的两个Rt△全等(如图9)
于是:
已经存在了两组等量关系:
AB=AC,直角=直角,
再由多个垂直利用同角的余角相等,得到第三组等量关系。
解:
由题意可得:
在Rt△ABD中,∠1+∠ABD=90°
(直角三角形的两个锐角互余)
又∵∠BAC=90°
(已知),即∠1+∠CAE=90°
∴∠ABD=∠CAE(等角的余角相等)
故在△ABD与△CAE中,
∠BDA=∠AEC=90°
(垂直定义)
∠ABD=∠CAE(已求)
AB=AC(已知)
∴△ABD≌△CAE(AAS)
∴AE=BD=7,AD=EC=3(全等三角形的对应边相等)
∴DE=AE
AD=7
3=4
[变形4]:
在△ABC中,∠ACB=900,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E。
(1)当直线MN绕点C旋转到图9的位置时,△ADC≌△CEB,且DE=AD+BE。
你能说出其中的道理吗?
(2)当直线MN绕点C旋转到图10的位置时,DE=AD-BE。
说说你的理由。
(3)当直线MN绕点C旋转到图11的位置时,试问DE,AD,BE具有怎样的等量关系?
请写出这个等量关系。
等腰三角形、等边三角形的全等问题:
[必备知识]:
如右图,由∠1=∠2,可得∠CBE=∠DBA;
反之,也成立。
例三:
已知在△ABC中,AB=AC,在△ADE中,AD=AE,且∠1=∠2,请问BD=CE吗?
[分析]这类题目的难点在于,需要将本来就存在于同一个三角形中的一组相等的边,
分别放入两个三角形中,看成是一组三角形的对应边,
∴题目中所给的△ABC与△ADE是用来干扰你的思路的,应该去想如何把两组相等的边联系到一起,
加上所求的“BD=CE”,你会发现BD在△ABD中,CE在△ACE中,
这样一来,“AB=AC”可以理解为:
AB在△ABD中,AC在△ACE中,它们是一组对应边;
“AD=AE”可以理解为:
AD在△ABD中,AE在△ACE中,它们是一组对应边;
所以只需要说明它们的夹角相等即可。
关键还是在于:
说明“相等的边(角)所在的三角形全等”
∵∠1=∠2(已知)
∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD(等式性质)
∠BAD=∠CAE
∴在△ABD与△ACE中,
AB=AC(已知)
∠BAD=∠CAE(已求)
AD=AE
∴△ABD≌△ACE(SAS)
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)
如图13,已知∠BAC=∠DAE,∠1=∠2,BD=CE,
请说明△ABD≌△ACE.吗?
例三是两组边相等,放入一组三角形中,利用SAS说明全等,
此题是两组角相等,那么该如何做呢?
过点A分别作两个大小不一样的等边三角形,连接BD,CE,请说明它们相等。
此题实际上是例三的变形,只不过将等腰三角形换成了等边三角形,只要你根据所求问题,把BD看成在△ABD的一边,CE看成△ACE的一边,自然就得到了证明的方向。
∵△ABC与△ADE是等边三角形,
∴AB=AC,AD=AE∠BAC=∠DAE=60°
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD(等式性质)
如图16—18,还是刚才的条件,把右侧小等边三角形的位置稍加变化,,连接BD,CE,请说明它们相等
这里仅以图17进行说明
∵△ABC与△ADE是等边三角形,
∴AB=AC,AD=AE
∠BAC=∠DAE=60°
∴∠BAC
∠CAD=∠DAE
∠CAD【仅这步有差别】
即:
∠BAD=∠BAD=∠CAE
图16,图18的类型,请同学们自己去完成
(2008怀化)如图,四边形ABCD、DEFG都是正方形,连接AE、CG,AE与CG相交于点M,CG与AD相交于点N.求证:
;
和上面相比,只不过等边三角形换成正方形,60°
换成直角了,思路一样
例四:
如图,△ABC中,∠C=90°
,AB=2AC,M是AB的中点,点N在BC上,MN⊥AB.
AN平分∠BAC.
要说明AN平分∠BAC,必须说明两角相等,∴可以说明△AMN≌△CAN,
而题中已有了一组直角相等,一组公共边(斜边)
结合题目中条件,比较容易找到一边直角边相等,从而利用HL定理得到全等。
在Rt△ABC中,已知∠A=90°
,DE⊥BC于E点,如果AD=DE,BD=CD,求∠C的度数
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 全等 三角形 习题集