泰勒展式的研究Word文档下载推荐.docx
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代码:
clear
x=0:
.001:
1;
y=1;
holdon
fori=1:
5
y=y+x.^i/factorial(i);
plot(x,y);
end
plot(x,exp(x),'
r'
);
holdoff
图像:
可以看见,展开到3阶以上,即n>
3时,多项式函数与原函数已经很贴近了。
然而值得注意的是,泰勒展式只能在某点附近近似替代函数,是一种局部性质。
当x取值太远,被忽略的余项就要发飙了。
当然,可以采用增大n的方式来暴力对抗余项误差:
上图取n=11,逼近效果又好起来了,但可以预见的是,当x继续增大,误差也会再次变大。
爱动脑筋的小朋友可能会问,有没有什么办法一劳永逸地解决误差问题?
有,但是比较麻烦,那就是:
把n取为无穷大。
细心的小朋友会顿生疑窦,无穷多个数相加有意义吗?
问得好。
无穷个数作和,这正是[级数]研究的问题。
因此,泰勒公式又称为泰勒级数。
级数理论定义,无穷个数的和是一个有限数的话,便称级数“收敛”;
无穷则叫“发散”。
对于一列由无穷个函数相加构成的级数,若x取某值时,函数的和收敛,称级数在该点“点态收敛”;
使函数项级数点态收敛的点构成级数的“收敛域”。
级数理论告诉我们,幂函数级数(即n取无穷时的泰勒展式)满足一定条件时是存在收敛域的。
至于条件是什么,小朋友们不要着急,今后总会学的~
顺便提一句,如果只展开到x最低次方项,泰勒展式就成了微分公式。
因此,泰勒展式也可以看作高级微分公式,或者微分公式的推广~
有的小朋友可能会问:
这么复杂的公式学了有什么用?
别着急,不会让你白学的。
事实上,翻开任何一本物理教材,你都会发现,泰勒公式几乎无处不在--好在大都只用求一两阶就够了。
因此,(语重心长地)小朋友们一定要学好泰勒展式啊!
现在我们看一下另一段代码。
x=-pi:
pi;
y=1/2;
10000
y=y-2*sin((2*i-1)*x)/(2*i-1)/pi;
plot(x,y);
细心的小朋友会发现,这段代码跑完后产生的根本不是多项式函数!
而是一堆乱七八糟的正弦函数!
换句话说,这根本就不是泰勒级数!
学长果然不学无术,居然犯这么低级的错误!
此言差矣。
其实上面的代码所构造的乃是另一种级数:
大名鼎鼎的朱丽叶级数!
开个玩笑,其实是[傅立叶级数]。
傅立叶级数是另一种展开函数的方式,于19世纪初由法国数学家Fourier提出后华丽登场,直指Taylor级数的两大软肋:
局部性质,以及对函数要求过于苛刻(要求函数n阶甚至无穷阶可导)。
废话不多说,直接看效果。
上面的代码试图逼近的函数为:
这是十分常用的方波函数。
而代码运行的结果为:
震惊吧!
颤抖吧!
无知的小朋友们!
一堆正弦加起来竟然成了直线!
这就是朱丽叶级数的魅力!
什么?
你不信?
那好,我们来看一看叠加是如何进行的:
普通sin(x)
取i=1:
2,即正弦+正弦:
文艺sin(x)
i=1:
10,十个正弦函数:
蝙蝠侠sin(x)
500个:
二逼sin(x)
再回头看看上面的代码,10000个正弦函数的叠加......信了吧?
所以说,学长是不会欺骗小朋友的。
细心的小朋友又会问了:
那么朱丽叶级数有没有什么软肋?
问得好。
直接上图:
这是i=1:
50时模拟函数y=x的效果。
细心的小朋友会发现,端点处的逼近效果十分不好,居然都翘起来了!
这是否和泰勒级数一样,n取得不够大呢?
不是。
不信的话,下为i=1:
500的图像:
两端仍然翘起来了!
那么问题在哪儿呢?
原来,这是基底函数的选取所造成的。
Taylor级数取幂函数作为基底,自然会产生发散的问题;
而Fourier级数选取正、余弦这两个周期函数做基底,当然会有周期性的问题了。
Fourier级数优于Taylor级数的一点在于,它可以在任意给定的区间上,整体地逼近某函数,而不会出现离某点越远误差越大的现象。
而在区间外呢?
这个时候,函数的周期性就要出来作祟了。
把x的范围扩大一点,问题就明白了:
细心的小朋友马上有了新问题:
图像中居然有竖着的线!
平行于y轴!
那还能叫函数吗?
不着急。
随着i的增大,图像上的那条线确实会逼近竖直,但这也没关系。
看图说话:
这是把500次叠加过程中每次叠加的结果全画出来的图像。
可以看见,每条曲线在经过周期边界时,穿过的是同一点。
不难推测,500次叠加以后的所有曲线,也会过相同的点,并且在该点附近,图像会越来越趋近竖直。
聪明的小朋友会猜:
如果到了最后,函数太竖直了,以至于仅在该点取该值,在该点左右取上下两条直线上的值,变成分段函数了,不就自然而然地避免了图像竖直的问题了吗?
真聪明。
事实上,函数确实是如此取值的。
于是我们又得到了一个令人震惊的结论:
无穷个连续函数相加,和函数居然不连续了!
下图可以更清楚地看出图像是如何逼近竖直的:
同时可以证明,翘起的那一点,恰好是函数不连续点左右极限的平均值。
这也是Fourier级数的一个重要性质。
那么Fourier级数又有什么用?
这个可就说不完了。
小朋友们只要记住:
Fourier级数的作用,是Taylor级数的很多很多倍!
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- 泰勒 研究