第三章 331 抛物线及其标准方程.docx
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第三章331抛物线及其标准方程
§3.3 抛物线
3.3.1 抛物线及其标准方程
学习目标 1.掌握抛物线的定义及其焦点、准线的概念.2.会求简单的抛物线方程.
知识点一 抛物线的定义
1.定义:
平面内与一定点F和一条定直线l(不经过点F)距离相等的点的轨迹.
2.焦点:
定点F.
3.准线:
定直线l.
思考 抛物线的定义中,为什么要加条件l不经过点F?
答案 若点F在直线l上,点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线.
知识点二 抛物线的标准方程
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
y2=2px(p>0)
x=-
y2=-2px(p>0)
x=
x2=2py(p>0)
y=-
x2=-2py(p>0)
y=
思考 抛物线方程中p(p>0)的几何意义是什么?
答案 p的几何意义是焦点到准线的距离.
1.到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线.( × )
2.抛物线的方程都是二次函数.( × )
3.抛物线y2=2px(p>0)中p是焦点到准线的距离.( √ )
4.方程x2=2ay(a≠0)表示开口向上的抛物线.( × )
一、求抛物线的标准方程
例1 分别求符合下列条件的抛物线的标准方程.
(1)经过点(-3,-1);
(2)焦点为直线3x-4y-12=0与坐标轴的交点.
解
(1)因为点(-3,-1)在第三象限,
所以设所求抛物线的标准方程为
y2=-2px(p>0)或x2=-2py(p>0).
若抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0),
则由(-1)2=-2p×(-3),解得p=;
若抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0),
则由(-3)2=-2p×(-1),解得p=.
故所求抛物线的标准方程为y2=-x或x2=-9y.
(2)对于直线方程3x-4y-12=0,
令x=0,得y=-3;令y=0,得x=4,
所以抛物线的焦点为(0,-3)或(4,0).
当焦点为(0,-3)时,=3,所以p=6,
此时抛物线的标准方程为x2=-12y;
当焦点为(4,0)时,=4,所以p=8,
此时抛物线的标准方程为y2=16x.
故所求抛物线的标准方程为x2=-12y或y2=16x.
反思感悟 用待定系数法求抛物线标准方程的步骤
注意:
当抛物线的类型没有确定时,可设方程为y2=mx(m≠0)或x2=ny(n≠0),这样可以减少讨论情况的个数.
跟踪训练1
(1)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为(1,0),则p=________,准线方程为________.
答案 2 x=-1
解析 因为抛物线的焦点坐标为(1,0),所以=1,p=2,准线方程为x=-=-1.
(2)求焦点在y轴上,焦点到准线的距离为5的抛物线的标准方程为____________.
答案 x2=10y和x2=-10y
解析 设方程为x2=2my(m≠0),由焦点到准线的距离为5,知|m|=5,m=±5,所以满足条件的抛物线有两条,它们的标准方程分别为x2=10y和x2=-10y.
二、抛物线定义的应用
例2
(1)已知抛物线C:
y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=x0,则x0等于( )
A.1B.2C.4D.8
答案 A
解析 ∵+x0=x0,∴x0=1.
(2)已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,求点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值.
解 由抛物线的定义可知,抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离.由图可知,
点P,点(0,2)和抛物线的焦点F三点共线时距离之和最小,
所以最小距离d==.
延伸探究
1.若将本例
(2)中的点(0,2)改为点A(3,2),求|PA|+|PF|的最小值.
解 将x=3代入y2=2x,
得y=±.
所以点A在抛物线内部.
设点P为其上一点,点P到准线(设为l)x=-的距离为d,
则|PA|+|PF|=|PA|+d.
由图可知,当PA⊥l时,|PA|+d最小,最小值是.
即|PA|+|PF|的最小值是.
2.若将本例
(2)中的点(0,2)换为直线l1:
3x-4y+=0,求点P到直线3x-4y+=0的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值.
解 如图,作PQ垂直于准线l于点Q,
|PA1|+|PQ|=|PA1|+|PF|≥|A1F|min.
|A1F|的最小值为点F到直线3x-4y+=0的距离d==1.即所求最小值为1.
反思感悟 抛物线定义的应用
实现距离转化.根据抛物线的定义,抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离,因此,由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化,从而简化某些问题.
跟踪训练2
(1)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F1,若点A(2,-4)在抛物线上,则点A到焦点的距离为________.
答案 4
解析 把点(2,-4)代入抛物线y2=2px,得16=4p,即p=4,从而抛物线的焦点为(2,0).故点A到焦点的距离为4.
(2)设点A的坐标为(1,),点P在抛物线y2=8x上移动,P到直线x=-1的距离为d,则d+|PA|的最小值为( )
A.1B.2C.3D.4
答案 C
解析 由题意知抛物线y2=8x的焦点为F(2,0),点P到准线x=-2的距离为d+1,
于是|PF|=d+1,
所以d+|PA|=|PF|-1+|PA|的最小值为|AF|-1=4-1=3.
抛物线的实际应用问题
典例 河上有一抛物线形拱桥,当水面距拱桥顶5m时,水面宽为8m,一小船宽4m,高2m,载货后船露出水面上的部分高0.75m,问:
水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距多少m时,小船开始不能通航?
解 如图,以拱桥的拱顶为原点,以过拱顶且平行于水面的直线为x轴,建立平面直角坐标系.
设抛物线方程为x2=-2py(p>0),
由题意可知,点B(4,-5)在抛物线上,
故p=,得x2=-y.
当船面两侧和抛物线接触时,船开始不能通航,
设此时船面宽为AA′,则A(2,yA),
由22=-yA,得yA=-.
又知船面露出水面上的部分高为0.75m,
所以h=|yA|+0.75=2(m).
所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2m时,小船开始不能通航.
[素养提升] 首先确定与实际问题相匹配的数学模型.此问题中拱桥是抛物线型,故利用抛物线的有关知识解决此问题,操作步骤为
(1)建系:
建立适当的坐标系.
(2)假设:
设出合适的抛物线标准方程.
(3)计算:
通过计算求出抛物线的标准方程.
(4)求解:
求出需要求出的量.
(5)还原:
还原到实际问题中,从而解决实际问题.
1.设抛物线的顶点在原点,准线方程为x=-2,则抛物线的方程是( )
A.y2=-8x
B.y2=8x
C.y2=-4x
D.y2=4x
答案 B
2.已知抛物线y=2px2过点(1,4),则抛物线的焦点坐标为( )
A.(1,0)B.C.D.(0,1)
答案 C
解析 由抛物线y=2px2过点(1,4),可得p=2,
∴抛物线的标准方程为x2=y,
则焦点坐标为,故选C.
3.准线为y=-的抛物线的标准方程是( )
A.x2=3yB.y=-x2
C.x=3y2D.x=-y2
答案 A
解析 准线为y=-的抛物线的标准方程是x2=3y,故选A.
4.一动圆过点(0,1)且与定直线l相切,圆心在抛物线x2=4y上,则l的方程为( )
A.x=1B.x=
C.y=-1D.y=-
答案 C
解析 因为动圆过点(0,1)且与定直线l相切,所以动圆圆心到点(0,1)的距离与它到定直线l的距离相等,又因为动圆圆心在抛物线x2=4y上,且(0,1)为抛物线的焦点,所以l为抛物线的准线,所以l:
y=-1.
5.若抛物线y2=-2px(p>0)上有一点M,其横坐标为-9,它到焦点的距离为10,则点M的坐标为________.
答案 (-9,6)或(-9,-6)
解析 由抛物线方程y2=-2px(p>0),得其焦点坐标为F,准线方程为x=.设点M到准线的距离为d,则d=|MF|=10,即-(-9)=10,得p=2,故抛物线方程为y2=-4x.
由点M(-9,y)在抛物线上,得y=±6,故点M的坐标为(-9,6)或(-9,-6).
1.知识清单:
(1)抛物线的定义.
(2)抛物线的标准方程的四种形式.
(3)抛物线定义的应用.
2.方法归纳:
待定系数法、定义法、转化化归.
3.常见误区:
混淆抛物线的焦点位置和方程形式.
1.抛物线y=-x2的准线方程为( )
A.x=B.x=1
C.y=1D.y=2
答案 C
解析 抛物线的标准方程为x2=-4y,则准线方程为y=1.
2.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线焦点坐标为( )
A.(-1,0)B.(1,0)C.(0,-1)D.(0,1)
答案 B
解析 抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-,
由题设知-=-1,即p=2,
故焦点坐标为.故选B.
3.(多选)经过点P(4,-2)的抛物线的标准方程为( )
A.y2=xB.y2=8x
C.y2=-8xD.x2=-8y
答案 AD
解析 当开口向右时,设抛物线方程为y2=2p1x(p1>0),则(-2)2=8p1,所以p1=,所以抛物线方程为y2=x.当开口向下时,设抛物线方程为x2=-2p2y(p2>0),则42=4p2,p2=4,所以抛物线方程为x2=-8y.
4.若抛物线y=ax2的焦点与椭圆+y2=1的上顶点重合,则a等于( )
A.B.C.2D.4
答案 B
解析 椭圆+y2=1的上顶点是抛物线y=ax2的焦点坐标为,
因为两点重合,所以=1,
所以a=.
5.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆+=1的一个焦点,则p等于( )
A.2B.3C.4D.8
答案 D
解析 因为抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆+=1的一个焦点,
所以3p-p=2,解得p=8.
6.已知双曲线-y2=1的右焦点恰好是抛物线y2=8x的焦点,则m=________.
答案 3
解析 由题意得m+1=22,解得m=3.
7.在抛物线y2=-12x上,与焦点的距离等于9的点的坐标是____________.
答案 (-6,6)或(-6,-6)
解析 由方程y2=-12x,知焦点F(-3,0),准线l:
x=3.设所求点为P(x,y),
则由定义知|PF|=3-x.
又|PF|=9,所以3-x=9,x=-6,代入y2=-12x,得y=±6.
所以所求点的坐标为(-6,6)或(-6,-6).
8.已知抛物线C:
4x+ay2=0恰好经过圆M:
(x-1)2+(y-2)2=1的圆心,则抛物线C的焦点坐标为________,准线方程为________.
答案 (1,0) x=-1
解析 圆M的圆心为(1,2),代入4x+ay2=0得a=-1,
将抛物线C的方程化为标准方程得y2=4x,故焦点坐标为(1,0),准线方程为x=-1.
9.已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,抛物线上一点M(m,-3)到焦点的距离为5,求m的值、抛物线方程和准线方程.
解 方法一 如图所示,
设抛物线的方程为x2=-2py(p>0),则焦点F,准线l:
y=,作MN⊥l,垂足为N,
则|MN|=|MF|=5,而|MN|=3+=5,
即p=4.所以抛物线方程为x2=-8y,准线方程为y=2.
由m2=-8×(-3)=24,得m=±2.
方法二 设所求抛物线方程为x2=-
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