第三章 元一次方程.docx
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第三章 元一次方程.docx
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第三章元一次方程
第三章一元一次方程
3.1 从算式到方程
教学目标:
1.了解什么是方程,什么是一元一次方程;
2.通过“列算式”和“列方程”解决问题的方法,感受方程是应用广泛的数学工具;
3.初步学会分析实际问题中的数量关系,利用其中的相等关系列出方程,渗透建立方程模型的思想;
4.经历从生活中发现数学和应用数学解决实际问题的过程,树立多种方法解决问题的创新意识,品尝成功的喜悦,增强用数学的意识,激发学习数学的热情。
教学重点:
1.了解什么是方程、一元一次方程;
2.分析实际问题中的数量关系,利用其中的相等关系列出方程。
教学难点:
分析实际问题中的数量关系,利用其中的相等关系列出方程。
教学过程:
一、游戏激趣
同学们,大家小时候一定都说过儿歌吧?
那么这一首儿歌你一定说过(屏幕出示):
1只青蛙1张嘴,2只眼睛4条腿,扑通一声跳下水;……。
现在,我们就来“比一比,说儿歌”(屏幕出示)。
要求是:
以这样的速度说(师说一段),不能说错或停顿,如果停顿或者说错了就立即停止。
规则是:
每一大组各派一名代表,看谁说得又快又好;第一大组,谁来?
其他同学可听仔细了。
(进行比赛)
我们知道,这是一首永远也说不完的儿歌,你能不能想个方法用一句话把这首儿歌说完呢(屏幕出示)?
(根据学生回答,说出“x只青蛙x张嘴,2x只眼睛4x条腿,x声扑通跳下水”)(屏幕出示)
这样,我们用字母x代替了具体的数,就用一句话代表了所有情况,使问题变得方便、简捷。
二、 创设情境,引入课题
1、同学们都挺喜欢吃巧克力吧!
假如你妈妈从文峰买了42颗你最喜欢吃的巧克力,你准备怎么处理呢?
好东西要与好朋友分享,对吧?
如果你和你的好朋友一人一半,你分得多少呢?
我们也不能忘了孝敬长辈,假如分给奶奶的是分给你的2倍,那么你分了多少颗?
如果还要分给爷爷,且分给奶奶的不变,还是你的2倍,分给爷爷的比分给你的1.5倍少3个。
此时你又分得多少颗?
(让学生自己回答出两种解法——代数方法和算术方法)
2、刚才解决这个问题时,两位同学一人用了列算式的方法,一人用了列方程的方法(屏幕出示)。
今天这一节课我们就共同来研究“2.1节从算式到方程”。
3、什么是方程?
同学们还记得吗?
请大家回忆一下。
、
4、刚才的问题是用列方程的方法解答的请举手。
确实,方程也是解决问题的一种好方法。
(设计意图:
通过巧克力问题,1、让学生认识到列方程也是解决数学问题的一个好方法,甚至有时比算术方法要简单,2、引出方程的概念)
三、呈现问题,自主探索
1、请你用算术方法或列方程解决下列问题:
每一道题你都可以选择用算术方法还是列方程解决,只要想到方法的就到黑板上来写,不需要举手,如果列算术请写在左边,如果列方程请写在右边。
注意:
我们这一节课只研究根据实际问题列方程,怎样从方程中求出未知数,我们以后会深入讨论。
所以,今天的问题都只要求同学们列出算式或方程,不需要求出结果。
现在开始。
2、学生自由到黑板上写
3、现在请各位同学解释一下自己的方法。
(学生在座位上回答,教师适当提醒学生说出等式两边的含义和列方程所依据的相等关系。
针对解题格式上的问题加以提醒。
)
统计每道题用算术方法和用代数方法的人数。
4、通过解决刚才的这几个问题,对于做一道题时,是选择列算式还是列方程,你有什么感想?
(生答)
其实呀,方程确实是一种应用很广泛的数学工具,在现实生活中有好多好多的问题可以用方程解决。
下面我们不妨来试试看。
好吗?
(设计意图:
通过几道例题,1、让学生初步学会分析实际问题中的数量关系,利用其中的相等关系列出方程,2、渗透建立方程模型的思想)
四、巩固练习,提高发展
1、现在我们就用列方程的方法解决问题,请拿出学案纸,完成第一大题。
要求是:
(屏幕出示)根据下列问题,设未知数并列出方程,同样不需要求出结果。
2、学生独立完成。
3、哪位同学来讲讲你做的第一题,说说你的解题思路和过程。
4、通过刚才的研究,我们发现利用方程解决问题要经过哪些步骤呢?
先设未知数,然后根据相等关系列出方程,这样,就将实际问题转化成了数学问题。
(设计意图:
通过练习让学生继续学会分析实际问题中的数量关系,利用其中的相等关系列出方程。
)
七、课后作业,拓展视野
1.必做题:
阅读课本第72页“阅读与思考”;完成课本第75页第1题,第76页第5、6题。
2.选做题:
课本第74页第10题。
教学反思:
本节课我在本校执教的时候效果较好,而到滨江初中上这一节课,结果却不尽如人意,甚至没有能完成预定的教学任务。
通过这一节课,我感受最深的一点是:
要上好一节课不仅要埋头钻研教材,设计教学过程,还必须善于与学生交流,要学会从学生的角度看问题,也就是常说的要学会备学生,应从学生能否理解的角度来安排适当的教学程序,用有趣的资料激发学生的学习热情,更应主动地去了解学生对过去相应的知识的掌握程度,这样才能把握住施教的深浅及分寸,做到进行适当的引导,达到事半功倍的效果。
3.2-一元一次方程的讨论
(1)
【教学目标】
1.经历运用方程解决实际问题的过程;
2.学习如何找出实际问题中的已知数和未知数,并分析它们之间的数量关系,列出方程;
3.通过具体的例子感受一些常用的相等关系式.
【对话探索设计】
〖探索1〗
(1)某校前年购买计算机x台,去年购买的数量是前年的2倍,今年购买的数量又是去年的2倍,去年购买的计算机的数量是________;今年购买的计算机的数量是________;三年总共购买的数量是_________.
(2)某校三年共购买计算机140台,去年购买的数量是前年的2倍,今年购买的数量又是去年的2倍,前年这个学校购买了多少台计算机?
解:
设前年购买计算机x台,那么,
去年购买的计算机的数量是________;
今年购买的计算机的数量是________;
根据关系:
三年共购买计算机140台(关系式:
前年购买量+去年购买量+今年购买量=140台),列得方程:
____________________________.
合并得________________.
系数化为1得______________.
答:
______________________.
归纳:
总量等于各部分量的和是一个基本的相等关系.
〖探索2〗
(1)把一些书分给某班学生阅读,如果每人分3本,则剩余20本,若这个班级有x名学生,则这些书有_______本.
(2)把一些书分给某班学生阅读,如果每人分4本,则还缺20本,若这个班级有x名学生,则这些书有_______本.
(3)把一些书分给某班学生阅读,如果每人分3本,则剩余20本;如果每人分4本,则还缺20本.这个班有多少学生?
解:
设这个班级有x名学生,
根据第一关系,这批书共_________________本;
根据第二关系,这批书共_________________本;
这批书的总数是个定值,表示它的两个不同的式子应该相等.
根据这一相等关系列得方程:
________________________.
想一想,怎样解这个方程?
归纳:
表示同一个量的两个不同的式子相等,这也是我们列方程经常用到的相等关系.
〖练习〗
1.
(1)同样大的实验田,喷灌的用水量是漫灌的25%,若漫灌要用水x吨,则改用喷灌只需_________吨.
(2)灌溉两块同样大的实验田,第一块用喷灌的方式,第二块用漫灌的方式,喷灌的用水量是漫灌的25%,若两块地共用水300吨.每块地各用水多少吨?
解:
设第二块地(漫灌)用水x吨,
根据关系:
喷灌的用水量是漫灌的25%(关系式是:
喷灌的用水量=漫灌的的用水量×25%),得
第一块地(喷灌)用水________吨.
根据关系:
两块地共用水300吨,可列方程:
__________________________________.
解得___________.
答:
___________________________.
〖作业〗P79.练习,P84.1,6
〖补充作业〗
1.按要求列出方程:
(1)x的1.2倍等于36;
(2)y的四分之一比y的2倍大24.
2.某厂去年的产量是前年的2倍还多150吨,若去年的产量是950吨,求前年的产量.
解:
设前年的产量是x吨,根据关系:
去年的产量是前年的2倍还多150吨,得去年的产量为______________,
根据去年的产量是950吨列方程:
__________________.
解得___________.答_________________________.
2.2一元一次方程的讨论
(2)
【教学目标】
1.进一步经历运用方程解决实际问题的过程,初步体会方程是刻画现实世界的有效数学模型;
2.学会合并(同类项)及移项,会解"ax+bx=c"及"ax+b=cx+d"类型的一元一次方程;
3.初步体会一元一次方程的应用价值,感受数学文化;
4.理解解方程的目标,体会解法中蕴涵的化归思想.
〖探索1〗
等式一边的项可以移到等式的另一边吗?
例如:
3+5=8这是一个等式.把左边的一项"3"移到右边,得到什么式子?
这时等式成立吗?
如果把"3"变号后移到的另一边呢?
换一个等式-6-7=-13试一试.
任写一个等式再试一试.
〖探索2〗
(1)方程x+3=-1的解是多少?
(1)把方程x+3=-1中左边的常数项”3”移到右边,就得到方程x=-1+3.所得的方程的解与原方程的解一样吗?
〖探索3〗
怎样求方程x-7=5的解?
甲的解法是:
这是一个表示减法运算的式子,x是被减数,7是减数,5是差.所以有x=5+7(理由是_______________________),于是x=12.
乙的解法是:
这是一个等式,根据等式的性质1,等式两边________,结果仍相等,把方程的两边都加7,得x-7+7=5+7,于是x=12.
丙的解法是:
把方程左边的项-7,变号(即变成+7)后移到方程的右边,得x=5+7,于是x=12.
议一议,三种解法,你乐意用哪一种?
〖归纳〗
解方程时,把方程一边的某项变号后移到另一边,这种变形叫移项.
注意:
移项的要点不在移动,而在于变号.
想一想:
移项为什么要变号?
移项的根据是什么?
〖探索4〗
以下各方程的“移项”对不对?
为什么?
(1)x+5=7,移项得x=7+5;
(2)3-x=7,移项得-x=7-3;
(3)2x=7x,移项得2x+7x=0;
(4)2x=7x-6,移项得2x-7x=-6.
〖探索5〗
移项的目的是把方程化为ax=b的形式,以下的“移项”都达不到预期的目的.你认为应该怎样做才对?
(1)3x+6=0,移项得0=-3x-6;
(2)3x=5x-7,移项得3x+7=5x;
(3)3-x=5x,移项得3-x-5x=0;
(4)3x+20=7x-18,移项得-7x+18=-3x-20.
〖例题学习〗P81.例1
〖练习〗P81.练习
〖作业〗P84.习题2,3,9
3.2一元一次方程的讨论(3)
【教学目标】
1.熟练应用合并(同类项)及移项,解"ax+bx=c"及"ax+b=cx+d"类型的一元一次方程;
2.进一步感受如何找出实际问题中的已知数和未知数,并分析它们之间的数量关系,列出方程;
3.初步体会一元一次方程的应用价值,感受数学文化.
〖练习〗P85.习题9
〖探索1〗
(1)有一列数,按一定的规律排成1,-3,9,-27,81,-243…,如果其中有一个数是x,那么跟在它后面的两个数依次为______,______.如果其中有一个数是y,那么它前面的哪个数是______,后面的那个数是______.
(2)有一列数,按一定的规律排成1,-3,9,-27,81,-243…,其中某三个相邻数的和是567,这三个数各是多少?
相信你能自己解决这个问题了!
〖例题学习〗P81.例2
想一想:
如果设这三个相邻数中的第二个数为y,怎么列方程?
解是多少?
〖探索2〗
(1)“全球通”移动电话的计费方法是:
月租费50元/月,本地通话费0.40元/分.一个月内,若通话200分,需交费_________元;若通话x分,需交费__________元.
(2)李老师5月份“全球通”移动电话消费130元,求通话的时间是多少分.
全球通
神州行
月租费
50元/月
0
本地通话费
0.40元/分
0.60元/分
〖探索3〗
“全球通”和“神州行”两种移动电话的收费方式如表:
用“全球通”每月收月租费50元/月,此外根据累计通话时间按0.40元/分加收通话费.用“神州行”,不收月租费,根据累计通话时间按0.60元/分收通话费.
(1)若一个月内在本地通话100分,按两种计费方式各需交多少元?
选择哪一种计费方式比较便宜?
通话时间若是300分呢?
(2)若累计通话t分,则用“全球通”要收费__________元;用“神州行”要收费__________元.
(3)当本地通话时间是多少分时,两种收费方式的收费一样?
(4)你认为在什么条件下选择“神州行”更便宜?
(5)请为你的家长在“全球通”和“神州行”两种移动电话的收费方式中选择一种,并说明理由.
-一元一次方程的讨论
(2)
(一)
【教学目标】
1.掌握去括号的方法;
2.会根据顺流速度、水流速度及逆流速度三者之间的关系解题;
3.让学生进一步感受列方程解决实际问题的一般思路.
【对话探索设计】
〖复习导入〗
1.去括号是解方程时常用的变形,分别将下面的方程去括号:
(1)方程3x+5(13-x)=54,去括号得____________________;
(2)方程3x-5(13-x)=54,去括号得____________________.
〖探索1〗
顾客用540卢布买了两种布料共138俄尺,其中蓝布料每俄尺3卢布,黑布料每俄尺5卢布.两种布料各买了多少?
(P86.问题)
分析:
在这个问题中,一共有几个有关元素?
几个相等关系?
解:
设买了蓝布料x俄尺,
那么,根据关系_______________,
得买了黑布料_________俄尺,
根据关系_______________,
得买蓝布料要花__________卢布,
根据同样关系,得买黑布料要花_____________卢布.
想一想:
最后还有哪一个关系没有用上?
你能用这个关系列方程吗?
你会解这个方程吗?
〖例题学习〗
P87.例1
〖探索2〗
一艘船在静水中的速度是27千米/时,它从甲码头到乙码头顺流行驶,用了2小时,若水流的速度是3千米/时,求两码头间的距离及该船从乙码头返回到甲码头所需的时间.(提示:
顺流速度=静水中速度_____水流速度;逆流速度=静水中速度_____水流速度.)
〖探索3〗
一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶,用了2小时,从乙码头返回到甲码头逆流行驶,用了2.5小时,已知水流的速度是3千米/时,求船在静水中的速度.
解:
设船在静水中的速度是x千米/时,
那么,根据顺流速度、水流速度及逆流速度三者之间的关系,得
船的顺流速度是_______千米/时,逆流速度是_______千米/时,
根据速度、时间、路程之间的关系,得
船的顺流路程是_____________;逆流路程是______________.
根据往返路程相等列方程:
______________________________.解这个方程得____________________.
答:
_____________________________.
〖练习〗P88.练习
(1)
〖作业〗P88.练习
(2),P93.习题.1,2,4
3.3一元一次方程的讨论
(2)
(二)
【教学目标】
1.进一步掌握去括号的方法;
2.了解配套问题的实际运用;
3.了解间接设元法;
3.进一步感受到数学的应用价值,激发学生学习数学的积极性和信心.
【对话探索设计】
〖探索1〗
某车间22名工人生产螺钉和螺母,每人每天平均生产螺钉1200个或螺母2000个,一个螺钉要配两个螺母.为了使每天的产品刚好配套,应该分配多少名工人生产螺钉,多少名工人生产螺母?
分析:
(1)如果让一半的工人生产螺钉,另一半生产螺母,会出现什么情况?
(2)为了使每天的产品刚好配套,生产出来的螺钉与螺母的数量之间应满足怎样的关系?
解:
设分配x名工人生产螺母,
根据关系:
生产两种零件的工人的和是22名,得
分配生产螺钉的工人有______________名.
易得每天可生产螺母________个,螺钉___________个.
(分析:
这时还有一个关系没有用上,这个关系是
_________________________,它就是列方程的依据.)
根据这个关系式列方程:
___________________________________.
解这个方程,得_________________.
生产螺钉的人数是_____________________.
答:
______________________________________________.
〖探索2〗
电气机车和磁悬浮列车从相距298千米的两地同时出发相对而行,磁悬浮列车的速度比电气机车速度的5倍还快20千米/时,半小时后两车相遇,两车的速度各是多少?
设电气机车的速度为x千米/时,请在下面的示意图中标出两车的路程,再列方程解.
〖探索3〗
小王从家门口的公交车站去火车站.如果坐公交车,他将会在火车开车后半小时到达车站,如果坐出租车,可以在火车开车前15分到达火车站.已知公交车的速度是45千米/时,出租车的速度是公交车的2倍,问小王的家到火车站有多远?
(等候公交车和出租车的时间忽略不计.)
解法一:
设小王的家到火车站的路程是x千米,
那么,根据时间等于路程÷速度,得他坐公交车到火车站要_________小时;坐出租车到火车站要_________小时.
根据出租车到火车站所用的时间比公交车要少________小时,
列方程:
_______________________.
解法二:
设坐出租车到火车站要x小时,
根据出租车的速度是公交车的2倍,得公交车到火车站要____小时,
(想一想:
列式的根据是什么?
)
根据出租车到火车站所用的时间比公交车要少________小时,
列方程:
___________________.解得__________.
把求得的时间乘速度得小王的家到火车站的路程是________.
解法三:
设小王出发时距离火车开车还有x分,
坐出租车到火车站所用的时间为________;路程为_____________.
坐公交车到火车站所用的时间为________;路程为_____________.
列方程__________________________.
解得_________.
答:
_____________________________.
〖作业〗
P93.习题.5,10
3.3一元一次方程的讨论
(2)(三)
【教学目标】
1.会去分母,并通过去分母了解化归思想;
2.让学生了解数学的渊源及辉煌的历史,激发学生的学习热情;
3.熟练掌握一元一次方程的解法;
4.培养学生的建模能力及创新能力.
【对话探索设计】
〖探索1〗
P90问题中的方程怎么解?
(1)解方程
教师本身要认真备课,要敢于质疑,要不失时机地培养学生独立思考的习惯.
+
+
+x=33时,如果先合并,得到方程
______________________,
把系数化为1,就得到方程的解_____________.
(2)解方程
+
+
+x=33时,如果先去分母,方程的两边同乘___________,就得到方程_________________;
再合并,得到方程___________;
把系数化为1,就得到方程的解________.
(3)比较上面两种解法,你能得出什么结论?
〖探索2〗
解方程4-
=13时,如果不先去分母怎么解?
如果先去分母呢?
试比较两种解法.
〖归纳〗
有的方程中有些系数是分数,如果化去分母把系数化为整数,一般可以使解方程中的计算简便.
〖探索3〗
解方程
(y+1)+
(y+2)=3-
(y+3)时,一般要先去分母,你知道方程的两边应该同乘一个什么样的数吗?
〖探索4〗
可以看作是3÷7;类似地,
可以看作是________;
可以看作是_________.
〖探索5〗
解方程
-2=
-
时,正确的做法是两边同乘方程中各分母的最小公倍数20,去分母得5(3x+1)-40=2(3x-2)-4(2x+3).
议一议,所得方程中有三处用了括号,这是为什么?
不用括号行吗?
请继续解这个方程.
〖探索6〗
小英同学解方程
-
=1时,去分母,把原方程化为:
2x-1-x+2=1.你能指出它犯了哪两个错误吗?
你能帮她改过来吗?
〖探索7〗
学了”去分母”以后,民辉同学在计算
时,把分母去掉得3+2=5.对吗?
〖归纳〗
1.方程去分母的两个要点.
2.一元一次方程解法的一般步骤.
3.3一元一次方程的讨论
(2)(四)
【教学目标】
1.熟练掌握一元一次方程的解法;
2.进一步感受列方程的一般思路;
3.进一步培养学生的建模能力及创新能力.
4.通过观察、实践、讨论等活动经历从实际中抽象数学模型的过程.
【对话探索设计】
〖探索1〗
一项工程,甲要做12天才能做完.如果把总工作量看作1,
那么,根据工作效率=________÷________,
得甲一天的工作量(工作效率)为________.
他做3天的工作量是__________.
〖探索2〗
一项工程,甲单独做要6天,乙单独做要3天,两人合做要几天?
(1)你能估算出答案吗?
(2)试一试,怎样用直线型示意图寻求答案:
如图,线段AB表示总工作量1,怎样在线段AB上分别表示甲、乙一天的工作量?
通过示意图,能够很直观地看出答案吗?
如图,用整个圆的面积表示全部工作量1,怎样用扇形的面积分别表示甲、乙两人一天的工作量?
通过示意图,能够很直观地看出答案吗?
与直线型示意图相比,你更乐意用哪一种图形分析?
〖探索3〗
一项工程,甲单独做要12天,乙单独做要18天,两人合做要几天?
解:
把总工作量看作1,那么,
根据工作效率=________÷________,得
甲一天的工作量(工作效率)为______;乙一天的工作量为______;
设两人合做要x天,那么,
甲的总工作量为________;乙的总工作量为________;
这工作由两个人完成,根据两人完成的工作量之和等于1,可列方程:
_____________________.解这个方程得________________.
答:
_____________________.
把这道题的解法与小学时的算术解法进行比较,你有什么发现?
〖探索4〗
整理一批图书,由一个人做要40小时完成.现计划由一部分人先做4小时,再增加2人和他们一起做8小时,完成这项工作.假设这些人的工作效率相同,具体应先安排多少人工作?
(P92例5)
解:
把总工作量看作1,那么,
根据工作效率=________÷________,得
人均效率(一个人1小时的工作量)为________.
设先安排x人工作4小时,那么,
这x个人4小时的工作量为_____________
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