届高考数学理二轮复习江苏专用习题专题二Word文档下载推荐.docx
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对称性
对称中心:
(kπ,0)(k∈Z);
对称轴:
x=+kπ(k∈Z)
(k∈Z);
x=kπ(k∈Z)
(k∈Z)
2.三角函数的常用结论
(1)y=Asin(ωx+φ),当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数;
当φ=kπ+(k∈Z)时为偶函数;
对称轴方程可由ωx+φ=kπ+(k∈Z)求得.
(2)y=Acos(ωx+φ),当φ=kπ+(k∈Z)时为奇函数;
当φ=kπ(k∈Z)时为偶函数;
对称轴方程可由ωx+φ=kπ(k∈Z)求得.
(3)y=Atan(ωx+φ),当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数.
3.三角函数的两种常见变换
热点一 三角函数的图象
【例1】
(1)(2016·
无锡高三期末)将函数f(x)=2sin2x的图象上每一点向右平移个单位,得函数y=g(x)的图象,则g(x)=________.
(2)(2016·
南京调研)如图,它是函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ∈[0,2π))图象的一部分,则f(0)的值为________.
解析
(1)将f(x)=2sin2x的图象向右平移个单位得到g(x)=2sin2=2sin的图象.
(2)由函数图象得A=3,=2[3-(-1)]=8,
解得ω=,
所以f(x)=3sin,又因为(3,0)为函数f(x)=3sin的一个下降零点,所以×
3+φ=(2k+1)π(k∈Z),
解得φ=+2kπ(k∈Z),又因为φ∈(0,π),所以φ=,
所以f(x)=3sin,则f(0)=3sin=.
答案
(1)2sin
(2)
探究提高
(1)对于三角函数图象的平移变换问题,其平移变换规则是“左加、右减”,并且在变换过程中只变换其自变量x,如果x的系数不是1,则需把x的系数提取后再确定平移的单位和方向.
(2)已知图象求函数y=Asin(A>0,ω>0)的解析式时,常用的方法是待定系数法.由图中的最高点、最低点或特殊点求A;
由函数的周期确定ω;
确定φ常根据“五点法”中的五个点求解,其中一般把第一个零点作为突破口,可以从图象的升降找准第一个零点的位置.
【训练1】
(1)(2015·
苏北四市模拟)
函数y=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<,x∈R)的部分图象如图所示,则函数表达式为________.
(2)(2015·
苏、锡、常、镇调研)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数,A>0,ω>0,0<φ<π)的图象
如图所示,则f的值为________.
解析
(1)由图象知=6-(-2)=8,∴T=16,A=4.
∴ω===.
∴y=4sin,
把点(6,0)代入得:
×
6+φ=0,
得φ=-.
又∵|φ|<.
∴y=-4sin.
(2)根据图象可知,A=2,=-,所以周期T=π,由ω==2.
又函数过点,所以有sin=1,而0<φ<π,所以φ=,则f(x)=2sin,
因此f=2sin=1.
答案
(1)y=-4sin
(2)1
热点二 三角函数的性质
[微题型1] 三角函数的性质及其应用
【例2-1】
(1)(2015·
湖南卷)已知ω>
0,在函数y=2sinωx与y=2cosωx的图象的交点中,距离最短的两个交点的距离为2,则ω=________.
(2)设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A>
0,ω>
0).若f(x)在区间上具有单调性,且f=f=-f,则f(x)的最小正周期为________.
(3)(2016·
苏北四市调研)将函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象上所有点向右平移个单位后得到的图象关于原点对称,则φ等于________.
解析
(1)由得sinωx=cosωx,
∴tanωx=1,ωx=kπ+(k∈Z).
∵ω>
0,∴x=+(k∈Z).
设距离最短的两个交点分别为(x1,y1),(x2,y2),不妨取x1=,x2=,则|x2-x1|==.
又结合图形知|y2-y1|==2,
且(x1,y1)与(x2,y2)间的距离为2,
∴(x2-x1)2+(y2-y1)2=
(2)2,
∴+
(2)2=12,∴ω=.
(2)由f(x)在上具有单调性,得≥-,
即T≥;
因为f=f,所以f(x)的一条对称轴为x==;
又因为f=-f,所以f(x)的一个对称中心的横坐标为=.所以T=-=,即T=π.
(3)将函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向右平移后得到y=sin=sin的图象,因为该函数是奇函数,且0<φ<π,所以φ=.
答案
(1)
(2)π (3)
探究提高 此类题属于三角函数性质的逆用,解题的关键是借助于三角函数的图象与性质列出含参数的不等式,再根据参数范围求解.或者,也可以取选项中的特殊值验证.
[微题型2] 三角函数图象与性质的综合应用
【例2-2】(2016·
苏、锡、常、镇调研)设函数f(x)=sin2ωx+2sinωx·
cosωx-cos2ωx+λ(x∈R)的图象关于直线x=π对称,其中ω,λ为常数,且ω∈.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)若y=f(x)的图象经过点,求函数f(x)在x∈上的值域.
解
(1)因为f(x)=sin2ωx+2sinωx·
cosωx-cos2ωx+λ=-cos2ωx+sin2ωx+λ=2sin+λ,由直线x=π是y=f(x)图象的一条对称轴,可得
sin=±
1,
所以2ωπ-=kπ+(k∈Z),
即ω=+(k∈Z).
又ω∈,k∈Z,所以k=1,故ω=.
所以f(x)的最小正周期是.
(2)由y=f(x)的图象过点,得f=0,
即λ=-2sin=-2sin=-,
即λ=-.
故f(x)=2sin-,
∵x∈,∴x-∈,
∴函数f(x)的值域为[-1-,2-].
探究提高 求三角函数最值的两条思路:
(1)将问题化为y=Asin(ωx+φ)+B的形式,结合三角函数的性质或图象求解;
(2)将问题化为关于sinx或cosx的二次函数的形式,借助二次函数的性质或图象求解.
【训练2】已知函数f(x)=cos+sin2x-cos2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期及其图象的对称轴方程;
(2)设函数g(x)=[f(x)]2+f(x),求g(x)的值域.
解
(1)f(x)=cos2x+sin2x-cos2x
=sin.
则f(x)的最小正周期为π,
由2x-=kπ+(k∈Z),
得x=+(k∈Z),
所以函数图象的对称轴方程为x=+(k∈Z).
(2)g(x)=[f(x)]2+f(x)=sin2+sin=-.
当sin=-时,g(x)取得最小值-,
当sin=1时,g(x)取得最大值2,
所以g(x)的值域为.
1.已知函数y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的图象求解析式
(1)A=,B=.
(2)由函数的周期T求ω,ω=.
(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求φ.
2.运用整体换元法求解单调区间与对称性
类比y=sinx的性质,只需将y=Asin(ωx+φ)中的“ωx+φ”看成y=sinx中的“x”,采用整体代入求解.
(1)令ωx+φ=kπ+(k∈Z),可求得对称轴方程;
(2)令ωx+φ=kπ(k∈Z),可求得对称中心的横坐标;
(3)将ωx+φ看作整体,可求得y=Asin(ωx+φ)的单调区间,注意ω的符号.
3.函数y=Asin(ωx+φ)+B的性质及应用的求解思路
第一步:
先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y=Asin(ωx+φ)+B(一角一函数)的形式;
第二步:
把“ωx+φ”视为一个整体,借助复合函数性质求y=Asin(ωx+φ)+B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题.
一、填空题
1.(2016·
山东卷改编)函数f(x)=(sinx+cosx)(cosx-sinx)的最小正周期是________.
解析 ∵f(x)=2sinxcosx+(cos2x-sin2x)=sin2x+cos2x=2sin,∴T=π.
2.(2016·
南通月考)
已知函数f(x)=2sin(2x+φ)(|φ|<π)的部分图象如图所示,则f(0)=________.
解析 由图可得sin=1,而|φ|<π,所以φ=-.
故f(0)=2sin=-1.
答案 -1
3.(2016·
北京卷改编)将函数y=sin图象上的点P向左平移s(s>0)个单位长度得到点P′.若P′位于函数y=sin2x的图象上,则t=________,s的最小值为________.
解析 点P在函数y=sin图象上,
则t=sin=sin=.
又由题意得y=sin=sin2x,
故s=+kπ,k∈Z,所以s的最小值为.
答案
4.函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则将y=f(x)的图象向右平移个单位后,得到的图象的解析式为_______.
解析 由图象知A=1,T=-=,T=π,
∴ω=2,由sin=1,|φ|<得+φ=⇒φ=⇒f(x)=sin,
则图象向右平移个单位后得到的图象的解析式为y=sin=sin.
答案 y=sin
5.(2015·
苏北四市调研)已知函数f(x)=2sin(ω>0)的最大值与最小正周期相同,则函数f(x)在[-1,1]上的单调递增区间为________.
解析 因为函数f(x)的最大值为2,所以最小正周期T=2=,解得ω=,所以f(x)=2sin,
当2kπ-≤πx-≤2kπ+,k∈Z,即2k-≤x≤2k+,k∈Z时,函数f(x)单调递增,所以函数f(x)在x∈[-1,1]上的单调递增区间是.
6.(2016·
南京、盐城模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图象关于直线x=对称,且f=0,则ω取最小值时,φ的值为________.
解析 由-=≥×
,
解得ω≥2,故ω的最小值为2.
此时sin=0,
即sin=0,又0<φ<π,
所以φ=.
7.已知ω>0,函数f(x)=sin在上单调递减,则ω的取值范围是________.
解析 由2kπ+≤ωx+≤2kπ+π,k∈Z且ω>0,
得≤x≤,k∈Z.
取k=0,得≤x≤,
又f(x)在上单调递减,
∴≤,且π≤,解之得≤ω≤.
8.(2016·
泰州模拟)若将函数f(x)=sin的图象向右平移φ个单位,所得图象关于y轴对称,则φ的最小正值是________.
解析 f(x)=sin
g(x)=sin=sin,
关于y轴对称,即函数g(x)为偶函数,
则-2φ=kπ+(k∈Z),∴φ=-π-(k∈Z),
显然,k=-1时,φ有最小正值-=.
二、解答题
9.已知函数f(x)=2sin.
(1)求函数y=f(x)的最小正周期及单调递增区间;
(2)若f=-,求f(x0)的值.
解
(1)T==π,由-+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z),
得-π+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),所以单调递增区间为,k∈Z.
(2)f=-,即sin2x0=-,
∴cos2x0=±
∴f(x0)=2sin=(sin2x0+cos2x0)=或-.
10.(2016·
苏州调研)已知函数f(x)=4sin3xcosx-2sinxcosx-cos4x.
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间;
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.
解 f(x)=2sinxcosx-cos4x
=-sin2xcos2x-cos4x
=-sin4x-cos4x
=-sin.
(1)函数f(x)的最小正周期T==.
令2kπ+≤4x+≤2kπ+,k∈Z,
得+≤x≤+,k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
(2)因为0≤x≤,所以≤4x+≤.
此时-≤sin≤1,
所以-≤-sin≤,
即-≤f(x)≤.
所以f(x)在区间上的最大值和最小值分别为,-.
11.设函数f(x)=sin+sin2x-cos2x.
(1)求f(x)的最小正周期及其图象的对称轴方程;
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,求g(x)在区间上的值域.
解
(1)f(x)=sin2x+cos2x-cos2x
=sin2x+cos2x=sin.
所以f(x)的最小正周期为T==π.
令2x+=kπ+(k∈Z),
得对称轴方程为x=+(k∈Z),
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度,
得到函数g(x)=sin=-cos2x的图象,即g(x)=-cos2x.
当x∈时,2x∈,
可得cos2x∈,
所以-cos2x∈,
即函数g(x)在区间上的值域是.
第2讲 三角恒等变换与解三角形
(1)两角和(差)的正弦、余弦及正切是C级要求,二倍角的正弦、余弦及正切是B级要求,应用时要适当选择公式,灵活应用.试题类型可能是填空题,同时在解答题中也是必考题,经常与向量综合考查,构成中档题;
(2)正弦定理和余弦定理以及解三角形问题是B级要求,主要考查:
①边和角的计算;
②三角形形状的判断;
③面积的计算;
④有关的范围问题.由于此内容应用性较强,与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点,不可轻视.
(2016·
江苏卷)在△ABC中,AC=6,cosB=,C=.
(1)求AB的长;
(2)cos的值.
解
(1)由cosB=,得sinB==.
又∵C=,AC=6,由正弦定理,
得=,
即=⇒AB=5.
(2)由
(1)得:
sinB=,cosB=,sinC=cosC=,
则sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=,
cosA=-cos(B+C)=-(cosBcosC-sinBsinC)=-,
则cos=cosAcos+sinAsin=.
1.三角函数公式
(1)同角关系:
sin2α+cos2α=1,=tanα.
(2)诱导公式:
对于“±
α,k∈Z的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆:
奇变偶不变,符号看象限.
(3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式:
sin(α±
β)=sinαcosβ±
cosαsinβ;
cos(α±
β)=cosαcosβ∓sinαsinβ;
tan(α±
β)=.
(4)二倍角公式:
sin2α=2sinαcosα,cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.
2.正、余弦定理、三角形面积公式
(1)====2R(R为△ABC外接圆的半径).
变形:
a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;
sinA=,sinB=,sinC=;
a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC.
(2)a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC;
推论:
cosA=,cosB=,cosC=;
b2+c2-a2=2bccosA,a2+c2-b2=2accosB,a2+b2-c2=2abcosC.
(3)S△ABC=absinC=acsinB=bcsinA.
热点一 三角恒等变换及应用
【例1】
(1)(2015·
重庆卷改编)若tanα=2tan,则=________.
(2)已知α为锐角,若cos=,则cos=________.
苏北四市模拟)已知cos·
cos=-,α∈.则sin2α=________.
解析
(1)==
====3.
(2)∵α为锐角,cos=>0,
∴α+为锐角,∴sin=,
则sin=2sincos=2×
=,
又cos=sin,∴cos=.
(3)cos·
cos=cos·
sin
=sin=-,即sin=-.
∵α∈,∴2α+∈,
∴cos=-,
∴sin2α=sin
=sincos-cossin=.
答案
(1)3
(2) (3)
探究提高 1.解决三角函数的化简求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示
(1)当已知角有两个时,“所求角”一般表示为“两个已知角”的和或差的形式;
(2)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
2.求角问题要注意角的范围,要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小,避免产生增解.
【训练1】
(1)已知sin2α=,则cos2=________.
南京、盐城模拟)sin(π-α)=-且α∈,则sin=________.
(3)(2015·
江苏卷)已知tanα=-2,tan(α+β)=,则tanβ的值为________.
解析
(1)法一 cos2==(1-sin2α)=.
法二 cos=cosα-sinα.
所以cos2=(cosα-sinα)2=(1-2sinαcosα)
=(1-sin2α)=.
(2)sin(π-α)=sinα=-,又α∈,
∴cosα=-=-=-.
由cosα=2cos2-1,∈,
得cos=-=-.
所以sin=cos=-.
(3)∵tanα=-2,∴tan(α+β)===,
解得tanβ=3.
答案
(1)
(2)- (3)3
热点二 正、余弦定理的应用
[微题型1] 三角形基本量的求解
【例2-1】
(1)(2016·
全国Ⅱ卷)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若cosA=,cosC=,a=1,则b=________.
四川卷)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且+=.
①证明:
sinAsinB=sinC;
②若b2+c2-a2=bc,求tanB.
(1)解析 在△ABC中由cosA=,cosC=,
可得sinA=,sinC=,sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosA·
sinC=,由正弦定理得b==.
(2)①证明 根据正弦定理,可设===k(k>
0),则a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC.
代入+=中,有
+=,变形可得
sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B).
在△ABC中,由A+B+C=π,有sin(A+B)=sin(π-C)=sinC.所以sinAsinB=sinC.
②解 由已知,b2+c2-a2=bc,根据余弦定理,有
cosA==.
所以sinA==.
由
(1),sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB,
所以sinB=cosB+sinB.
故tanB==4.
探究提高 1.解三角形时,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;
如果式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;
以上特征都不明显时,则考虑两个定理都有可能用到.
2.关于解三角形问题,一般要用到三角形的内角和定理,正弦、余弦定理及有关三角形的性质,常见的三角恒等变换方法和原则都适用,同时要注意“三统一”,即“统一角、统一函数、统一结构”.
[微题型2] 求解三角形中的最值问题
苏、锡、常、镇调研)已知a,b,c分别为△ABC的内角A,B,C的对边,且acosC+asinC-b-c=0.
(1)求A;
(2)若a=2,求△ABC面积的最大值.
解
(1)由acosC+asinC-b-c=0及正弦定理得
sinAcosC+sinAsinC-sinB-sinC=0.
因为B=π-A-C,
所以sinAsinC-cosAsinC-sinC=0.
易知sinC≠0,所以sinA-cosA=1,
所以sin=.又0<A<π,所以A=.
(2)法一 由
(1)得B+C=⇒C=-B,由正弦定理得====,
所以b=sinB,c=sinC.
所以S△ABC=bcsinA=×
sinB×
sinC·
sin=sinB·
sinC=·
sinB·
sin=
=sin2B-cos2B+=sin+.
易知-<2B-<,
故当2B-=,即B=时,S△ABC取得最大值,最大值为+=.
法二 由
(1)知A=,又a=2,由余弦定理得22=b2+c2-2bccos,即b2+c2-bc=4⇒bc+4=b2+c2≥2bc⇒bc≤4,当且仅当b=c=2时,等号成立.
bc≤×
4=,即当b=c=2时,S△ABC取得最大值,最大值为.
探究提高 求解三角形中的最值问题常用如下方法:
(1)将要求的量转化为某一角的三角函数,借助于三角函数的值域求最值.
(2)将要求的量转化为边的形式,借助于基本不等式求最值.
[微题型3] 求解三角形中的实际问题
【例2-3】(2016·
无锡高三期末)在一个直角边长为10m的等腰直角三角形ABC的草地上,铺设一个也是等腰直角三角形PQR的花地,要求P,Q,R三点分别在△ABC的三条边上,且要使△PQR的面积最小,现有两种设计方案:
方案一:
直角顶点Q在斜边AB上,R,P分别在直角边AC,BC
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