教学设计四边形和平行四边形Word文件下载.docx
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题设变化,如图,已知,平行四边形ABCD中,AE=CF以上各结论亦然成立。
本例所给出的图形是一个基本图形,必须把握住基本图形的特点和它的变形,才能攻克一道道难题,不少难题,只要认真分析,把图形分解,便可找到基本图形,以基本图形当“向导”,便可打开思路,因而,精解习题时,必须留心基本图形,掌握它的特点,才能更好地应用图形性质解题。
【思维扩散】
扩散思维是创造思维的重要特性,训练扩散思维,使问题想的宽、想的深、想的细。
例如图在平行四边形ABCD中,E、F是对角线AC上的两个三等分点,求证四边形BFDE是平行四边形
扩散1.准确的图形是证题的“向导”,它可把图形的各种关系及特点显露出来,观察图形,可发现四边形DEBF中,DE=BF,DF=BE,这就提醒我们证明两线段的相等,通常转化证明三角形全等,根据题设条件,设法证三角形全等即可。
∵ABCD是平行四边形
∴AD=BC,AB∥BC,∠DAE=∠BCF
又E、F为AC的两个三等分点
∴AE=FC
在△AED和△CFB中
AD=BC
∠DAE=∠BCF
AE=FC
∴△AED≌△CFB
∴DE=BF
同理:
∴四边形BFDE为平行四边形.(平行四边形判定定理2)
扩散2:
揭示思路:
观察图形可直觉发现DE∥BF,BE∥DF,此时只要设法证明二直线平行即可,即证一组内错角、同位角相等,(同旁内角互补)。
证两角等,又转化为证明三角形全等,可以仿扩散1可证得:
△AED≌△CFB
∴∠AED=∠CFB
∴∠DEF=180°
-∠AED,∠BFE=180°
-∠CFB
∴∠DEF=∠BFE
∴DE∥EF
同理可证:
BE∥BF
∴四边形BFDE为平行四边形(平行四边形的定义)
扩散3:
(由题设告知ABCD为平行四边形,容易想起对角线互相平分,进而缺一条对角线,必须添设辅助线补上(连结BD)则OB=OD,只要证OE=OF,思路便畅通了。
连结BD交AC于点O
∵ABCD为平行四边形
∴OB=OD,OA=OC
∵E、F为AC的三等分点
∴AE=CF
∴OE=OA-AE,OF=OC-CF
∴OE=OF
∵OB=OD
∴四边形BFDE为平行四边形(平行四边形判定定理3)
扩散4
观察图形,直觉发现DE
BF(或BE
DF),只要证明一组条件成立,问题便可解决,证明两线段相等与平行,又转化为证明两个三角形全等,即打开思路。
仿扩散1可证得△AED≌△CFB
则DE=BF,∠AED=∠CFB
再仿扩散2可证得DE∥BF
∴DE
BF
∴四边形DEBF为平行四边形(平行四边形判定理4)
扩散5:
将原题设中的三等分AC改为四等AC,其它条件都不变,原结论成立吗?
回答是肯定的,原证法都适用吗?
完全适用,留给读者探索。
扩散6:
将原题中的三等分AC改为五等分AC,其它条件都不变,原结论成立吗?
(原结论成立),原证法适用吗?
(完全适用),读者不妨一试。
扩散7:
由扩散5和扩散6我们可发现,把ACn等分,(n≥3的整数),将其它条件不变,原结论都成立,证法也相仿,请读者探索吧!
扩散8:
将AC进行n等分(n≥3的整数),其它条件不变,如图4,继续连结成四边形,第二个四边形,第三个四边形,……,第n个四边形,它们都是什么四边形?
提出你的猜想,并进行证明可以吗?
扩散9:
原题设不变,图形不变,结论改为,求证:
S四边形DEBF=
S四边形ABCD
扩散10:
如图6,将AC五等分,其它题设不变,求证:
SDGBH=
SABCD
扩散11:
将AC进行n等分(n≥3的整数)其它条件不变,继续连结成四边形,那么第n个四边形面积是原四边形面积的几分之几?
提出你的猜想并进行证明。
扩散12:
如图5,原题设不变,在AC可在直线上截取AE=CF,求证:
四边形BEDF为平行四边形。
此时证题思路与原题相仿,仍然要转化为证明两个三角形全等,请读者完成,不再叙述。
扩散13:
如图8,原题设不变,在AC截取AE=CF=2EF,(继续截取AE=CF=3EF,4EF,……,nEF),它们结论还成立吗?
(即四边形DEBF还是平行四边形吗?
)提出你的猜想并进行证明。
【集中分析】
由上述分析可知,几何思路的寻觅,一般地说,准确画出图形(尽量把图形画的准确),因为准确图形,可发现线段之间,角之间的关系,即感性认识,再进行分析找出依据,即理性认识,产生飞跃,达到目的,如何能借助题设与“向导”准确找出思路,写出依据呢?
必须认真学好课本的基础知识,如本例,必须熟练掌握判定四边形为平行四边形的方法,即平行四边形的定义和四个判定定理。
这样才能心中有数,要证什么?
怎样才能达到证题的目的呢?
这样才能确定找什么,按照题设,结合图形,一定能找到要找到的条件,达到证题的目的。
我们归纳几何证题思路为:
要什么,找什么,缺什么,补什么,最后一定找到“它”。
本例不是在思维方法上进行扩散,而是在改变命题上进行扩散,对提高自身扩散思维能力培养大有裨益,开阔眼界,以一不变,应万变,学一例,会一类,精通一片,以少胜多,是值得倡导的一种好的学习方法。
为了把同学们培养“四有”新人,本例把问题由有限扩散到无限,由静变动,变化万千,培养同学猜想能力,归纳思维能力,这样对自身数学素养的提高将十分凑效。
只有通过这样进行扩散思维,才能更好学好课本知识,掌握学习的方法,真正变“学会”为“会学”,成为学习主人,能把自己培养成跨世纪人才。
【难题解析】
例:
如图,ABCD为平行四边形,作EF∥AB分别交AD、BC于点E、F,作GH∥BC分别交AB、EF、CD于点G、O、H,
求证:
2S△AOC=S平行四边形OEDH-S平行四边形OGBF
揭示思维一:
本例乍一看来无法入手,辅助线添设也插不进,此时必须观察图形中有多个平行四形,结合结论,进一步探索它们之间的和差关系,可发现
S△AOB=S△ABC-S△AOG-S△COF-S平行四边形OGBF,再观察结论与我们观察图形直观写出的等式比较左边少个系数2,抓住这个2的信息,必须立即把它补上,即各项乘以2,得
2S△AOB=2S△ABC-2S△AOG-2S△COF-2S平行四边形OGBF
由图形还可发现:
S平行四边形ABCD=2S△ABC
S平行四边形AGOE=2S△AOG
S平行四边形OFCH=2S△COF
S平行四边形OEDH=S平行四边形ABCD-S平行四边形AGOE-S平行四边形OFCH
啊,思路已经打通了,只要再把2S平行四边形OGBF=S平行四边形OGBF+S平行四边形OGBF进行一分为二,要证的结论就呈现在眼前,证法请读者自己写出。
揭示思路二:
观察图形(可设字母如图)可直观发现:
S△AOC=S△ABC-S△AOG-S△COF-S△OGBF
=
(m+n)(h1+h2)-
mh2-
nh1-nh2
(mh1+mh2+h1n+h2n)-
(mh1+mh2+nh1+nh2-mh2-mh1-2nh2)
(mh1-nh2)
∴S△ADC=mh1-nh2
即2S△AOC=S平行四边形OEDH-S平行四边形OGBF
由上法可知,第二种思路多么自然,一路看风,使我们品尝面积证法的甜美,借助三角形面积公式,平行四边形面积公式,计算一下便得出要证明的结果,面积公式独特的功效一定不可忽视,在遇到有关面积方面的难题,一定要想到它,它可为你助一臂之力!
以上两种证法的获取,其关键是善于观察,捕捉图形之间关系,不知不觉就找到思路,真是踏破铁鞋“无觅”处,得来全不费功夫。
为什么“无觅”,主要是基础知识不牢固,再者观察不仔细,(必须深入细致地观察,研究)造成的,吸取教训,注意培养自己敏锐观察力,洞察细微,发现蛛丝马迹,便可由此觅到思路。
三.智能显示
【心中有数】
四边形及平行四边形是本章中的重中之重,那么,学好这一单元内容尤显得重要,它决定本章内容学习好坏的关键,必须强化这一部分内容的学习。
【动脑动手】
(1)一个多边形除了一个内角外,其余内角的和是2750°
,则这个多边形的边数是
(2)一个多边形的内角和等于它的外角和的2
倍,则这个多边形的边数是
共有条对角线。
2.
(1)平行四边形ABCD的周长是28,AC、BD相交于O点,若△OAB的周长比△OBC的周长多4,则AB=,BC=
(2)在平行四边形ABCD中,AB=
AD,M为AD的中点,则∠BMC=
(3)一组对边相等,一组对角相等的四边形是平行四边形吗?
为什么?
(4)如图,在平行四边形ABCD中,EF∥BC,GH∥AB,EF、GH的交点P,在BD上那么图中有哪两个平行四边形面积相等?
3.
(1)平行四边形对边且,对角,对角线。
(2)平行四边形常用判定方法有:
①②③④
⑤。
(3)两条平行线线中,一条直线上叫做这两条平行间的距离。
(4)在平行线段相等。
4.
(1)能判定四边形ABCD是平行四边形的题设是()
(A)AB∥CD,AD=BC(B)∠A=∠B,∠C=∠D
(C)AB=CD,AD=BC(D)AB=AD,∠B=∠D
(2)在给定条件中,能画出平行四边形的是()
(A)以60cm为一条对角线,20cm、34cm为两条邻边
(B)以6cm、10cm为对角线,8cm为一边
(C)以20cm、36cm为对角线,22cm为一边
(D)以6cm为一条对角线,3cm、10cm为两条邻边
5.已知:
如图平行四边形ABCD中,AE⊥BD,
CF⊥BD,垂足为E、F,G、H分别为AD、BC的中点,求证:
EF和GH互相平分。
6.已知E、F分别为平行四边形ABCD的边AB、CD上的点,若AE=
AB,DF和FC满足DF2-2DF·
FC-3F=0,求证:
四边形BFDE为平行四边形
7.如图,在平行四边形ABCD中,AB∶BC=4∶5,若周长为35,∠B=60°
,求平行四边形ABCD的面积。
8.如图,平行四边形ABCD,DE平分∠ADC,BF平分∠ABC,求证:
四边形BFDE为平行四边形(要求用五种方法证明)
【动手动脑】答案或提示
1~4略:
5.提示:
先证△AED≌△CFB,再证:
△AEG≌△CFH
6.用DF2-2DF·
FC-3FC=0左边分解因式;
解:
(DF-3FC)(DF+FC)=0∵DF+FC≠0
∴DF=3FC
∴FC=
DC
∴BE∥DF,BE=DF可证
7.作AE⊥BC于E,连AC,AE=
∴S平行四边形=2S△ABC=
8.证法一:
可证两组对边分别平行
证法二:
可证两组对边分别相等
证法三:
先证△ABF≌△CDE结合证法二,可证两组对角分别相等
证法四:
由证法2中得到DF=BE,再由平行四边形ABCD得DF∥DE,∵DF
DE,∴BFDE为平行四边形
证法五:
先证△ABF≌△CDE,再证AECF为平行四边形,进而证EF与DB互相平分,可证。
四、步题库
一、填空题
1.一个多边形的内角和为1080°
,则它的边数是.
2.n边形的内角和是外角和的倍.
3.五边形内角和为,n边形内角和为.
4.任意多边形的外角和等于,一个多边形的每一个外角都等于45°
,则它的边数为.
5.六边形的每一内角都相等,它的每一个内角是,一个六边形有条对角线.
6.已知在ABCD中,∠A比∠B小40°
,那么∠C=.
7.已知一个平行四边形的一组对角和为214°
,那么这个平行四边形相邻的两个内角的度数分别为.
8.平行四边形相邻两个内角和等于,对角线.
9.如图2-1-15,在四边形ABCD中,∠ABC、∠BCD的外角分别是80°
,90°
,∠A比∠D大20°
,那么∠A=,∠B=,∠C=,∠D=.
图2-1-15图2-1-16
10.如图2-1-16,在ABCD中,对角线AC、BD交于点O,BC=8,AC=6,那么对角线BD长的取值范围是.
11.一个平行四边形的周长为56cm,两邻边长的比为4∶3,那么此两邻边的长为
和.
12.在ABCD中,∠A的余角和∠B的补角相等,那么∠C的度数为.
13.已知ABCD的边AB=12cm,它的长是周长的
,那么BC=,CD=.
14.一平行四边形的两邻边长分别为15cm和19cm,它们的夹角为45°
,那么,此平行四边形的面积为.
15.已知平行四边形较短的一边长为22,两条高的比是3∶2,两高之和为15,那么平行四边形的面积为.
二、选择题
1.一个多边形的内角和等于外角和的一半,那么这个多边形是().
(A)三角形(B)四边形(C)五边形(D)均错
2.如图2-1-17,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=90°
n.那么n=().
(A)2(B)3(C)4(D)5
3.如图2-1-18,已知ABCD的周长为8cm,△ABC的周长是7cm.那么AC的长是().
(A)1cm(B)2cm
(B)3cm(C)4cm
图2-1-17图2-1-18
4.平行四边形一组对角的平分线().
(A)一定互相平行(B)一定相交
(C)可能平行、也可能相交(D)平行或共线
5.已知ABCD中,∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是().
(A)1∶2∶3∶4(B)1∶2∶2∶1
(C)2∶2∶1∶1(D)2∶1∶2∶1
6.如图2-1-19,在ABCD中,EF过对角线交点O,AB=4cm,AD=3cm,OF=1.3cm,那么四边形BCEF的周长是().
(A)8.3cm(B)9.6cm(C)12.6cm(D)13.6cm
图2-1-19
7.下面性质中,平行四边形不一定具备的是().
(A)对角互补(B)邻角互补
(C)对角相等(D)内角和是360°
8.四边形的四个内角().
(A)都是锐角(B)都是直角(C)都是钝角(D)和为四个直角
9.能判定四边形是平行四边形的条件是().
(A)一组对边平行,另一组对边相等(B)一组对边平行,一组对角相等
(C)一组对边平行,一组邻有互补(D)一组对边相等,两条对角线相等
10.如图2-1-20,已知ABCD的顶点A、C和EBFD的顶点E、F在一条直线上,那么下列关系成立的是().
(A)AE>
CF(B)AE=CF
(C)AE<
CF(D)AE=EF=CF
图2-1-20
11.如图2-1-21,已知在ABCD中,E、F分别是AB、CD的中点,DE、BF分别交AC于G、H,那么().
(A)AG=DG(B)AG⊥DG(C)AG=DF(D)AG=GH
12.如图2-1-22,已知在ABCD中,AE⊥BC,AF⊥CD,∠EAF=60°
,那么有().
(A)AE=BE(B)AB=2AE(C)BE=
CD(D)AE=DC
13.如图2-1-23,平行四边形的两条对角线把它分成的全等三角形有().
(A)2对(B)4对(C)6对(D)8对
图2-1-21图2-1-22图2-1-23
14.已知四边形四边长分别是a,b,c,d,其中a,b为对边,且满足a2+b2+c2+d2=2ab+2cd那么这个四边形是().
(A)任意四边形(B)对角线相等的四边形
(C)对角线垂直的四边形(D)平行四边形
15.如果A、B、C三点不共线,则以其为顶点的平行四边形共有().
(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个
三、计算、证明题
1.如图2-1-24,已知在ABCD中,AB=6cm,BC=10cm,∠ABC的平分线BE交AD于E.
求DE的长.
2.如图2-1-25,已知在ABCD中,AC、BD相交于O,AC=28cm,AD=BD=24cm.
求△BOC的周长.
3.如图2-1-26,已知在ABCD中,BE⊥CD,BF⊥AD,垂足分别为E、F,BE=2cm,BF=3cm,
∠EBF=60°
.
求ABCD的面积.
图2-1-24图2-1-25图2-1-26
4.如图2-1-27,已知ABCD的周长为120cm,对角线AC、BD相交于O,△AOB的周
长比△BOC的周长少10cm.
求ABCD的两邻边长.
5.如图2-1-28,已知在ABCD中,DE⊥AB于E,且AE=EB,ABCD的周长为7.6cm,
△ABD的周长比ABCD的周长少2cm.
求ABCD各边的长.
6.如图2-1-29,已知在ABCD中,AE⊥BC,AF⊥CD,∠EAF=60°
,BE=2,DF=3.
求ABCD的周长.
7.如图2-1-30,已知在ABCD中,E、F分别在BA、DC的延长线上,∠1=∠2.
AE=CF.
图2-1-28图2-1-29图2-1-30
8.如图2-1-31,已知DE⊥AC,BF⊥AC,DE=BF,∠ADB=∠DBC.
四边形ABCD是平行四边形.
9.如图2-1-32,已知在△ABC中,∠1=∠2,BE∥GF,EF∥AB.
AF=BG.
10.如图2-1-33,已知在ABCD中,AE、FC分别为∠BAD、∠BCD的平分线.
AC、EF互相平分.
图2-1-31图2-1-32图2-1-33
11.如图2-1-34,已知在ABCD中,AB=2BC,E为CD的中点.
AE⊥BE.
图2-1-34图2-1-35
12.如图2-1-35,已知在ABCD中,由顶点向对角线作垂线AE、BF、CG、DH垂足分
别是E、F、G、H.
EF∥GH.
参考答案
同步题库参考答案
电脑动手
1~4略:
5.提示:
先证△AED≌△CFB,再证:
△AEG≌CFH.
6.由DF2-2DF·
FC-3FC=0,左边分解因式,
得(DF-3FC)(DF+FC)=0,∵DF+FC≠0
∴DE∥DF,BE=DF可证.
7.作AE⊥BC于E,连AC,AE=4
∴S◇=2S◇ABC=40
8.【证法一】可证两组对边分别平行.
【证法二】可证两组对边分别相等.
【证法三】先证△ABF≌△CDE结合证法二,可证两组对角分别相等.
【证法四】由证法2中得到DF=BE,再由◇ABCD得DF∥DE,∵DFDE,
∴BFDE为◇.
【证法五】先证△ABF≌△CDE,再证AECF为◇,进而证EF与DB互相平分,可证.
一、填空题
1.82.
3.540°
·
(n-2)·
180°
4.360°
85.120°
96.70°
7.
107°
和73°
8.120°
互相平分9.95°
100°
90°
75°
10.10<
BD<
2211.16cm12cm12.45°
13.24cm12cm14.
cm215.198cm2
二、选择题
1.A2.C3.C4.D5.D6.B7.A8.D9.B10.B11.D12.C13.B14.D
15.C
三、计算、证明题
1.【解】∵AE为∠ABC的平分线
∴∠ABE=∠CBE
又∵AD∥BC∴∠CBE=∠AEB
∴∠ABE=∠AEB
∴AB=AE
AE=AB=6cm,AD=BC=10cm
∴DE=AD-AE=4cm.
2.【解】∵ABCD为平行四边形
∴CO=AO=
AC=14cm
BO=DO=
BD=12cm
AD=BC=24cm
∴C△BOC=BC+C0+OB
=14+24+12
=50cm.
3.【解】∵BE⊥DC,AB∥DC
∴BE⊥AB
又∵∠EBF=60°
设AF=x,则Rt△ABF中,AB=2x
x2+32=(2x)2
∴
∴S
=
cm.
4.【解】C△AOB=AB+BO+OA
C△BOC=BC+CO+OB
又OA=OC
∴C△AOB-C△BOC=BC-AB=10cm
设AB=x则BC=x+10
2(x+x+10)=120
x=25
∴AB=25,BC=35.
5.【解】∵DE⊥AB,AE=EB
∴AD=BD
∴C
=2AD+2AB=7.6cm
C△=2AD+AB=7.6-2=5.6cm
解之得AB=2,AD=1.8
∴各边长分别为2,1.8,2,1.8.
6.【解】由已知可得∠DAF=30°
又∵∠AFD=90°
,DF=3
∴AD=6
类似可得AB=4,
∴周长为2(AD+AB)=20.
7.【证明】∵BE∥DF
∴∠1=∠ECD
又∠1=∠2∴∠ECD=∠2
∴EC∥AF
又AE∥CF
∴AFCE为平行四边形
∴AE=CF.
8.【证明】∵∠ADB=∠DBC
∴AD
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