小学数学奥数基础教程六年级目30讲全Word下载.docx
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1.比较下列各组分数的大小:
答案与提示练习1
第二讲巧求分数
我们经常会遇到一些分数的分子、分母发生变化的题目,例如分子或分母加、减某数,或分子与分母同时加、减某数,或分子、分母分别加、减不同的数,得到一个新分数,求加、减的数,或求原来的分数。
这类题目变化很多,因此解法也不尽相同。
数。
-4-分析:
若把这个分数的分子、分母调换位置,原题中的分母加、减1就变成分子加、减1,这样就可以用例1求平均数的方法求出分子、分母调换位置后的分数,再求倒数即可。
个分数。
分析与解:
因为加上和减去的数不同,所以不能用求平均数的方法求解。
,这个分数是多少?
如果把这个分数的分子与分母调换位置,问题就变为:
这个分数是多少?
于是与例3类似,可以求出
在例1~例4中,两次改变的都是分子,或都是分母,如果分子、分母同时变化,那么会怎样呢?
数a。
分子减去a,分母加上a,(约分前)分子与分母之和不变,等于29+43=72。
约分后的分子与分母之和变为3+5=8,所以分子、分母约掉
45-43=2。
求这个自然数。
同一个自然数,得到的新分数如果不约分,那么差还是45,
新分数约分后变
-5-例7一个分数的分子与分母之和是23,分母增加19后得到一个新分数,
分子与分母的和是1+5=6,是由新分数的分子、分母同时除以42÷
6=7得到
分子加10,等于分子增加了10÷
5=2(倍),为保持分数的大小不变,分母也应增加相同的倍数,所以分母应加8某2=16。
在例8中,分母应加的数是
在例9中,分子应加的数是
由此,我们得到解答例8、例9这类分数问题的公式:
分子应加(减)的数=分母所加(减)的数某原分数;
分母应加(减)的数=分子所加(减)的数÷
原分数。
这道题的分子、分母分别加、减不同的数,可以说是这类题中最难的,我们用设未知数列方程的方法解答。
(2某+2)某3=(某+5)某4,6某+6=4某+20,2某=14,某=7。
小学奥数基础教程(六年级)5,所以化成混循环小数中的不循环部分有两位。
于是我们得到结论:
一个最简分数化为小数有三种情况:
-11-
(1)如果分母只含有质因数2和5,那么这个分数一定能化成有限小数,并且小数部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数;
(2)如果分母中只含有2与5以外的质因数,那么这个分数一定能化成纯循环小数;
(3)如果分母中既含有质因数2或5,又含有2与5以外的质因数,那么这个分数一定能化成混循环小数,并且不循环部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数。
例1判断下列分数中,哪些能化成有限小数、纯循环小数、混循环小数?
能化成有限小数的,小数部分有几位?
能化成混循环小数的,不循环部分有几位?
上述分数都是最简分数,并且32=2,21=3某7,250=2某5,78=2某3某13,117=3某13,850=2某5某17,根据上面的结论,得到:
3
2
5
不循环部分有两位。
将分数化为小数是非常简单的。
反过来,将小数化为分数,同学们可能比较熟悉将有限小数化成分数的方法,而对将循环小数化成分数的方法就不一定清楚了。
我们分纯循环小数和混循环小数两种情况,讲解将循环小数化成分数的方法。
1.将纯循环小数化成分数。
将上两式相减,得将上两式相减,得
从例2、例3可以总结出将纯循环小数化成分数的方法。
纯循环小数化成分数的方法:
分数的分子是一个循环节的数字组成的数,分母的各位数都是9,9的个数与循环节的位数相同。
2.将混循环小数化成分数。
小学奥数基础教程(六年级)将上两式相减,得
-12-将上两式相减,得
从例4、例5可以总结出将混循环小数化成分数的方法。
混循环小数化成分数的方法:
分数的分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数,减去不循环数字所组成的数所得的差;
分母的头几位数字是9,末几位数字都是0,其中9的个数与循环节的位数相同,0的个数与不循环部分的位数相同。
掌握了将循环小数化成分数的方法后,就可以正确地进行循环小数的运算了。
例6计算下列各式:
练习4
1.下列各式中哪些不正确?
为什么?
2.划去小数0.27483619后面的若干位,再添上表示循环节的两个圆点,得到一个循环小数,例如0.274836。
请找出这样的小数中最大的与最小的。
3.将下列纯循环小数化成最简分数:
4.将下列混循环小数化成最简分数:
小学奥数基础教程(六年级)5.计算下列各式:
-13-答案与提示练习41.
(1)(3)(4)不正确。
第五讲工程问题
(一)
顾名思义,工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。
其实,这类题目的内容已不仅仅是工程方面的问题,也括行路、水管注水等许多内容。
在分析解答工程问题时,一般常用的数量关系式是:
工作量=工作效率某工作时间,工作时间=工作量÷
工作效率,工作效率=工作量÷
工作时间。
工作量指的是工作的多少,它可以是全部工作量,一般用数1表示,也可
工作效率指的是干工作的快慢,其意义是单位时间里所干的工作
量。
单位时间的选取,根据题目需要,可以是天,也可以是时、分、秒等。
工作效率的单位是一个复合单位,表示成“工作量/天”,或“工作量/时”等。
但在不引起误会的情况下,一般不写工作效率的单位。
例1单独干某项工程,甲队需100天完成,乙队需150天完成。
甲、乙两队合干50天后,剩下的工程乙队干还需多少天?
以全部工程量为单位1。
甲队单独干需100天,甲的工作效
例2某项工程,甲单独做需36天完成,乙单独做需45天完成。
如果开工时甲、乙两队合做,中途甲队退出转做新的工程,那么乙队又做了18天才完成任务。
问:
甲队干了多少天?
小学奥数基础教程(六年级)-14-分析:
将题目的条件倒过来想,变为“乙队先干18天,后面的工作甲、乙两队合干需多少天?
”这样一来,问题就简单多了。
答:
甲队干了12天。
例3单独完成某工程,甲队需10天,乙队需15天,丙队需20天。
开始三个队一起干,因工作需要甲队中途撤走了,结果一共用了6天完成这一工程。
甲队实际工作了几天?
乙、丙两队自始至终工作了6天,去掉乙、丙两队6天的工作量,剩下的是甲队干的,所以甲队实际工作了
例4一批零件,张师傅独做20时完成,王师傅独做30时完成。
如果两人同时做,那么完成任务时张师傅比王师傅多做60个零件。
这批零件共有多少个?
这道题可以分三步。
首先求出两人合作完成需要的时间,
例5一水池装有一个放水管和一个排水管,单开放水管5时可将空池灌满,单开排水管7时可将满池水排完。
如果一开始是空池,打开放水管1时后又打开排水管,那么再过多长时间池内将积有半池水
例6甲、乙二人同时从两地出发,相向而行。
走完全程甲需60分钟,乙需40分钟。
出发后5分钟,甲因忘带东西而返回出发点,取东西又耽误了5分钟。
甲再出发后多长时间两人相遇?
分析:
这道题看起来像行程问题,但是既没有路程又没有速度,所以不能用时间、路程、速度三者的关系来解答。
甲出发5分钟后返回,路上耽误10分钟,再加上取东西的5分钟,等于比乙晚出发15分钟。
我们将题目改述一下:
完成一件工作,甲需60分钟,乙需40分钟,乙先干15分钟后,甲、乙合干还需多少时间?
由此看出,这道题应该用工程问题的解法来解答。
甲再出发后15分钟两人相遇。
练习5
1.某工程甲单独干10天完成,乙单独干15天完成,他们合干多少天才可完成工程的一半?
2.某工程甲队单独做需48天,乙队单独做需36天。
甲队先干了6天后转交给乙队干,后来甲队重新回来与乙队一起干了10天,将工程做完。
求乙队在中间单独工作的天数。
3.一条水渠,甲、乙两队合挖需30天完工。
现在合挖12天后,剩下的乙队单独又挖了24天挖完。
这条水渠由甲队单独挖需多少天?
则完成任务时乙比甲多植50棵。
这批树共有多少棵?
小学奥数基础教程(六年级)公路长多少米?
-15-5.修一段公路,甲队独做要用40天,乙队独做要用24天。
现在两队同时从两端开工,结果在距中点750米处相遇。
这段6.蓄水池有甲、乙两个进水管,单开甲管需18时注满,单开乙管需24时注满。
如果要求12时注满水池,那么甲、乙两管至少要合开多长时间?
7.两列火车从甲、乙两地相向而行,慢车从甲地到乙地需8时,比快车从
40千米。
求甲、乙两地的距离。
答案与提示练习52.14天。
3.120天。
4.350棵。
5.6000米。
6.8时。
提示:
甲管12时都开着,乙管开
7.280千米。
第六讲工程问题
(二)
上一讲我们讲述的是已知工作效率的较简单的工程问题。
在较复杂的工程问题中,工作效率往往隐藏在题目条件里,这时,只要我们灵活运用基本的分析方法,问题也不难解决。
例1一项工程,如果甲先做5天,那么乙接着做20天可完成;
如果甲先做20天,那么乙接着做8天可完成。
如果甲、乙合做,那么多少天可以完成?
本题没有直接给出工作效率,为了求出甲、乙的工作效率,我们先画出示意图:
从上图可直观地看出:
甲15天的工作量和乙12天的工作量相等,即甲5天的工作量等于乙4天的工作量。
于是可用“乙工作4天”等量替换题中“甲工作5天”这一条件,通过此替换可知乙单独做这一工程需用20+4=24(天)
-16-甲、乙合做这一工程,需用的时间为
例2一项工程,甲、乙两队合作需6天完成,现在乙队先做7天,然后
么还要几天才能完成?
题中没有告诉甲、乙两队单独的工作效率,只知道他们合作
们把“乙先做7天,甲再做4天”的过程转化为“甲、乙合做4天,乙再单独
例3单独完成一件工作,甲按规定时间可提前2天完成,乙则要超过规定时间3天才能完成。
如果甲、乙二人合做2天后,剩下的继续由乙单独做,那么刚好在规定时间完成。
甲、乙二人合做需多少天完成?
乙单独做要超过3天,甲、乙合做2天后乙继续做,刚好按时完成,说明甲做2天等于乙做3天,即完成这件工作,乙需要的时间是甲的
,乙需要10+5=15(天)。
甲、乙合作需要
例4放满一个水池的水,若同时打开1,2,3号阀门,则20分钟可以完成;
若同时打开2,3,4号阀门,则21分钟可以完成;
若同时打开1,3,4号阀门,则28分钟可以完成;
若同时打开1,2,4号阀门,则30分钟可以完成。
如果同时打开1,2,3,4号阀门,那么多少分钟可以完成?
同时打开1,2,3号阀门1分钟,再同时打开2,3,4号阀门1分钟,再同时打开1,3,4号阀门1分钟,再同时打开1,2,4号阀门1分钟,这时,1,2,3,4号阀门各打开了3分钟,放水量等于一
小学奥数基础教程(六年级)-17-例5某工程由一、二、三小队合干,需要8天完成;
由二、三、四小队合干,需要10天完成;
由一、四小队合干,需15天完成。
如果按一、二、三、四、一、二、三、四、的顺序,每个小队干一天地轮流干,那么工程由哪个队最后完成?
与例4类似,可求出一、二、三、四小队的工作效率之和是
例6甲、乙、丙三人做一件工作,原计划按甲、乙、丙的顺序每人一天轮流去做,恰好整天做完,并且结束工作的是乙。
若按乙、丙、甲的顺序轮流
件工作,要用多少天才能完成?
把甲、乙、丙三人每人做一天称为一轮。
在一轮中,无论谁先谁后,完成的总工作量都相同。
所以三种顺序前面若干轮完成的工作量及用的天数都相同(见下图虚线左边),相差的就是最后一轮(见下图虚线右边)。
由最后一轮完成的工作量相同,得到
练习6
1.甲、乙二人同时开始加工一批零件,每人加工零件总数的一半。
甲完成
有多少个?
需的时间相等。
甲、乙单独做各需多少天?
3.加工一批零件,王师傅先做6时李师傅再做12时可完成,王师傅先做8时李师傅再做9时也可完成。
现在王师傅先做2时,剩下的两人合做,还需要多少小时?
独修各需几天?
小学奥数基础教程(六年级)中间甲管因故关闭,结果到下午2点水池被灌满。
甲管在何时被关闭?
-18-5.蓄水池有甲、乙、丙三个进水管,甲、乙、丙管单独灌满一池水依次需要10,12,15时。
上午8点三个管同时打开,6.单独完成某项工作,甲需9时,乙需12时。
如果按照甲、乙、甲、乙、的顺序轮流工作,每次1时,那么完成这项工作需要多长时间?
7.一项工程,乙单独干要17天完成。
如果第一天甲干,第二天乙干,这样交替轮流干,那么恰好用整天数完成;
如果第一天乙干,第二天甲干,这样交替轮流干,那么比上次轮流的做法多用半天完工。
甲单独干需要几天?
答案与提示练习61.360个。
2.甲18天,乙12天。
3.7.2时。
解:
由下页图知,王干2时等于李干3时,所以单独干李需12+6÷
2某3=21(时),王需21÷
3某2=14(时)。
所求为
5.上午9时。
6.10时15分。
小学奥数基础教程(六年级)-19-7.8.5天。
如果两人轮流做完的天数是偶数,那么不论甲先还是乙先,两种轮流做的方式完成的天数必定相同(见左下图)。
甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙甲
现在乙先比甲先要多用半天,所以甲先时,完成的天数一定是奇数,于是得到右上图,其中虚线左边的工作量相同,右边的工作量也相同,说明乙做1天等于甲做半天,所以乙做17天等于甲做8.5天。
第七讲巧用单位“1”
在工程问题中,我们往往设工作总量为单位“1”。
在许多分数应用题中,都会遇到单位“1”的问题,根据题目条件正确使用单位“1”,能使解答的思路更清晰,方法更简捷。
因为第一天、第二天都是与全书比较,所以应以全书的页数为单位
这本故事书共有240页。
本题条件中单位“1”的量在变化,依次是“全书的页数”、“第一天看后余下的页数”、“第二天看后余下的页数”,出现了3个不同的单位“1”。
按照常规思路,需要统一单位“1”,转化分率。
但在本题中,不统一单位“1”反而更方便。
我们先把全书看成“1”,
看成“1”,就可以求出第三天看后余下的部分占全书的
共有多少本图书?
故事书增加了,图书的总数随之增加。
题中出现两个分率,
这给计算带来很多不便,需要统一单位“1”。
统一单位“1”的一个窍门就是抓“不变量”为单位“1”。
小学奥数基础教程(六年级)本题中故事书、图书总数都发生了变化,而其它书的本数没有变,可以以
-20-
图书室原来共有图书
与例3类似,甲、乙组人数都发生了变化,不变量是甲、乙组的总人数,所以以甲、乙组的总人数为单位“1”。
例5公路上同向行驶着三辆汽车,客车在前,货车在中,小轿车在后。
在某一时刻,货车与客车、小轿车的距离相等;
走了10分钟,小轿车追上了货车;
又过了5分钟,小轿车追上了客车,再过多少分钟,货车追上客车?
根据“在某一时刻,货车与客车、小轿车的距离相等”,设这段距离为单位“1”。
由“走了10分钟,小轿车追上了货车”,可知小轿
可知小轿车(10+5)分钟比客车多行了两个这样的距离,每分钟多行这段距离的
两班各有多少人?
乙班有84-48=36(人)。
练习7
小学奥数基础教程(六年级)形如图(A)(B)(C)(D)的依次有3,10,6,6种。
-46-5.6种。
用小正方形拼成边长为4的大正方形有6种情形:
(1)1个3某3,7个1某1;
(2)1个2某2,12个1某1;
(3)2个2某2,8个1某1;
(4)3个2某2,4个1某1;
(5)4个2某2;
(6)16个1某1。
6.5种。
盖住A有下图所示的5种方法,其中左下图所示的3种都无法覆盖;
下中图中,①放好后,左下方和右上方各有2种放法,共有4种覆盖方法;
右下图只有1种覆盖方法。
7.不能。
第16讲找规律
同学们从三年级开始,就陆续接触过许多“找规律”的题目,例如发现图形、数字或数表的变化规律,发现数列的变化规律,发现周期变化规律等等。
这一讲的内容是通过发现某一问题的规律,推导出该问题的计算公式。
例1求99边形的内角和。
三角形的内角和等于180°
,可是99边形的内角和怎样求呢?
我们把问题简化一下,先求四边形、五边形、六边形的内角和,找一找其中的规律。
如上图所示,将四边形ABCD分成两个三角形,每个三角形的内角和等于180°
,所以四边形的内角和等于180°
某2=360°
;
同理,将五边形ABCDE分成三个三角形,得到五边形的内角和等于180°
某3=540°
将六边形ABCDEF分成四个三角形,得到六边形的内角和等于180°
某4=720°
。
通过上面的图形及分析可以发现,多边形被分成的三角形数,等于边数减2。
由此得到多边形的内角和公式:
n边形的内角和=180°
某(n-2)(n≥3)。
有了这个公式,再求99边形的内角和就太容易了。
99边形的内角和=180°
某(99-2)=17460°
例2四边形内有10个点,以四边形的4个顶点和这10个点为三角形的顶点,最多能剪出多少个小三角形?
小学奥数基础教程(六年级)-47-分析与解:
在10个点中任取一点A,连结A与四边形的四个顶点,构成4个三角形。
再在剩下的9个点中任取一点B。
如果B在某个三角形中,那么连结B与B所在的三角形的三个顶点,此时三角形总数增加2个(见左下图)。
如果B在某两个三角形的公共边上,那么连结B与B所在边相对的顶点,此时三角形总数也是增加2个(见右下图)。
类似地,每增加一个点增加2个三角形。
所以,共可剪出三角形4+2某9=22(个)。
如果将例2的“10个点”改为n个点,其它条件不变,那么由以上的分析可知,最多能剪出三角形4+2某(n-1)=2n+2=2某(n+1)(个)。
同学们都知道圆柱体,如果将圆柱体的底面换成三角形,那么便得到了三棱柱(左下图);
同理可以得到四棱柱(下中图),五棱柱(右下图)。
如果底面是正三角形、正四边形、正五边形那么相应的柱体就是正三棱柱、正四棱柱、正五棱柱例3n棱柱有多少条棱?
如果将不相交的两条棱称为一对,那么n棱柱共有多少对不相交的棱?
n棱柱的底面和顶面都是n边形,每个n边形有n个顶点,所以n棱柱共有2n个顶点。
观察三棱柱、四棱柱、五棱柱的图形,可以看出,每个顶点都与三条棱相连,而每条棱连接2个顶点,所以n棱柱共有棱2n某3÷
2=3n(条)。
进一步观察可以发现,n棱柱中每条棱都与4条棱相交,与其余的3n-4-1=(3n-5)条棱不相交。
共有3n条棱,所以不相交的棱有3n某(3n-5)(条),因为不相交的棱是成对出现的,各计算一遍就重复了一遍,所以不相交的棱共有3n某(3n-5)÷
2(对)。
例4用四条直线最多能将一个圆分成几块?
用100条直线呢?
4条直线时,我们可以试着画,100条直线就不可能再画了,所以必须寻找到规律。
如下图所示,一个圆是1块;
1条直线将圆分为2块,即增加了1块;
2条直线时,当2条直线不相交时,增加了1块,当2条直线相交时,增加了2块。
由此看出,要想分成的块尽量多,应当使后画的直线尽量与前面已画的直线相交。
再画第3条直线时,应当与前面2条直线都相交,这样又增加了3块(见左下图);
画第4条直线时,应当与前面3条直线都相交,这样又增加了4块(见右下图)。
所以4条直线最多将一个圆分成1+1+2+3+4=11(块)。
由上面的分析可以看出,画第n条直线时应当与前面已画的(n—1)条直线都相交,此时将增加n块。
因为一开始的圆算1块,所以n条直线最多将圆分成1+(1+2+3++n)=1+n(n+1)÷
2(块)。
当n=100时,可分成
1+100某(100+1)÷
2=5051(块)。
例5用3个三角形最多可以把平面分成几部分?
10个三角形呢?
小学奥数基础教程(六年级)分成3部分,相交时,交点越多分成的部分越多(见下图)。
-48-分析与解:
平面本身是1部分。
一个三角形将平面分成三角形内、外2部分,即增加了1部分。
两个三角形不相交时将平面
由上图看出,新增加的部分数与增加的交点数相同。
所以,再画第3个三角形时,应使每条边的交点尽量多。
对于每个三角形,因为1条直线最多与三角形的两条边相交,所以第3个三角形的每条边最多与前面2个三角形的各两条边相交,共可产生3某(2某2)=12(个)交点,即增加12部分。
因此,3个三角形最多可以把平面分成1+1+6+12=20(部分)。
由上面的分析,当画第n(n≥2)个三角形时,每条边最多与前面已画的(n—1)个三角形的各两条边相交,共可产生交点
3某[(n—l)某2]=6(n—1)(个),能新增加6(n-1)部分。
因为1个三角形时有2部分,所以n个三角形最多将平面分成的部分数是
2+6某[1+2++(n—1)]
当n=10时,可分成2+3某10某(10—1)=272(部分)。
练习16
1.求12边形的内角和。
2.五边形内有8个点。
以五边形的5个顶点和这8个点
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