高中数学 第三章 基本初等函数Ⅰ32 对数与对数函数 322 对数函数教案 新人教B版必修1文档格式.docx
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推进新课
(1)用清水漂洗衣服,若每次能洗去污垢的
,写出存留污垢x表示的漂洗次数y的关系式,请根据关系式计算若要使存留的污垢,不超过原有的
,则至少要漂洗几次?
(2)你是否能根据上面的函数关系式,给出一个一般性的概念?
(3)为什么对数函数的概念中明确规定a>0,a≠1?
(4)你能求出对数函数的定义域、值域吗?
(5)如何根据对数函数的定义判断一个函数是否是一个对数函数?
请你说出它的步骤.
活动:
先让学生仔细审题,交流讨论,然后回答,教师提示引导,及时鼓励表扬给出正确结论的学生,引导学生在不断探索中提高自己应用知识的能力,教师巡视,个别辅导,评价学生的结论.
讨论结果:
(1)若每次能洗去污垢的
,则每次剩余污垢的
,漂洗1次存留污垢x=
,漂洗2次存留污垢x=(
)2,…,漂洗y次后存留污垢x=(
)y,因此y用x表示的关系式是对上式两边取对数得y=x,当x=
时,y=3,因此至少要漂洗3次.
(2)对于式子y=x,如果用字母a替代
,这就是一般性的结论,即对数函数的定义:
根据对数式x=logay(a>0,a≠1),
对于y在正实数集内的每一个确定的值,在实数集R内都有唯一确定的x值和它对应.
根据函数的定义,这个式子确定了正实数集上的一个函数关系,其中y是自变量,x是因变量.函数x=logay(a>0,a≠1,y>0)叫做对数函数.它的定义域是正实数集,值域是实数集R.
由对数函数的定义可知,在指数函数y=ax和对数函数y=logay中,x,y两个变量之间的关系是一样的.所不同的只是在指数函数y=ax里,x当作自变量,y当作因变量,而在对数函数x=logay中,y当作自变量,x是因变量.习惯上,常用x表示自变量,y表示因变量,因此对数函数通常写成y=logax(a>0,a≠1,x>0).
(3)根据对数与指数式的关系,知y=logax可化为ay=x,由指数的概念,要使ay=x有意义,必须规定a>0,a≠1.
(4)因为y=logax可化为x=ay,不管y取什么值,由指数函数的性质ay>0,所以x∈(0,+∞),对数函数的值域为R.
(5)只有形如y=logax(a>0,a≠1,x>0)的函数才叫做对数函数,即对数符号前面的系数为1,底数是正常数,真数是x的形式,否则就不是对数函数.像y=loga(x+1),y=2logax,y=logax+1等函数,它们是由对数函数变化而得到的,都不是对数函数.
x
…
1
2
4
8
y=log2x
-2
-1
3
再用描点法画出图象如下图.
方法二:
画出函数x=log2y的图象,再变换为y=log2x的图象.
由于指数函数y=ax和对数函数x=logay所表示的x和y这两个变量间的关系是一样的,因而函数x=log2y和y=2x的图象是一样的(如下图
(1)).
用x表示自变量,把x轴、y轴的位置互换,就得到y=log2x的图象(如下图
(2)).
习惯上,x轴在水平位置,y轴在竖直位置,把上图
(2)翻转,使x轴在水平位置,得到通常的y=log2x的图象(如上图(3)).
观察对数函数y=log2x的图象,过点(1,0),即x=1时,y=0;
函数图象都在y轴右边,表示了零和负数没有对数;
当x>1时,y=log2x的图象位于x轴上方,即x>1时,y>0;
函数y=log2x在(0,+∞)上是增函数.
对数函数y=logax(a>0,a≠1),在其底数a>1及0<a<1这两种情况下的图象和性质可以总结如下表.
a>1
0<a<1
图象
性质
(1)定义域:
(0,+∞)
(2)值域:
R
(3)过点(1,0),即x=1时,y=0
(4)当x>1时,y>0;
当0<x<1时,y<0
(4)当x>1时,y<0;
当0<x<1时,y>0
(5)是(0,+∞)上的增函数
(5)是(0,+∞)上的减函数
思路1
例1求下列函数的定义域:
(1)y=logax2;
(2)y=loga(4-x).
解:
(1)要使函数有意义,必须x2>0,即x≠0,所以函数y=logax2的定义域是{x|x≠0},或记为(-∞,0)∪(0,+∞).
(2)要使函数有意义,必须4-x>0,即x<4,所以函数y=loga(4-x)的定义域是(-∞,4).
点评:
该题主要考查对数函数及其性质,根据函数的解析式,列出相应不等式或不等式组,解不等式或不等式组即可.
变式训练
求下列函数的定义域:
(1)y=log3(2x+2);
(2)y=log(x-2)(x-1).
答案:
(1)(-1,+∞);
(2)(2,3)∪(3,+∞).
例2
(1)比较log23与log23.5的大小;
(2)已知log0.7(2m)<log0.7(m-1),求m的取值范围.
(1)考察函数y=log2x,它在区间(0,+∞)上是增函数.
因为3<3.5,所以log23<log23.5;
(2)考察函数y=log0.7x,它在(0,+∞)上是减函数.
因为log0.7(2m)<log0.7(m-1),所以2m>m-1>0.
由
得m>1.
对数函数的单调性取决于对数的底数是大于1还是小于1.而已知条件并未指明时,需要对底数a进行讨论,体现了分类讨论的思想,要求学生逐步掌握.同时本题采用了多种解法,从中还体现了数形结合的思想方法,要注意体会和运用.
比较下列各组数中的两个值的大小:
(1)log25.3,log24.7;
(2)log0.27,log0.29;
(3)log3π,logπ3;
(4)loga3.1,loga5.2(a>0,a≠1).
(1)解法一:
用图形计算器或多媒体画出对数函数y=log2x的图象,如下图.
在图象上,横坐标为4.7的点在横坐标为5.3的点的下方,
所以log24.7<log25.3.
解法二:
由函数y=log2x在(0,+∞)上是单调增函数,且4.7<5.3,
(2)因为0.2<1,函数y=log0.2x是减函数,7<9,所以log0.27>log0.29.
(3)解法一:
因为函数y=log3x和函数y=logπx都是定义域上的增函数,所以logπ3<logππ=1=log33<log3π.所以logπ3<log3π.
直接利用对数的性质,logπ3<1,而log3π>1,因此logπ3<log3π.
(4)当a>1时,y=logax在(0,+∞)上是增函数,且3.1<5.2,所以loga3.1<loga5.2.
当0<a<1时,y=logax在(0,+∞)上是减函数,且3.1<5.2,所以loga3.1>loga5.2.
思路2
例1已知f(x)=1+logx3,g(x)=2logx2,试比较f(x)与g(x)的大小.
学生先思考讨论,再交流回答,教师要求学生展示自己的思维过程,教师根据实际,可以提示引导.学生回忆数的大小的比较方法,选择合适的.要比较两个代数式的大小,通常采取作差法或作商法,作差时,所得差同零比较;
作商时,应先分清代数式的正负,再将商同“1”比较大小.因为本题中的f(x)与g(x)的正负不确定,所以采取作差比较法.
f(x),g(x)的定义域都是(0,1)∪(1,+∞).
f(x)-g(x)=1+logx3-2logx2=1+logx3-logx4=logx
x.
(1)当0<x<1时,若0<
x<1,即0<x<
,此时logx
x>0,即0<x<1时,f(x)>g(x);
若
x≥1,即x≥
,这与0<x<1相矛盾.
(2)当x>1时,若
x>1,即x>
x>0,即x>
时,f(x)>g(x);
x=1,即x=
x=0,即x=
时,f(x)=g(x);
若0<
x<0,即1<x<
时,f(x)<g(x).
综上所述,当x∈(0,1)∪(
,+∞)时,f(x)>g(x);
当x=
当x∈(1,
)时,f(x)<g(x).
对数值的正负取决于对数的底数和真数的关系.而已知条件并未指明时,需要对底数和真数进行讨论,体现了分类讨论的思想,要求学生逐步掌握,注意体会和运用.
已知logm5<logn5,比较m、n的大小.
学生观察思考,交流探讨,教师提示,并评价学生的思维过程.已知对数式的大小关系,要求我们确定底数的大小关系,若变量在真数位置上,我们就可以解决这个问题了,我们设法对原式进行变换使变量在真数位置上,我们知道log5m和logm5的关系是倒数关系,有了这个关系,题中已知条件就变为
<
,由已知条件知道m、n都大于0,且都不等于1,据此确定m、n的大小关系.
因为logm5<logn5,所以
.
①当m>1,n>1时,得0<
,
所以log5n<log5m.所以m>n>1.
②当0<m<1,0<n<1时,得
<0,
所以log5n<log5m.所以0<n<m<1.
③当0<m<1,n>1时,得log5m<0,log5n>0,
所以0<m<1,n>1.所以0<m<1<n.
综上所述,m、n的大小关系为m>n>1或0<n<m<1或0<m<1<n.
例2求函数y=log2(x2-x-6)的单调区间,并证明.
学生先思考或讨论,再回答.教师根据实际,可以提示引导.求函数的单调区间一般用定义法,有时也利用复合函数的单调性.定义法求函数的单调区间,其步骤是:
①确定函数的定义域,在定义域内任取两个变量x1和x2,通常令x1<x2;
②通过作差比较f(x1)和f(x2)的大小,来确定函数的单调递增区间和单调递减区间(注意保持变量x1和x2的“任意性”);
③再归纳结论.
解法一:
由x2-x-6>0,得x<-2或x>3,不妨设x1<x2<-2,
则f(x1)-f(x2)=log2(x
-x1-6)-log2(x
-x2-6)=log2
=log2
因为x1<x2<-2,所以x1-3<x2-3<0,x1+2<x2+2<0.所以
>1.
所以log2
>0,
即f(x1)-f(x2)>0,f(x1)>f(x2).
所以函数f(x)=log2(x2-x-6)在区间(-∞,-2)上是减函数.
同理,函数f(x)=log2(x2-x-6)在区间(3,+∞)上是增函数.
令u=x2-x-6,则y=log2u.
因为y=log2u为u的增函数,所以当u为x的增函数时,y为x的增函数;
当u为x的减函数时,y为x的减函数.
由x2-x-6>0,得x<-2或x>3,借助于二次函数的图象,可知
当x∈(-∞,-2)时,u是x的减函数,
当x∈(3,+∞)时,u是x的增函数.
所以原函数的单调减区间是(-∞,-2),单调增区间是(3,+∞).
本题考查复合函数单调性的判定方法.一般地,设函数y=f(u),u=g(x)都是给定区间上的单调函数.若y=f(u),u=g(x)在给定区间上的单调性相同,则函数y=f[g(x)]是增函数;
若y=f(u),u=g(x)在给定区间上的单调性相反,则函数y=f[g(x)]是减函数.
1.函数y=
的定义域是( )
A.(3,+∞)B.[3,+∞)
C.(4,+∞)D.[4,+∞)
2.求y=log0.3(x2-2x)的单调递减区间.
3.求函数y=log2(x2-4x)的单调递增区间.
4.已知y=loga(2-ax)在[0,1]上是x的减函数,求a的取值范围.
1.D 要使函数有意义,需log2x-2≥0,log2x≥2,x≥4,因此函数的定义域是[4,+∞).
2.先求定义域:
由x2-2x>0,得x(x-2)>0,所以x<0或x>2.
因为函数y=log0.3t是减函数,故所求单调减区间即为t=x2-2x在定义域内的增区间.
又t=x2-2x的对称轴为x=1,所以所求单调递减区间为(2,+∞).
3.先求定义域:
由x2-4x>0得x(x-4)>0,所以x<0或x>4.
又函数y=log2t是增函数,故所求单调递增区间即为t=x2-4x在定义域内的单调递增区间.
因为t=x2-4x的对称轴为x=2,
所以所求单调递增区间为(4,+∞).
4.解:
因为a>0且a≠1,
(1)当a>1时,函数t=2-ax>0是减函数;
由y=loga(2-ax)在[0,1]上是x的减函数,知y=logat是增函数,所以a>1;
由x∈[0,1]时,2-ax≥2-a>0,得a<2,所以1<a<2.
(2)当0<a<1时,函数t=2-ax>0是增函数;
由y=loga(2-ax)在[0,1]上是x的减函数,知y=logat是减函数,
所以0<a<1.
由x∈[0,1]时,2-ax≥2-1>0,所以0<a<1.
综上所述,0<a<1或1<a<2.
探究y=logax的图象随a的变化而变化的情况.
用计算机先画出y=log2x,y=log3x,y=log5x,y=log
x,y=log
x的图象,如下图.
通过观察图象可总结如下规律:
当a>1时,a值越大,y=logax的图象越靠近x轴;
当0<a<1时,a值越大,y=logax的图象越远离x轴.
1.对数函数的概念.
2.对数函数的图象与性质.
课本习题3—2A 4、5.
本堂课主要是复习对数函数及其性质,是在以前基础上的提高与深化,它起着承上启下的作用,侧重于对数函数的单调性和奇偶性,同时又兼顾了高考常考的内容,对于对数函数的单调性需严格按定义来加以论证,对于对数函数的奇偶性的判定也要按定义来加以论证,这类问题不但技巧性较强,而且涉及面广,容量大,因此要集中精力,提高学生兴趣,加快速度,高质量完成教学任务.
2019-2020年高中数学第三章基本初等函数(Ⅰ)3.3幂函数教案新人教B版必修1
幂函数作为一类重要的函数模型,是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数.学生已经有了学习指数函数和对数函数的图象和性质的学习经历,幂函数概念的引入以及图象和性质的研究便水到渠成.因此,学习过程中,引入幂函数的概念之后,尝试放手让学生自己进行合作探究学习.本节通过实例,让学生认识到幂函数同样也是一种重要的函数模型,通过研究y=x,y=x2,y=x3,y=x-1,y=等函数的性质和图象,让学生认识到幂指数大于零和小于零两种情形下,幂函数的共性:
当幂指数α>0时,幂函数的图象都经过点(0,0)和(1,1),且在第一象限内函数单调递增;
当幂指数α<0时,幂函数的图象都经过点(1,1),且在第一象限内函数单调递减且以两坐标轴为渐近线.在方法上,我们应注意从特殊到一般地去进行类比研究幂函数的性质,并注意与指数函数进行对比学习.
将幂函数限定为五个具体函数,通过研究它们来了解幂函数的性质.其中,学生在初中已经学习了y=x,y=x2,y=x-1等三个简单的幂函数,对它们的图象和性质已经有了一定的感性认识.现在明确提出幂函数的概念,有助于学生形成完整的知识结构.学生已经了解了函数的基本概念、性质和图象,研究了两个特殊函数:
指数函数和对数函数,对研究函数已经有了基本思路和方法.因此,教材安排学习幂函数,除内容本身外,掌握研究函数的一般思想方法是另一目的,另外,应让学生了解利用信息技术来探索函数图象及性质是一个重要途径.
学习中学生容易将幂函数和指数函数混淆,因此在引出幂函数的概念之后,可以组织学生对两类不同函数的表达式进行辨析.
1.通过生活实例引出幂函数的概念,会画幂函数的图象.
2.通过观察图象,了解幂函数图象的变化情况和性质,加深学生对研究函数性质的基本方法和流程的经验,培养学生概括抽象和识图能力,使学生体会到生活中处处有数学,激发学生的学习兴趣.
3.了解几个常见的幂函数的性质,通过这几个幂函数的性质,总结幂函数的性质.
4.通过画图比较,使学生进一步体会数形结合的思想,利用计算机等工具,了解幂函数和指数函数的本质差别,使学生充分认识到现代技术在人们认识世界的过程中的作用,从而激发学生的学习欲望.
5.应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题,培养学生观察分析归纳能力.
6.了解类比法在研究问题中的作用,渗透辩证唯物主义观点和方法论,培养学生运用具体问题具体分析的方法去分析和解决问题的能力.
从五个具体的幂函数中认识幂函数的概念和性质.
根据幂函数的单调性比较两个同指数的指数式的大小.
思路1.
(1)如果张红购买了每千克1元的水果w千克,那么她需要付的钱数p(元)和购买的水果量w(千克)之间有何关系?
根据函数的定义可知,这里p是w的函数.
(2)如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=a2,这里S是a的函数.
(3)如果正方体的边长为a,那么正方体的体积V=a3,这里V是a的函数.
(4)如果正方形场地面积为S,那么正方形的边长a=,这里a是S的函数.
(5)如果某人ts内骑车行进了1km,那么他骑车的速度v=t-1km/s,这里v是t的函数.
以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型,你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗?
(右边指数式,且底数都是变量).
(适当引导:
从自变量所处的位置这个角度)(引入新课,书写课题:
幂函数).
思路2.我们前面学习了三类具体的初等函数:
二次函数、指数函数和对数函数,这一节课我们再学习一种新的函数——幂函数,教师板书课题:
幂函数.
问题①:
给出下列函数:
y=x,y=x
,y=x2,y=x-1,y=x3,考察这些解析式的特点,总结出来,是否为指数函数?
问题②:
根据①,如果让我们起一个名字的话,你将会给他们起个什么名字呢?
请给出一个一般性的结论.
问题③:
我们前面学习指对数函数的性质时,用了什么样的思路?
研究幂函数的性质呢?
问题④:
画出y=x,y=x
,y=x2,y=x-1,y=x3五个函数图象,完成下列表格.
问题⑤:
通过对以上五个函数图象的观察,哪个象限一定有幂函数的图象?
哪个象限一定没有幂函数的图象?
哪个象限可能有幂函数的图象,这时可以通过什么途径来判断?
问题⑥:
通过对以上五个函数图象的观察和填表,你能类比出一般的幂函数的性质吗?
考虑到学生已经学习了指数函数与对数函数,对函数的学习、研究有了一定的经验和基本方法,所以教学流程又分两条线,一条以内容为明线,另一条以研究函数的基本内容和方法为暗线,教学过程中同时展开,学生相互讨论,必要时,教师将解析式写成指数幂形式,以启发学生归纳,学生作图,教师巡视,学生小组讨论,得到结论,必要时,教师利用几何画板演示.
①通过观察发现这些函数的变量在底数位置,解析式右边都是幂,因为它们的变量都在底数位置上,不符合指数函数的定义,所以都不是指数函数.
②由于函数的指数是一个常数,底数是变量,类似于我们学过的幂的形式,因此我们称这种类型的函数为幂函数,如果我们用字母α来表示函数的指数,就能得到一般的式子,即幂函数的定义:
一般地,形如y=xα(x∈R)的函数称为幂函数,其中x是自变量,α为常数.
如y=x2,y=,y=x3等都是幂函数,幂函数与指数函数、对数函数一样,都
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