高考数学《基本不等式及其应用1》专项训练及答案解析.docx
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高考数学《基本不等式及其应用1》专项训练及答案解析
基本不等式及其应用
(1)
一、基础检测
【自主热身,归纳总结】
1、(2019年苏州学情调研)若正实数满足,则的最小值是.
【答案】、8
【解析】、因为正实数满足,
所以,当且仅当,即,又,即,等号成立,即取得最小值.
2、(2018苏锡常镇调研
(一))已知a>0,b>0,且+=,则ab的最小值是________.
【答案】2
【解析】、利用基本不等式,化和的形式为积的形式.
因为=+≥2,所以ab≥2,当且仅当==时,取等号.
3、(2017苏北四市期末).若实数x,y满足xy+3x=3,则+的最小值为________.
【答案】.8
【解析】、解法1因为实数x,y满足xy+3x=3,所以y=-3(y>3),
所以+=y+3+=y-3++6≥2+6=8,当且仅当y-3=,即y=4时取等号,此时x=,所以+的最小值为8.
解法2因为实数x,y满足xy+3x=3,所以y=-3(y>3),y-3=-6>0,
所以+=+=-6++6≥2+6=8,当且仅当-6=,即x=时取等号,此时y=4,所以+的最小值为8.
解后反思从消元的角度看,可以利用等式xy+3x=3消“实数x”或消“实数y”,无论用哪种消元方式,消元后的式子结构特征明显,利用基本不等式的条件成熟.
4、(2015苏北四市期末)已知a,b为正数,且直线ax+by-6=0与直线2x+(b-3)y+5=0互相平行,则2a+3b的最小值为________.
【答案】25
【解析】、由于直线ax+by-6=0与直线2x+(b-3)y+5=0互相平行,所以a(b-3)=2b,即+=1(a,b均为正数),所以2a+3b=(2a+3b)=13+6≥13+6×2=25(当且仅当=即a=b=5时取等号).
5、(2017南京、盐城、徐州二模)已知α,β均为锐角,且cos(α+β)=,则tanα的最大值是________.
【答案】
【解析】、注意研究目标,故先要将cos(α+β)应用两角和的余弦公式展开,然后利用同角三角函数式将tanα表示为β的函数形式,利用求函数的最值方法可得到结果.
由cos(α+β)=得cosαcosβ-sinαsinβ=,即cosαcosβ=sinα,由α,β均为锐角得cosα≠0,tanβ>0,所以tanα=====≤=,当且仅当2tanβ=,即tanβ=时,等号成立.
根据所求的目标,将所求的目标转化为相关的变量的函数,是研究最值问题的基本方法.
6、(2016宿迁一模)若a2-ab+b2=1,a,b是实数,则a+b的最大值是________.
【答案】2
【解析】、解法1因为a2-ab+b2=1,即(a+b)2-3ab=1,从而3ab=(a+b)2-1≤,即(a+b)2≤4,所以-2≤a+b≤2,所以(a+b)max=2.
解法2令u=a+b,与a2-ab+b2=1联立消去b得3a2-3au+u2-1=0,由于此方程有解,从而有Δ=9u2-12(u2-1)≥0,即u2≤4,所以-2≤u≤2,所以(a+b)max=2.
解法3由于a2-ab+b2=1与代数式a+b是对称的,根据对称极端性原理,当a=b时取得最值,此时a2=1,从而a=±1,所以(a+b)max=2a=2.
7、(2017苏北四市一模)已知a,b为正实数,且a+b=2,则+的最小值为________.
【答案】2+
【解析】、令b+1=c,通过换元,使得“别扭”变“顺眼”,本题就变得比较常规了.
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