高考数学复习指数函数和对数函数教案Word文档格式.docx
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图
像
(1)定义域:
R
(2)值域:
(0+∞)
(3)过点(0,1),即x=0时,y=1
(4)在R上是增函数
(4)在R上是减函数
8、对数函数:
函数y=logax(a>
0,a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞).
9、对数函数的图象与性质:
a>
1
性
质
(0,+∞)
(3)过点(1,0),即x=1时,y=0
(4)在(0,+∞)上是增函数
(4)在(0,+∞)上是减函数
10、指数方程与对数方程:
在指数里含有未知数的方程叫做指数方程.在对数符号后面含有未知数的方程叫做对数方程.它们都属于超越方程,一般不可用初等方法求解.
11、最简单的指数方程:
=b(a>0,a≠1,b>0),它的解是x=b
12、最简单的对数方程:
x=b(a>0,a≠1),它的解是x=
概念辨析:
1.指数函数
(1)指数函数的定义:
函数y=ax叫做指数函数,其中a是一个大于零且不等于1的常量.函数的定义域是实数集R.
在定义中,必须注意:
①指数函数的形状,例如y=-2x,都不能认为是指数函数,它们都是有关指数函数的复合函数;
②指数函数的底在应用时的范围;
③指数函数的定义域在求复合函数定义域的应用.
(2)在函数y=ax中规定底数a>
0且a≠1的理由:
如果a=0,则当x>
0时,ax恒等于0;
当x≤0时,ax无意义.
如果a<
0,比如y=(-4)x,这时对于,,等等,在实数范围内,函数值不存在.
如果a=1,y=1x=1是一个常量,对它就没有研究的必要.
为了避免上述情况,所以规定底数a>
0且a≠1.
(3)指数函数y=ax在其底数a>
1及0<
a<
1这两种情况下图象特征和性质如下:
底数
0<
图象
①定义域
(-∞,+∞)
②值域
(0,+∞).图象都位于x轴上方且以x轴为渐近线
函数值的分布情况
③当时x=0,y=1.图象都经过点(0,1).
④当x>
0时,y>
当x<
0时,0<
y<
单调性
⑤在(-∞,+∞)上是增函数
⑤在(-∞,+∞)上是减函数
注:
①注意根据图象记忆和应用性质:
②性质④可表述为:
若(a-1)x>
0,则ax>
1;
若(a-1)x<
0,则0<
ax<
1.
③性质③实际上是性质④与性质②的推论.
2.对数
(1)对数的定义:
如果a(a>
0且a≠1)的b次幂等于N,就是ab=N,那么数b就叫做以a为底N的对数,记作logaN=b,其中a叫做对数的底数,N叫做真数,logaN也叫做对数式.
(2)指数式与对数式的互化
ab=Nb=logaN(a>
0且a≠1,N>
(3)对数恒等式:
(a>
0,a≠1,N>
(4)对数的性质:
①负数和零没有对数.
②1的对数是零,即loga1=0.
③底的对数等于1,即logaa=1.
(5)对数运算法则(a>
0且a≠1,M>
①loga(MN)=logaM+logaN②
③(n∈R)④(n∈R,n≠0)
(6)对数换底公式:
推论:
(7)常用对数与自然对数.
①常用对数既是以10为底的对数,简记为lgN(N>
0).
②自然对数即是以无理数e=2.71828…为底的对数,简记为lnN(N>
(8)对可化为形如=(a>0,a≠1)的指数方程,可转化为它的同解方程f(x)=g(x)求解;
因为当且仅当幂指数相等时同底的幂相等.
而对可化为形如f(x)=g(x)(a>0,a≠1)的对数方程,在转化为方程f(x)=g(x)求解时,必须把所得的解代回原方程检验;
因为从前者变为后者时,x的取值范围可能扩大,有可能产生增根.
某些指数方程与对数方程可以分别化为关于与x的可解方程,这时可用换元法先求出与x的值,再求x的值;
特别对形如+b·
+c=0,可用换元法化为二次方程,先求出或x,再求x.但解对数方程时,始终要注意变形的同解性.
二.课堂练习:
1.设a,b,c都是正数,且3a=4b=6c,那么 [ ]
2.已知1<x<d,令a=()2,b=,c=,则[ ].
A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.c<a<b
3.已知y=loga(2-ax)在[0,1]上是x的减函数,则a的取值范围是 [ ].
A.(0,1)B.(1,2)C.(0,2)D.(2,+∞)
4定义在(-∞,+∞)上的任意函数f(x)都可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和,如果f(x)=lg(10x+1),其中x∈(-∞,+∞),那么()
Ag(x)=x,h(x)=lg(10x+10-x+2)
Bg(x)=[lg(10x+1)+x],h(x)=[lg(10x+1)-x]
Cg(x)=,h(x)=lg(10x+1)-Dg(x)=-,h(x)=lg(10x+1)+
5当a>
1时,函数y=logax和y=(1-a)x的图象只可能是()
6.若函数(a≠0)是奇函数,则满足的x的取值集合为().
(A){log32}
(B){1}
(C){2log32}
(D)
7.已知函数f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形,且x<
0时,,那么的值等于().
(A)
(B)
(C)
8.若,,,则().
(A)m<
p<
n
(B)n<
m<
p
(C)p<
(D)n<
m
9.函数y=log2x与的图象().
(A)关于直线x=1对称(B)关于直线y=x对称
(C)关于直线y=-1对称(D)关于直线y=1对称
10.函数
在区间[2,4]上的最大值是()
(A)4
(B)7
11.已知-1≤x≤2,则函数f(x)=3+2·
3x+1-9x的最大值为最小值为;
12.方程9-x-2·
31-x=27的解集为_____________________________.
13.方程logx(3x+4)=2的解集为__________________________.
14.函数的反函数是________.
15.已知函数f(x)=loga(2-ax)在[0,1]上是x的减函数,则实数a的取值范围是____________.
16.方程log2(9-2x)=3-x的解集是__________.
17.已知函数
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)判断函数f(x)的奇偶性,并说明理由;
(3)指出函数f(x)的单调区间;
(4)求函数f(x)的反函数f-1(x).
18.设,函数的定义域为,值域为[,].
(1)求证:
m>3;
(2)求a的取值范围.
19.已知函数f(x)=lg(ax-bx)(a>1>b>0).
(1)求y=f(x)的定义域;
(2)在函数y=f(x)的图象上是否存在不同的两点,使过这两点的直线平行于x轴.
20.函数f(x)=在区间[2,+∞)上总有|f(x)|>1成立,求实数a的取值范围.
21.已知函数f(x)=.
(1)若f(x)的定义域是R,求实数a的取值范围;
(2)若f(x)的值域为R,求实数a的取值范围.
22.已知函数
(1)求f(x)的定义域;
(2)指出f(x)的单调性,并证明你的结论;
(3)求满足f(x)<2的x的取值范围.
三.课后练习:
1.设5x=1.5,(0.5)y=0.75,则x,y满足 [ ].
A.x>0,y>0B.x<0,y<0C.x>0,y<0D.x<0,y>0
2.若loga2<logb2<0,则正确的大小关系是 [ ].
A.0<a<b<1B.0<b<a<1C.a>b>1D.b>a>1
3.如果0<<1,且x>y>1,则下列不等式中正确的是 [ ].
A.<B.>C.>D.>
4.函数的定义域是,那么函数的定义域是[ ]
A.B.(0,2]C.[2,+∞)D.
5.若0<a<1,则函数f(x)=loga(x+4)的图象一定不通过 [ ].
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
6.使函数y=log2(x2-2|x|)的单调递增的区间是 [ ].
A.(-∞,-2)B.(0,1)C.(0,2)D.(2,+∞)
7.已知logab=-2,那么a+b的最小值是 [ ].
A.B.C.D.
8.函数
在区间上的最小值是 [ ].
A.4B.8C.D.
9.已知奇函数f(x)满足f(x-1)=f(x+2)对任意x∈R成立,并且当时,,那么的值为[]
A.B.C.D.
10.函数f(x)=loga(a-ax)(a>0,a≠1)的定义域为_____;
值域为_____.
11.若函数的反函数为,则的解析式为
12.设,则从小到大的顺序是
13.已知0<a<1,那么x的方程=||的实根的个数是______.
14.已知函数,x∈[1,9],则的最大值是______.
15.已知函数在区间上是减函数,则实数的取值范围是______.
17.已知实数p,q满足
,试求实数的取值范围.
18.已知函数f(x)=ax在闭区间[-2,2]上的函数值总小于2,求实数a的取值范围.
19.设a∈R,试讨论关于x的方程lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的实数解的个数.
20.已知函数
(1)求f(x)的定义域;
(2)求f(x)的值域.
21.设0<a<1,x和y满足
.如果y有最大值,求这时和的值.
答案提示:
课堂练习:
1.B2.D3.B
4解析由题意g(x)+h(x)=lg(10x+1)①
又g(-x)+h(-x)=lg(10-x+1)即-g(x)+h(x)=lg(10-x+1)②
由①②得g(x)=,h(x)=lg(10x+1)-答案C
5解析当a>
1时,函数y=logax的图象只能在A和C中选,又a>
1时,y=(1-a)x为减函数答案B
6.C.由f(x)是奇函数,故f(-1)=-f
(1),即,解得.于是.,即,化简得3x=4.因此x=2log32.
7.B.f(x)为奇函数.
.
8.A.由函数在R上是增函数,可得n>
p,从而否定(B)、(D).
又函数在(0,+∞)上是减函数,可得m<
p.
9.C.在函数y=log2x图象上取一点P(1,0).
可求得P点关于直线x=1的对称点为Q1(1,0),P点关于直线y=x的对称点为Q2(0,1),
P点关于直线y=-1的对称点为Q3(1,-2),P点关于直线y=1的对称点为Q4(1,2).
经验证,其中只有Q3点在函数的图象上.
10.D11.当t=3即x=1时,f(x)取最大值12,当t=9即x=2时,f(x)取最小值-24.12.{-2}.方程可化为(3-x)2-6(3-x)-27=0.
13.{4}.解:
x2=3x+4,并注意x>
0,x≠1.
14.y=2x+1+215.(1,2)16.{0,3}.
17.
所以f(x)的定义域为{x|x<2b或x>-2b}.
(2)对f(x)定义域内任意x,有
所以f(x)为奇函数.
当a>1时在(0,+∞)上是增函数;
当0<a<1时,在(0,+∞)上是减函数.
它的单调性直观观察可得,如图2,于是有当a>1时,f(x)在(-∞,2b)上,在(-2b,+∞)上都是增函数,当0<a<1时,f(x)在(-∞,2b)上,在(-2b,+∞)上都是减函数.
18.
n>m,又由函数值域可知n>1,m>1,所以n>m>3,故m>3得证.
y=logau为减函数,所以y=f(x)在[m,n]上为减函数,从而f(x)的值域为[f(n),
ax2+(2a-1)x+3-3a=0
19.分析 此题第
(2)问是从几何角度探索函数图象的特征,但此函数图象并不会画,也不易画出,因此应转化为代数角度探索该函数相关的性质.
(0,+∞).
(2)先证f(x)在(0,+∞)上是增函数.
任取0<x1<x2,由a>1>b>0,知ax1<ax2,bx1>bx2,所以0<ax1-bx1<ax2-bx2.因此lg(ax1-bx1)<lg(ax2-bx2),即f(x1)<f(x2).所以f(x)在(0,+∞)上是增函数.
假设函数y=f(x)的图象上存在不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),使直线AB平行于x轴,则x1≠x2,y1=y2.这与f(x)在(0,+∞)上是增函数(y1=y2则x1=x2)相矛盾.故在函数f(x)的图象上不存在不同的两点,使过这两点的直线平行于x轴.
20.解 依题意f(x)=logax在[2,+∞)上总有|f(x)|>1成立|logax|>1对任意x∈[2,+∞)都成立logax>1或logax<-1对任x∈[2,+∞)总成立y=logax在[2,+∞)上的最小值大于1或y=logax在[2,+∞)的最大值小于-1.
而函数y=logax(x≥2)只有a>1有最小值loga2,只有当0<a<1时,有最大值loga2,于是有
21.
当a=0时,不等式化为2x+1>0,显然不合题意;
综上可得,当a>1时,f(x)的定义域是R.
当a=0时,函数为u=2x+1,值域为R.符合题意;
解得0<a≤1.
综上所述当0≤a≤1时,f(x)的值域为R.
课后作业:
1.A2.B3.C4.A5.A6.D7.A8.C9.A
10.a>1时(-∞,1),0<a<1时,(1,+∞);
a>1时(-∞,1),0<a<1时,(1,+∞).
11. 12. 13.2 14.13
15.-4<a≤4
20.
(1)(1,p);
(2)当p>3时,f(x)的值域为(-∞,2log2(p+1)-2];
当1<p≤3时,f(x)的值域为(-∞,1+log2(p-1))
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