数学北师大版九年级下册函数应用专题复习Word下载.docx
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解决这类问题的关键是针对背景材料,设定合适的未知数,找出相等关系,建立方程(组)、不等式、函数型模型来解决.
几何背景下的函数情境应用题:
解决这类问题的关键是在理解题意的基础上,对问题进行恰当的抽象与概括,建立恰当的几何模型,从而确定某种几何关系,利用相关几何知识来解决.几何求值问题,当未知量不能直接求出时,一般需设出未知数,继而建立方程(组),用解方程(组)的方法去求结果,这是解题中常见的具有导向作用的一种思想.
对于几何图形与函数图象结合的综合题型,解题的关键是利用几何图形的有关性质确定点的坐标,联想到点的坐标和线段长之间的转化关系,一般作垂直于坐标轴的线段,构建直角三角形,利用勾股定理、相似、三角函数等相关知识求出点的坐标,利用待定系数法求出函数解。
结合图象也可进一步解决几何图形的其他问题。
三、典例精析
题型1 一次函数与反比例函数的综合应用
典例1 (2016·
淮北三模)如图,在第一象限内,一次函数y=k1x-2的图象与反比例函数y=的图象相交于点A(4,a),与y轴、x轴分别相交于B,C两点,且BC=CA.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)根据图象,试求出在第一象限内,一次函数的值小于反比例函数值的x的取值范围;
(3)若M(m,n)(0<
m<
4)为反比例函数y=
图象上一点,过M点作MN⊥x轴交一次函数y=k1x-2的图象于N点,若以M,N,A为顶点的三角形是直角三角形,求M点的坐标.
【解析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、全等三角形的判定及性质、待定系数法求函数解析式以及垂直的性质.
(1)过点A作AE⊥x轴于点E,通过证明△ACE≌△BCO得出AE=BO,求出线段BO的长度,从而得出点A的坐标,即可求出反比例函数的解析式;
(2)由点A的坐标,结合两函数的图象即可求解;
(3)由点A的坐标利用待定系数法求出直线AB的解析式,由MN垂直x轴和直线AB的解析式即可得出点N的坐标,由△AMN为直角三角形可得出关于m的一元二次方程,解方程即可求出m值,将其代入点M的坐标即可得出结论.
【答案】
(1)过点A作AE⊥x轴于点E.
∵AE⊥x轴,BO⊥OC,∴∠AEC=∠BOC=90°
∴△ACE≌△BCO,∴AE=BO.
令一次函数y=k1x-2中x=0,则y=-2,∴BO=AE=2.
∴点A的坐标为(4,2),
(2)观察函数图象可知:
当0<
x<
4时,一次函数图象在反比例函数图象下方,
∴在第一象限内,一次函数的值小于反比例函数值的x的取值范围为0<
4.
∵点A(4,2)在一次函数y=k1x-2的图象上,
∴2=4k1-2,解得k1=1,∴一次函数的解析式为y=x-2.
∵MN⊥x轴交一次函数y=x-2的图象于N点,∴点N的坐标为(m,m-2).
∵以M,N,A为顶点的三角形是直角三角形,
∴只能是AM⊥AN,即
=-1,
∴m2-6m+8=0,解得m1=2,m2=4(舍去).∴点M的坐标为(2,4).
题型2 二次函数图象的实际应用(抛物线型)
【解析】本题考查三角函数、运用待定系数法求抛物线的解析式、解一元二次方程等知识.
(1)过点P作PH⊥OA于点H,如图,设PH=3x,运用三角函数可得OH=6x,AH=2x,根据条件OA=4可求出x,即可得到点P的坐标;
(2)若水面上升1m后到达BC位置,如图,运用待定系数法可求出抛物线的解析式,然后求出y=1时x的值,就可解决问题.
(2)若水面上升1m后到达BC位置,如图,
题型3 二次函数的实际应用
典例3 (2016·
武汉)某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售,每年产销x件.已知产销两种产品的有关信息如下表:
过点O(0,0),A(4,0)的抛物线的解析式可设为y=ax(x-4),
其中a为常数,且3≤a≤5.
(1)若产销甲、乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元,直接写出y1,y2与x的函数关系式;
(2)分别求出产销两种产品的最大年利润;
(3)为获得最大年利润,该公司应该选择产销哪种产品?
请说明理由.
【解析】本题考查实际问题中利用函数单调性求函数的最值问题.
(1)根据题意,直接写出关系式即可;
(2)在
(1)的结论上,对y1和y2进行讨论,求出两种产品的最大年利润;
(3)可在
(2)的结论上,对a进行分类讨论,得出结论.
(1)y1=(6-a)x-20(0<
x≤200),
y2=-0.05x2+10x-40(0<
x≤80).
(2)甲产品:
∵3≤a≤5,∴6-a>
0,
∴y1随x的增大而增大.
∴当x=200时,(y1)max=1180-200a(3≤a≤5).
乙产品:
x≤80),
∴当0<
x≤80时,y2随x的增大而增大.
∴当x=80时,(y2)max=440.
∴产销甲种产品的最大年利润为(1180-200a)万元,产销乙种产品的最大年利润为440万元
(3)当1180-200a>
440,即3≤a<
3.7时,此时选择甲产品;
当1180-200a=440,即a=3.7时,此时选择甲、乙产品都可以;
当1180-200a<
440,即3.7<
a≤5时,此时选择乙产品.
∴当3≤a<
3.7时,产销甲种产品年利润最大;
当a=3.7时,产销两种产品都可以;
当3.7<
a≤5时,产销乙种产品年利润最大.
题型4 二次函数背景下的简单的几何动点问题
典例4 (2016·
湖北襄阳)如图,已知点A的坐标为(-2,0),直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B和点C,连接AC,顶点为D的抛物线y=ax2+bx+c过A,B,C三点.
(1)请直接写出B,C两点的坐标,抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E,P是第一象限内抛物线上一点,过点P作x轴的垂线,交线段BC于点F,若四边形DEFP为平行四边形,求点P的坐标;
(3)设点M是线段BC上的一动点,过点M作MN∥AB,交AC于点N,点Q从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿线段BA向点A运动,运动时间为t(秒),当t(秒)为何值时,存在△QMN为等腰直角三角形。
(2)当DP∥BC时,四边形DEFP是平行四边形,设直线DP的解析式为y=mx+n,
(3)由题意可知0≤t≤6,
设直线AC的解析式为y=m1x+n1,
把A(-2,0)和C(0,3)代入y=m1x+n1,得
如图3,当∠NQM=90°
时,
过点Q作QE⊥MN于点E,过点M作MF⊥x轴于点F,则四边形EQFM是正方形.设QE=a,
题型5 一次函数、反比例函数和二次函数的综合应用
(1)求k的值。
(2)当t=1时,求AB的长,并求直线MP与
抛物线L的对称轴之间的距离;
(3)把抛物线L在直线MP左侧部分的图像记为G,
用t表示图像G最高点的坐标。
【解析】本题考查二次函数的综合问题、待定系数法、平移等知识.
(1)设点P(x,y),只要求出xy即可解决问题;
(2)先求出A,B坐标,再求出对称轴以及点M坐标即可解决问题;
(3)根据对称轴的位置即可判断,当对称轴在直线MP左侧,L的顶点就是最高点,当对称轴在MP右侧,L与MP的交点就是最高点.
【答案】
(1)设点P(x,y),则MP=y,由OA的中点为M可知OA=2x,代入OA·
MP=12,
得到2x·
y=12,即xy=6,∴k=xy=6.
(3)∵A(t,0),B(t-4,0),∴L的对称轴为x=t-2,
∴L的顶点坐标是(t-2,2)
四、针对性训练略
五、教后反思
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- 关 键 词:
- 数学 北师大 九年级 下册 函数 应用 专题 复习