全等三角形几种类型总结Word格式.docx
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全等三角形的概念与表示:
能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形.能够相互重合的顶点、边、
角分别叫作对应顶点、对应边、对应角•全等符号为“也”.
全等三角形的性质:
对应角相等,对应边相等,对应边上的中线相等,对应边上的高相等,对应角的角平分线相等,面积相等.
寻找对应边和对应角,常用到以下方法:
(1)全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边.
(2)全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角.
(3)有公共边的,公共边常是对应边.
(4)有公共角的,公共角常是对应角.
(5)有对顶角的,对顶角常是对应角.
(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角),一对最短边(或最小角)是对
应边(或对应角).
要想正确地表示两个三角形全等,找出对应的元素是关键.
全等三角形的判定方法:
(1)边角边定理(SAS):
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.
⑵角边角定理(ASA):
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.
(3)边边边定理(SSS):
三边对应相等的两个三角形全等.
(4)角角边定理(AAS):
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.
(5)斜边、直角边定理(HL):
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
全等三角形的应用:
运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题,在证明的过程
中,注意有时会添加辅助线.
判定三角形全等的基本思路:
找夹角SAS
已知两边找直角HL
找另一边SSS
边为角的对边t找任意一角tAAS
”、丄&
找这条边上的另一角tASA
已知一边一角
边就是角的一条边找这条边上的对角taas
找该角的另一边tSAS
找两角的夹边ASA找任意一边AAS
全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式:
⑴平移全等型
⑵对称全等型
⑶旋转全等型
由全等可得到的相关定理:
⑴角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
⑵到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上.
⑶等腰三角形的性质定理:
等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角).
⑷等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合.
(等角对等
⑸等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等
边)•
⑹线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.
⑺和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
与角平分线相关的问题
角平分线的两个性质:
⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等;
⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
它们具有互逆性.
角平分线是天然的、涉及对称的模型,一般情况下,有下列三种作辅助线的方式:
1•由角平分线上的一点向角的两边作垂线,
2•过角平分线上的一点作角平分线的垂线,从而形成等腰三角形,
3•OAOB,这种对称的图形应用得也较为普遍,
三角形中线的定义:
三角形顶点和对边中点的连线
三角形中线的相关定理:
直角三角形斜边的中线等于斜边的一半
等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)
三角形中位线定义:
连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
三角形中位线定理:
三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半.
中位线判定定理:
经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边.中线中位线相关问题(涉及中点的问题)
见到中线仲点),我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式),尤
其是在涉及线段的等量关系时,倍长中线的应用更是较为常见.
重点:
本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定,全等三角形的性质是以后证明三角形问题的基础,也是学好全章的关键。
同时全等三角形的判定也是本章的重点,特别是几种判定方法,尤其是当在直角三角形中时,HL的判定是整个直角三角形的重点
难点:
本节的难点是全等三角形性质和判定定理的灵活应用。
为了能熟练的应用性质定理及其推论,要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚,哪几个是条件,决定哪个结论,如何用数学符号表示,即书写格式,都要在讲练中反复强化
字例题精讲
板块一、全等三角形的认识与性质
例1】
在AB、AC上各取一点E、D,使AEAD,连接BD、CE相交于O再连结AO、BC,
若12,则图中全等三角形共有哪几对?
并简单说明理由.
巩固】如图所示,
ABAD,BC
DC,E、F在AC上,
AC与BD相交于P.图中有几对全等三
角形?
请一一找出来,并简述全等的理由.
板块二、三角形全等的判定与应用
【例2】
(2008年巴中市高中阶段教育学校招生考试)如图,ACIIDE,BCIIEF,ACDE.求证:
AFBD.
【例3】
(2008年宜宾市)已知:
如图,ADBC,ACBD,求证:
CD.
【巩固】如图,AC、BD相交于O点,且ACBD,ABCD,求证:
OAOD.
【例4】
(哈尔滨市2008年初中升学考试)已知:
如图,B、E、F、C四点在同一条直线上,ABDC,BECF,BC.求证:
OAOD.
【例5】已知,如图,ABAC,CEAB,BFAC,求证:
BFCE.
例6】E、F分别是正方形ABCD的BC、CD边上的点,且BECF.求证:
AEBF.
【巩固】E、F、G分别是正方形ABCD的BC、CD、AB边上的点,GEEF,GEEF.求证:
BGCFBC.
【例7】在凸五边形中,BE,CD,BCDE,M为CD中点•求证:
AMCD•
板块三、截长补短类
【例1】如图,点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点(点B除外),作DMN60,射线MN与/DBA外角的平分线交于点N,DM与MN有怎样的数量关系?
【巩固】如图,点M为正方形ABCD的边AB上任意一点,MNDM且与ZABC外角的平分线交于
点N,MD与MN有怎样的数量关系?
【例2】如图,AD丄AB,CB丄AB,DM=CM=a,AD=h,CB=k,ZAMD=75°
ZBMC=45
则AB的长为
()
A.a
B.k
khC.
2
D.h
【例3】已知:
如图,ABCD是正方形,ZFAD=ZFAE.求证:
BE+DF=AE.
D
F
B
E
【例4】如图所示,ABC是边长为1的正三角形,BDC是顶角为120°
的等腰三角形,以D为顶点
作一个60°
的MDN,点M、N分别在AB、AC上,求AMN的周长.
【例5】五边形ABCDE中,AB=AE,BC+DE=CD,/ABC+/AED=180°
,求证:
AD平分/CDE
板块四、与角平分线有关的全等问题
【例1】如图,已知
ABC的周长是21,OB,OC分别平分
ABC和ACB,ODBC于D,且
OD3,求ABC的面积.
C
【例2】在ABC中,D为BC边上的点,已知BADCAD,BDCD,求证:
ABAC.
【例3】已知ABC中,ABAC,BE、CD分别是ABC及ACB平分线•求证:
CDBE.
【例4】已知ABC中,A60o,BD、CE分别平分ABC和ACB,BD、CE交于点O,试判断BE、CD、BC的数量关系,并加以证明.
【例5】如图,已知E是AC上的一点,又12,34.求证:
EDEB•
【例6】
(“希望杯”竞赛试题)长方形ABCD中,AB=4,BC=7,ZBAD的角平分线交BC于点E,
EF丄ED交AB于F,贝UEF=
BAC,E、F分别在BD、AD上.DECD,EFAC.求
【例7】如图所示,已知ABC中,AD平分
证:
EF//AB
【巩固】如图,在ABC中,AD交BC于点D,点E是BC中点,EF//AD交CA的延长线于点F,
交AB于点G,若BGCF,求证:
AD为BAC的角平分线.
【巩固】在ABC中,ABAC,AD是BAC的平分线.P是AD上任意一点.求证:
ABACPBPC.
【例8】如图,在ABC中,
B2C,BAC的平分线AD交BC与D.求证:
ABBDAC.
【例9】如图所示,在ABC中,ACAB,M为BC的中点,
1
且交AD的延长线于F,求证MF—ACAB.
AD是BAC的平分线,若CF
AD
【巩固】如图所示,
AD是ABC中BAC的外角平分线,
CDAD于D,E是BC的中点,求证
DEIIAB且DE—(ABAC).
【巩固】如图所示,在ABC中,AD平分BAC,ADAB,CMAD于M,求证ABAC2AM.
【例11】在ABC中,MB、NC分别是三角形的外角
ABE、ACF的角平分线,AMBM,
ANCN垂足分别是M、N.求证:
MN//BC,MN
AB
AC
BC
【例10】如图,
于E.
ABC中,ABAC,BD、CE分别为两底角的外角平分线,求证:
ADAE.
BD于D,AECE
【巩固】
已知:
AD和BE分别是△ABC的ZCAB和ZCBA的外角平分线,
CD
AD,CE
BE,求
⑴
DE//AB;
(2)DE-ABBCCA.
【巩固】在ABC中,MB、NC分别是三角形的内角ABC、ACB的角平分线,AMBM,ANCN
垂足分别是M、N.求证:
MN//BC,MN-ABACBC
M
(北京市中考模拟题)如图,在四边形ABCD中,AC平分BAD,过C作CEAB于E,
并且AE丄(ABAD),贝UABCADC等于多少?
【例12]如图,
D180,BE平分ABC,CE平分
BCD,点E在AD上.
①探讨线段AB、CD和BC之间的等量关系.
②探讨线段BE与CE之间的位置关系.
版块一、倍长中线
【例1]已知:
ABC中,AM是中线.求证:
AM-(ABAC).2
【巩固](2002年通化市中考题)在ABC中,AB5,AC9,贝UBC边上的中线AD的长的取值范围是什么?
DAC<
DAB.
【例2]如图,ABC中,ABvAC,AD是中线.求证:
【例3】如图,已知在ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,延长BE交AC于F,
AFEF,求证:
ACBE.
【例4】已知△ABC,/B=/C,D,E分别是AB及AC延长线上的一点,且BD=CE,连接DE
交底BC于G,求证GD=GE.
【例5】已知AM为ABC的中线,AMB,AMC的平分线分别交AB于E、交AC于F.求证:
BECFEF.
A
【例6】在RtABC中,A90,点D为BC的中点,点E、F分别为AB、AC上的点,且
EDFD.以线段BE、EF、FC为边能否构成一个三角形?
若能,该三角形是锐角三角形、
直角三角形或钝角三角形?
【巩固】如图所示,在
ABC中,D是BC的中点,
99
DM垂直于DN,如果BM2CN2
22
DMDN
2122
求证AD-ABAC
4
【例7】
(2008年四川省初中数学联赛复赛•初二组)在RtABC中,F是斜边AB的中点,D、E分
别在边CA、CB上,满足DFE90•若AD3,BE4,则线段DE的长度为.
版块二、中位线的应用
【例8】AD是ABC的中线,
F是AD的中点,BF的延长线交AC于E.求证:
AE-AC•
3
【例9】如图所示,在ABC中,ABAC,延长AB到D,使BDAB,E为AB的中点,连接CE、
CD,求证CD2EC•
【巩固】已知△ABC中,AB=AC,BD为AB的延长线,且BD=AB,CE为厶ABC的AB边上的中线.求证CD=2CE
【例10】已知:
ABCD是凸四边形,且AC<
BD.
EF交BD于N,AC和BD交于G点.
【例11】在ABC中,ACB90,AC
E、F分别是AD、BC的中点,
求证:
/GMN>
/GNM.
-BC,以BC为底作等腰直角
EF交AC于M;
BCD,E是CD的中点,
AEEB且AEBE.
【例12】如图,在五边形ABCDE中,ABCAED90,BACBFEF.
EAD,F为CD的中点.求证:
【例13】
(“祖冲之杯”数学竞赛试题,中国国家集训队试题
)如图所示,P是ABC内的一点,
PACPBC,过P作PMAC于M,PLBC于L,D为AB的中点,求证DMDL.
【例14】
(全国数学联合竞赛试题)如图所示,在ABC中,D为AB的中点,分别延长CA、CB到点E、F,使DEDF•过E、F分别作直线CA、CB的垂线,相交于点P,设线段PA、PB的中点分别为M、N•求证:
(1)DEM也FDN;
(2)PAEPBF•
家庭作业
P
【习题1】如图,已知ACBD,ADAC,BCBD,求证:
ADBC•
【习题2】点M,N在等边三角形ABC的AB边上运动,BD=DC,/BDC=120°
/MDN=60求证MN=MB+NC.
【习题3】在厶ABC中,AB3AC证:
ADDE.
【习题
4】如图,
在AB
C中,AB
5】如图,
在等腰
ABC中,
AEAF.
EDB
FDC.
6】如图,
已知在
ABC中,
BAC的平分线交BC于D,过B作BEAD,E为垂足,
BDAC,BAC的平分线AD交BC与D.求证:
B2
ABAC,D是BC的中点,过A作AEDE,AFDF,且
AD是BC边上的中线,E是AD上一点,且BEAC,延长BE交AC于F,AF与EF相等吗?
为什么?
【习题7】如右下图,在ABC中,若B2C,ADBC,E为BC边的中点.求证:
AB2DE.
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