立体几何知识点与例题讲解Word文件下载.docx
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射影垂直;
(4)转化为线与形成射影的斜线垂直.
5.证明直线与平面垂直的思考途径:
(1)转化为该直线与平面内任一直线垂直;
(2)转化为该直线与平面内相
交二直线垂直;
(3)转化为该直线与平面的一条垂线平行;
(4)转化为该直线垂直于另一个平行平面;
(5)转
化为该直线与两个垂直平面的交线垂直
6•证明平面与平面的垂直的思考途径:
(1)转化为判断二面角是直二面角;
(2)转化为线面垂直.
8.异面直线所成角:
COST-|cos;
;
a,b;
1=rab」1XM__1y2乙z21
lal'
lbl冷;
+%2十环JX22+y22+Z22
(其中二(0°
:
:
v<90°
)为异面直线二b所成角,a,b分别表示异面直线a,b的方向向量)
9.直线AB与平面所成角:
1=arcsinABm(m为平面〉的法向量).
|AB||m|
10、空间四点A、BC、P共面二OP二xOAyOBzOC,且x+y+z=1
11.二面角.-的平面角
mn诂耳」
v-arccosmn或薦-arccosmn(m,n为平面〉,:
的法向量)|m||n||m||n|
12.三余弦定理:
设AC是a内的任一条直线,且BCLAC,垂足为C,又设AO与AB所成的角为y,AB与AC所
成的角为二2,AO与AC所成的角为V.则COS^-COSRCOS匕.
13.空间两点间的距离公式若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),贝U
dA,B=|
AB|=-AB,(X2-为)2®
-yj2(z2-乙)2
〈二〉解题思路:
线//线:
一•线丄面:
一•面//面
线面平行的判定
a//b,b面〉,a二:
=a//面:
-
线面平行的性质:
7/面〉,:
•面1,「--b=a//b
a丄b,a丄c,b,c二人,bc=0=a丄:
面面垂直:
a丄面:
•,a面-=-丄〉
面〉丄面:
,,-1,aaa:
-,丄1=丄:
a丄面〉,b丄面〃=ab
面〉丄a,面:
丄a=>
“:
(3)二面角:
二面角?
-1-泊勺平面角二01:
”:
80°
(定义法)
(三垂线定理法:
A€a作或证AB丄B于B,作
B0丄棱于0,连A0,贝UA0丄棱I,•••/A0B为所求。
)
三类角的求法:
1找出或作出有关的角。
2证明其符合定义,并指出所求作的角。
3计算大小(解直角三角形,或用余弦定理)
2、三类角的定义及求法
、题型与方法
求解空间距离和角的方法有两种:
一是利用传统的几何方法,二是利用空间向量。
【例题解析】
是选准恰当的点,转化为点面距离•本例解析一是根据选出的点直接作出距离;
解析二是等体积法求出点面距离
考点1异面直线所成的角
此类题目一般是按定义作出异面直线所成的角,然后通过解三角形来求角•异面直线所成的角是高考考查的
重点•例1、如图,在RtAAOB中,OAB=上,斜边AB=4.Rt△AOC可以通过RtAAOB以直线AO为轴旋转得到,
一~6
且二面角B-AO-C的直二面角.D是AB的中点.
(I)求证:
平面COD_平面AOB;
(II)求异面直线AO与CD所成角的大小.
思路启迪:
(II)的关键是通过平移把异面直线转化到一个三角形内•
解答过程:
解法1:
(I)由题意,CO_AO,BO_AO,
.■BOC是二面角B-AO-C是直二面角,
CO_B0,又TAOplBO=0,
.CO_平面AOB,
又CO二平面COD.
.平面COD_平面AOB.
(II)作DE_OB,垂足为E,连结CE(如图),则,DE//AO
.■CDE是异面直线AO与CD所成的角.
在RtACOE中,CO=B0=2,OE二1B0曰,
2
.CENCO2•OE2.
又DEJAOh.
在RgCDE中,tanCDE=些=—5二」5•
DE733
异面直线AO与CD所成角的大小为arctan』•
3
解法2:
(I)同解法1.
(II)建立空间直角坐标系O-xyz,如图,则O(0,0,0),A(0,0,2.3),C(2,0,0),D(01,3),
.OA=(0,0,2.3),CD=(2,3),
OaUcd]2,3匕、24
.异面直线AO与CD所成角的大小为arccos丄-
4
小结:
求异面直线所成的角常常先作出所成角的平面图形,作法有:
①平移法:
在异面直线中的一条直线上
选择“特殊点”,作另一条直线的平行线,如解析一,或利用中位线,如解析二;
②补形法:
把空间图形补成熟
悉的几何体,其目的在于容易发现两条异面直线间的关系,如解析三•一般来说,平移法是最常用的,应作为求
异面直线所成的角的首选方法•同时要特别注意异面直线所成的角的范围:
(a匹1
」
考点2直线和平面所成的角
此类题主要考查直线与平面所成的角的作法、证明以及计算•线面角在空间角中占有重要地位,是高考的常
考内容•
例2.四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,侧面SBC_底面ABCD.已知/ABC=45,AB=2,
面角的大小,点到平面的距离等知识,考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.
S0=1,SD*石.
连结DB,得△DAB的面积S^=-AB_ADsin135;
=2
设D到平面SAB的距离为h,由于VD$AB二Vs^bd,得
-h.S」s0_s2,解得h=2.
33
设SD与平面SAB所成角为—则sinh—「222
SD,Al11所以,直线SD与平面SBC所成的我为arcsin-^2.
11
解法二:
(I)作SO丄BC,垂足为0,连结AO,由侧面SBC丄底面ABCD,得SO丄平面ABCD.
因为SA=SB,所以AO=B0.
又/ABC=45,△AOB为等腰直角三角形,AO丄OB.
如图,以O为坐标原点,OA为x轴正向,建立直角坐标系O「xyz,
AC-2,0,0),B(0,2,0),C(0,-2,0),S(0,0,1),SA=(J2,0,—1)
连结SE,取SE中点G,连结OG,
G—,—,一
I442丿
D(.2,2.2,0),DS=(—.2,2.21)•
(n)取AB中点E,厂f血匠「
所以,直线SD与平面SAB所成的角为arcsin』.
(2)当直线和平面斜
求直线与平面所成的角时,应注意的问题是
(1)先判断直线和平面的位置关系;
交时,常用以下步骤:
①构造一一作出斜线与射影所成的角,②证明一一论证作出的角为所求的角,③计算一
—常用解三角形的方法求角,④结论一一点明直线和平面所成的角的值
考点3二面角
此类题主要是如何确定二面角的平面角,并将二面角的平面角转化为线线角放到一个合适的三角形中进行
求解.二面角是高考的热点,应重视.
例3.如图,已知直二面角:
._PQ_1,APQ,B^:
—C-\-,CA=CB,.BAP=45,直线CA和
平面〉所成的角为30.
(I)证明BC丄PQ;
—
(II)求二面角B-AC-P的大小.
命题目的:
本题主要考查直线与平面垂直、二面角等基本知识,考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力过程指引:
(I)在平面1内过点C作CO丄PQ于点0,连结0B.
因为:
•丄=PQ,所以CO丄〉,
又因为CA=CB,所以OA=0B.
/B
而.BAO=45:
,所以.ABO=45:
AOB=90:
从而BO丄PQ,又CO丄PQ,
所以PQ丄平面OBC•因为BC二平面OBC,故PQ丄BC.
(II)解法一:
由(I)知,BO丄PQ,又:
•丄1门1=PQ,
BO二用,所以BO丄'
■.
过点O作OH丄AC于点H,连结BH,由三垂线定理知,BH丄AC.
故・BHO是二面角B-AC-P的平面角.
由(I)知,CO丄〉,所以•CAO是CA和平面:
-所成的角,则•CAO=30:
不妨设AC=2,则AOf:
3,OH=AOsin30;
二
在Rt△OAB中,ABO二BAO=45,所以BO二AO=.3,
故二面角B-AC-P的大小为arctan2.
所以BO=AO
则相关各点的坐标分别是
的确定有以下三种途径:
①由二面角两个面内的两条相交直线确定棱,②由二面角两个平面内的两条平行直线
找出棱,③补形构造几何体发现棱;
解法二则是利用平面向量计算的方法,这也是解决无棱二面角的一种常用方法,即当二面角的平面角不易作出时,可由平面向量计算的方法求出二面角的大小
练习如图,已知点P在正方体ABCD—ABCD的对角线BD上,/PDA=60.
(1)求DP与CCi所成角的大小;
(2)求DP与平面AAiDiD所成角的大小.
解:
如图,以D为原点,DA为单位长建立空间直角坐标系
则DA=(1,0,0),CC=(0,0,1)•连结BD,BD.
在平面BBDD中,延长DP交BD■于H•
II
设DH=(m,m,)(m.0),由已知:
石,,:
•仙,由dalDH=DADHCOS:
DA,DH*
可得2m=2m1.解得m—,
•(I)因为coscDH,CH>
=
—0—01122
1^/2
所以£
DH,C,x45•即DP与CC'
所成的角为45•
DC=(0,0)•
可得DP与平面AADD所成的角为30.
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