运筹学基础及应用第四版胡运权主编课后练习答案.docx
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运筹学基础及应用第四版胡运权主编课后练习答案
运筹学基础及应用习题解答
习题一P46
1.1
⑻
|X2和
4,
4xi2x24
4xi6x26
1
该问题有无穷多最优解,即满足4xi6X26且0X2?
的所有x1,x2,此时目标函数值
z3。
(b)
用图解法找不到满足所有约束条件的公共范围,所以该问题无可行解。
1.2
(a)约束方程组的系数矩阵
1236300
A814020
300001
基
基解
是否基可行解
目标函数值
X1
X2
X3
X4
X5
X6
P1
P2
P3
0
16
3
7
-6
0
0
0
否
P1
P2
P4
0
10
0
7
0
0
是
10
P1
P2
P5
0
3
0
0
7
2
0
是
3
P1P2P6
721
-4000—
44
否
P1P3P4
5
00_800
2
否
P1P3P5
00-080
2
是
3
P1P3P6
1
10—003
2
否
P1P4P5
000350
是
0
P1P4P6
515
0020
44
否
最优解x0,10,0,7,0,0
(b)约束方程组的系数矩阵
1234A
2212
基
基解
是否基可行解
目标函数值
X1
X2
X3
X4
P1
P2
4
11
~2
0
0
否
P1
P3
2
5
0
11
5"
0
是
43
~5
P1
P4
1
3
0
0
11
石
否
P2
P3
0
1
2
2
0
是
5
P2
P4
0
1
2
0
2
否
P3
P4
0
0
1
1
是
5
T
最优解x2,0,11,0
55
1.3
⑻
(1)图解法
最优解即为3x14x29的解x1,色,最大值z35
5x12x2822
(2)单纯形法
首先在各约束条件上添加松弛变量,将问题转化为标准形式
maxz10x15x20x30x4
3xi4x2X39
st.
5x12x2x48
89min,-
53
则P3,P4组成一个基。
令xiX20
得基可行解x0,0,9,8,由此列出初始单纯形表
Cj
10
5
0
0
cB基b
X1
X2
X3
X4
0x39
3
4
1
0
0x48
[5]
2
0
1
CjZj
10
5
0
0
Cj
10
5
0
0
CB
基
b
X1
X2
X3
X4
21
14
3
0
X3
0
1
—
5
5
5
8
2
1
10
X1
1
0
5
5
5
12°
CjZj0102
2183
20,min,-
'1422
新的单纯形表为
Cj
10
5
0
0
cB基b
X1
X2
X3
X4
3
5
3
5x2—
0
1
—
—
2
14
14
10X11
1
2
1
0
7
7
5
25
CjZj
0
0
14
14
3
35
2
表明已找到问题最优解x11,x2-,x30,x40。
最大值z
5x2x315
st.6x12x2x424
捲X2X55
则F3,F4,F5组成一个基。
令XiX20
Cj
2
1
0
0
0
Cb
基
b
X1
X2
X3
X4
X5
0
X3
15
0
5
1
0
0
0
X4
24
⑹
2
0
1
0
0
X5
5
1
1
0
0
1
cj
Zj
2
1
0
0
0
得基可行解x0,0,15,24,5,由此列出初始单纯形表
min
245
Cj
2
1
0
0
0
CB
基
b
X1
X2
X3
X4
X5
X3
0
5
1
0
0
0
15
1
1
0
1
0
2
X4
4
3
6
2
1
0
X5
1
0
3
0
6
1
1
1
Cj
Zj
0
0
0
3
3
12。
20,
1533
min,24,-
522
Cj
2
1
0
0
0
Cb
基
b
X1
X2
X3
X4
X5
15
5
15
0
0
1
0
X3
2
4
2
新的单纯形表为
7
1
1
2
X4
1
0
0
—
2
4
2
3
1
3
0
X5
一
0
1
0
一
—
2
4
2
1
1
5
Zj
0
0
0
4
2
1,
2
0,表明已找到问题最优解X11,X2
X3
15
2
X40,X5
最大
17
2
1.6
在约束条件中添加松弛变量或剩余变量,
且令x2
x2x2x20,x2
X3
X3,Z'Z
该问题转化为
丄4X1X2X22X3X58
St.'"'
3x1x2x23x36
ini
X1,X2,X2,X3,X4,X50
其约束系数矩阵为
2
3
34
10
A4
1
12
01
3
1
13
00
在A中人为地添加两列单位向量P7,Ps
2
3
341
0
00
4
1
120
1
10
3
1
130
0
01
令
maxz'
1
3x1x2
11
X2
1
2x30x40x5Mx6Mx7
得初始单纯形表
Cj
3
1
1
2
0
0
M
M
Cb基b
X1
X2
n
X2
X3
X4
X5
X6
X7
0X412
2
3
3
4
1
0
0
0
Mx68
4
1
1
-2
0
-1
1
0
Mx76
3
1
1
-3
0
0
0
1
CjZj37M1125M0M00
(b)在约束条件中添加松弛变量或剩余变量,且令X3X3x;X30,x;0z'z
该问题转化为
maxz'3x15x2x3x30x40x5
其约束系数矩阵为
1
1
0
1
2
1
A2
1
3
3
0
1
1
1
5
5
0
0
在A中人为地添加两列单位向量P7,P8
1
2
1
1
1
0
1
0
2
1
3
3
0
1
0
0
1
1
5
5
0
0
0
1
令max
z'
3x1
5x2
1
X3
II
x30x40x5Mx6Mx7
得初始单纯形表
5
3
-5
1
-1
0
0
-M
M
Cb
基b
X1
X2
X3
X3
X4
X5
X6
X7
M
X6
6
1
2
1
-1
-1
01
0
0
X5
16
2
1
3
-3
01
0
0
M
X7
10
1
1
5
-5
00
0
1
Cj
Zj
3
2M5
3M
1+6M
-1-6M
-M0
0
0
1.7
⑻解1:
大M法
在上述线性规划问题中分别减去剩余变量x4,x6,x8,再加上人工变量x5,x7,x9,得
maxz2x1x22x30x4Mx50x6Mx70x8Mx9
s,t.
2%
X3x6
X7
2x2
X3X8
X9
Xi,X2,X3,X4,X5,X6,X7,X8,X90
其中M是一个任意大的正数。
据此可列出单纯形表
Cj
2
1
2
0
M
0
M
0
M
Cb基b
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X8
X9
i
Mx56
1
1
1
1
1
0
0
0
0
6
Mx72
2
0
1
0
0
1
1
0
0
Mx90
0
[2]
1
0
0
0
0
1
1
0
CjZj
2M
3M
12M
M
0
M
0
M
0
Mx56
1
0
3/2
1
1
0
0
1/2
1/2
4
Mx72
2
0
[1]
0
0
1
1
0
0
2
1x20
0
1
1/2
0
0
0
0
1/2
1/2
5M3
M1
13M
CjZj
2M
0
M
0
M
0
22
22
22
Mx53
[4]
0
0
1
1
3/2
3/2
1/2
1/2
3/4
2X32
2
0
1
0
0
1
1
0
0
1x21
1
1
0
0
0
1/2
1/2
1/2
1/2
3M3
5M
3M1
13M
cjzj
4M5
0
0
M
0
2
2
2
2
2x13/4
1
0
0
1/4
1/4
3/8
3/8
1/8
1/8
2x37/2
0
0
1
1/2
1/2
1/4
1/4
1/4
1/4
1x27/4
0
1
0
1/4
1/4
1/8
1/8
3/8
3/8
CjZj
0
0
0
5/4
M-
3/8
3M」」
9M
4
8
8
8
由单纯形表计算结果可以看出,40且ai40(i1,2,3),所以该线性规划问题有无界解
解2:
两阶段法。
现在上述线性规划问题的约束条件中分别减去剩余变量x4,x6,x8,再加上人工变量
X5,X7,X9,得第一阶段的数学模型
据此可列出单纯形表
Cj
0
0
0
0
1
0
1
0
1
Cb基b
洛
X2
X3
x4
X5
X6
X7
X8
X9
i
1X56
1
1
1
1
1
0
0
0
0
6
1X72
2
0
1
0
0
1
1
0
0
1X90
0
[2]
1
0
0
0
0
1
1
0
CjZj
1
3
1
1
0
1
0
1
0
1X56
1
0
3/2
1
1
0
0
1/2
1/2
4
1x72
2
0
[1]
0
0
1
1
0
0
2
0x20
0
1
1/2
0
0
0
0
1/2
1/2
CjZj
1
0
5/2
1
0
1
0
1
3
2
2
1x53
[4]
0
0
1
1
3/2
3/2
1/2
1/2
3/4
0X32
2
0
1
0
0
1
1
0
0
0x21
1
1
0
0
0
1/2
1/2
1/2
1/2
CjZj
0
0
0
0
1
0
1
0
1
2x13/4
1
0
0
1/4
1/4
3/8
3/8
1/8
1/8
2x37/2
0
0
1
1/2
1/2
1/4
1/4
1/4
1/4
1x27/4
0
1
0
1/4
1/4
1/8
1/8
3/8
3/8
CjZj
0
0
0
0
1
0
1
0
1
377
第一阶段求得的最优解X(,一,一,0,0,0,0,0,0)T,目标函数的最优值0。
442
*377t
因人工变量x5x7x90,所以X(,—,—,0,0,0,0,0,0)是原线性规划问题的基可
442
行解。
于是可以进行第二阶段运算。
将第一阶段的最终表中的人工变量取消,并填入原问题
的目标函数的系数,进行第二阶段的运算,见下表。
Cj
Zj
2
1
2
0
0
00
i
Cb基
b
X1
X2
X3
X4
X6
X8
2X!
3/4
1
0
0
1/4
3/8
1/8
2X3
7/2
0
0
1
1/2
1/4
1/4
1x2
7/4
0
1
0
1/4
1/8
3/8
CjZj
0005/43/89/8
由表中计算结果可以看出,40且ai40(i1,2,3),所以原线性规划问题有无界解。
(b)解1:
大M法
在上述线性规划问题中分别减去剩余变量x4,x6,x8,再加上人工变量x5,x7,x9,得
min
s,t,
z2x13x2x30x40x5Mx6Mx7
x14x22x3x4x68
3%2x2x5x76
Xi,X2,X3,X4,X5,X6,X7,X8,X0
其中M是一个任意大的正数。
据此可列出单纯形表
Cj
2
1
2
0M
0
M
0M
cb基b
X1
X2
X3
X4X5
X6
X7
i
Mx68
1
[4]
2
1
0
1
0
2
Mx76
3
2
0
0
1
0
1
3
CjZj
24M
36M
12M
M
M
0
0
3x22
1/4
1
1/2
1/4
0
1/4
0
8
MX72
[5/2]
0
1
1/2
1
1/2
1
4/5
55n”
1
31M
3M3
CjZj
-M
0
M
M
0
42
2
42
24
3x29/5
0
1
3/5
3/10
1/10
3/10
1/10
2x4/5
1
0
2/5
1/5
2/5
1/5
2/5
CjZj
0
0
0
1/2
1/2
M1/2
M1/2
*49t
由单纯形表计算结果可以看出,最优解X(4,-,0,0,0,0,0)T,目标函数的最优解值
55
*49
z2-3—7oX存在非基变量检验数30,故该线性规划问题有无穷多最优解。
55
解2:
两阶段法。
一阶段的数学模型minx6x7
Xi4x22x3X4X68
3x-i2x2x5x76
s,t,
Xi,X2,X3,X4,X5,X6,X7,X8,X9
据此可列出单纯形表
Cj
0
0
0
0
0
1
1
cb基b
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
i
1X8
1
[4]
2
1
0
1
0
2
1x76
3
2
0
0
1
0
1
3
CjZj
4
6
2
1
1
0
0
0x22
1/4
1
1/2
1/4
0
1/4
0
8
1x72
[5/2]
0
1
1/2
1
1/2
1
4/5
CjZj
5/2
0
1
1/2
1
3/2
0
0x29/5
0
1
3/5
3/10
1/10
3/10
1/10
0x14/5
1
0
2/5
1/5
2/5
1/5
2/5
CjZj
0
0
0
0
0
1
1
*49t*
第一阶段求得的最优解X(,,0,0,0,0,0),目标函数的最优值0。
55
49T
因人工变量x6x70,所以(一,三,0,0,0,0,0)T是原线性规划问题的基可行解。
于是可
55
以进行第二阶段运算。
将第一阶段的最终表中的人工变量取消,并填入原问题的目标函数的
系数,进行第二阶段的运算,见下表。
CjZj
23100
i
cb基b
X1X2X3X4X5
3x2
9/5
0
1
3/5
3/10
1/10
2x1
4/5
1
0
2/5
1/5
2/5
Cj
Zj
0
0
0
1/2
1/2
*49t
由单纯形表计算结果可以看出,最优解X(4,-,0,0,0,0,0)T,目标函数的最优解值
55
*49
z2-3—7。
由于存在非基变量检验数30,故该线性规划问题有无穷多最优
55
解。
1.8
表1-23
X1
X2
X3
X4
X5
X4
6
2
4
-2
1
0
X5
1
1
3
2
0
1
Cj
Zj
3
1
2
0
0
表1-24
X1
X2
X3
X4
X5
X1
3
1
2
1
1/2
0
X5
1
0
5
1
1/2
1
Cj
Zj
0
7
5
32
0
1.10
3
5
4
0
0
0
X1
X2
X3
X4
X5
X6
5
X2
8/3
2/3
1
0
T'3
0
0
0
X5
143
4/3
0
5
23
1
0
0
X6
293
53
0
4
23
0
1
CjZj13045300
X1
X2
X3
X4
X5
X6
5x28/3
2/3
1
0
13
0
0
4X31415
415
0
1
2/15
15
0
0
X6
89/15
4115
0
0
2/15
45
1
Cj
Zj
11/15
0
0
17/15
45
0
X1
X2
X3
X4
X5
X6
5
X2
5041
0
1
0
1541
841
1041
4
X3
62F41
0
0
1
641
541
441
3
X1
89/41
1
0
0
2/41
1241
1541
Cj
Zj
0
0
0
4541
2441
1141
最后一个表为所求。
习题二P76
2.1写出对偶问题
⑻
min
z2x1
2x24x3
max'
w2y1
3y2
5y3
X1
3X24X32
y1
2y2
y32
st.
2x1X23x3y43
对偶问题为:
st.
3y1
y24y32
X1
4x23x35
4y1
3y2
3y34
X1,X2
0,X3无约束
y10,y20,y3无约束
(b)
max
z5x1
6x23x3
min
w5y1
3y2
8y3
X1
2x22x35
y1
y2
4y35
st.
X1
5x2x33
对偶问题为:
s.t.
2y1
5y2
7y36
4x1
7x23x38
2y1
y2
3y33
x1无约束,x20,x30
y1无约束,y2
:
0,y30
22
(a)错误。
原问题存在可行解,对偶问题可能存在可行解,也可能无可行解。
(b)错误。
线性规划的对偶问题无可行解,则原问题可能无可行解,也可能为无界解。
(c)错误。
(d)正确。
2.6对偶单纯形法
minz4x112x218x3
X1
3X3
3
st.2X2
2X3
5
X1,X2,X3
0
解:
先将问题改写为求目标函数极大化,并化为标准形式
max
z'4X1
12X2
18X3
0X4
0X5
X1
3X3
X4
3
st.
2X2
2X3
X5
5
xi0i
1,,5
Cj
4
12
18
0
0
Cb
基
b
X1
X2
X3
X4
X5
0
X4
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