高考数学大二轮总复习与增分策略 第四篇 回归教材 纠错分析4 数列不等式练习 理.docx
- 文档编号:1742133
- 上传时间:2022-10-23
- 格式:DOCX
- 页数:14
- 大小:150.82KB
高考数学大二轮总复习与增分策略 第四篇 回归教材 纠错分析4 数列不等式练习 理.docx
《高考数学大二轮总复习与增分策略 第四篇 回归教材 纠错分析4 数列不等式练习 理.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高考数学大二轮总复习与增分策略 第四篇 回归教材 纠错分析4 数列不等式练习 理.docx(14页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
高考数学大二轮总复习与增分策略第四篇回归教材纠错分析4数列不等式练习理
4.数列、不等式
1.等差数列及其性质
(1)等差数列的判定:
an+1-an=d(d为常数)或an+1-an=an-an-1(n≥2).
(2)等差数列的性质
①当公差d≠0时,等差数列的通项公式an=a1+(n-1)·d=dn+a1-d是关于n的一次函数,且斜率为公差d;前n项和Sn=na1+d=n2+(a1-)n是关于n的二次函数且常数项为0.
②若公差d>0,则为递增等差数列;若公差d<0,则为递减等差数列;若公差d=0,则为常数列.
③当m+n=p+q时,则有am+an=ap+aq,特别地,当m+n=2p时,则有am+an=2ap.
④Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差数列.
[问题1] 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S10=12,S20=17,则S30为( )
A.15B.20C.25D.30
答案 A
2.等比数列及其性质
(1)等比数列的判定:
=q(q为常数,q≠0)或=(n≥2).
(2)等比数列的性质
当m+n=p+q时,则有am·an=ap·aq,特别地,当m+n=2p时,则有am·an=a.
[问题2]
(1)在等比数列{an}中,a3+a8=124,a4a7=-512,公比q是整数,则a10=________.
(2)各项均为正数的等比数列{an}中,若a5·a6=9,则log3a1+log3a2+…+log3a10=________.
答案
(1)512
(2)10
3.求数列通项的常见类型及方法
(1)已知数列的前几项,求数列的通项公式,可采用归纳、猜想法.
(2)如果给出的递推关系式符合等差或等比数列的定义,可直接利用等差或等比数列的公式写出通项公式.
(3)若已知数列的递推公式为an+1=an+f(n),可采用累加法.
(4)数列的递推公式为an+1=an·f(n),则采用累乘法.
(5)已知Sn与an的关系,利用关系式an=求an.
(6)构造转化法:
转化为等差或等比数列求通项公式.
[问题3] 已知f(x)是定义在R上不恒为零的函数,对于任意的x,y∈R,都有f(xy)=xf(y)+yf(x)成立.数列{an}满足an=f(2n)(n∈N*),且a1=2,则数列{an}的通项公式为an=________.
答案 n·2n
解析 令x=2,y=2n-1,则f(xy)=f(2n)=2f(2n-1)+2n-1f
(2),即an=2an-1+2n,=+1,所以数列{}是首项为1,公差为1的等差数列,由此可得=1+(n-1)×1=n,即an=n·2n.
4.数列求和的方法
(1)公式法:
等差数列、等比数列求和公式;
(2)分组求和法;
(3)倒序相加法;
(4)错位相减法;
(5)裂项法
如:
=-;=.
(6)并项法
数列求和时要明确:
项数、通项,并注意根据通项的特点选取合适的方法.
[问题4] 数列{an}满足an+an+1=(n∈N,n≥1),若a2=1,Sn是{an}的前n项和,则S21的值为________.
答案
5.如何解含参数的一元二次不等式
解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论,往往从以下几个方面来考虑:
①二次项系数,它决定二次函数的开口方向;②判别式Δ,它决定根的情形,一般分Δ>0、Δ=0、Δ<0三种情况;③在有根的条件下,要比较两根的大小,也是分大于、等于、小于三种情况.在解一元二次不等式时,一定要画出二次函数的图象,注意数形结合.
[问题5] 解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0(a>0).
解 原不等式化为(x-)(x-1)<0.
∴当0 当a>1时,不等式的解集为{x| 当a=1时,不等式的解集为∅. 6.处理二次不等式恒成立的常用方法 (1)结合二次函数的图象和性质用判别式法,当x的取值为全体实数时,一般应用此法. (2)从函数的最值入手考虑,如大于零恒成立可转化最小值大于零. (3)能分离变量的,尽量把参变量和变量分离出来. (4)数形结合,结合图形进行分析,从整体上把握图形. [问题6] 如果kx2+2kx-(k+2)<0恒成立,则实数k的取值范围是( ) A.-1≤k≤0B.-1≤k<0 C.-1 答案 C 解析 当k=0时,原不等式等价于-2<0,显然恒成立,所以k=0符合题意. 当k≠0时,由题意得, 解得-1 7.利用基本不等式求最值必须满足三个条件才可以进行,即“一正,二定,三相等”. 常用技巧: (1)对不能出现定值的式子进行适当配凑. (2)对已知条件的最值可代入(常数代换法)或消元. (3)当题中等号条件不成立,可考虑从函数的单调性入手求最值. [问题7] 若log4(3a+4b)=log2,则a+b的最小值是( ) A.6+2B.7+2 C.6+4D.7+4 答案 D 解析 由题意得所以 又log4(3a+4b)=log2, 所以log4(3a+4b)=log4(ab), 所以3a+4b=ab,故+=1. 所以a+b=(a+b)(+)=7++ ≥7+2=7+4, 当且仅当=时取等号. 8.解绝对值不等式的常用方法 (1)基本公式法: a>0时,有|x|a⇔x2>a2⇔x>a或x<-a. (2)零点分段法: 含有多个绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法来解. (3)平方法: 通过两边平方去绝对值符号.需要注意的是不等号两边为非负值. (4)绝对值的几何意义. [问题8] 不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是( ) A.(-∞,4)B.(-∞,1) C.(1,4)D.(1,5) 答案 A 解析 ①当x≤1,原不等式可化为1-x-(5-x)<2, ∴-4<2,不等式恒成立,∴x≤1. ②当1 ∴x<4,∴1 ③当x≥5时,原不等式可化为x-1-(x-5)<2,该不等式不成立. 综上,原不等式的解集为(-∞,4). 9.解决线性规划问题有三步 (1)画: 画出可行域(有图象). (2)变: 将目标函数变形,从中抽象出截距或斜率或距离. (3)代: 将合适的点代到原来目标函数中求最值. 利用线性规划思想能解决的几类值域(最值)问题: (1)截距型: 如求z=y-x的取值范围. (2)条件含参数型: ①已知x,y满足约束条件且z=y-x的最小值是-4,则实数k=-2, ②已知x,y满足约束条件且存在无数组(x,y)使得z=y+ax取得最小值,则实数a=. (3)斜率型: 如求的取值范围. (4)距离型(圆半径平方型R2): 如求(x-a)2+(x-b)2的取值范围. [问题9] 已知x,y满足约束条件若z=ax+y的最大值为4,则a等于( ) A.3B.2 C.-2D.-3 答案 B 解析 画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示,若z=ax+y的最大值为4,则最优解为x=1,y=1或x=2,y=0,经检验知x=2,y=0符合题意,所以2a+0=4,此时a=2. 易错点1 忽视等比数列中q的范围 例1 设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3+S6=S9,则数列{an}的公比q=________. 易错分析 没有考虑等比数列求和公式Sn=中q≠1的条件,本题中q=1恰好符合题目条件. 解析 ①当q=1时,S3+S6=9a1,S9=9a1, ∴S3+S6=S9成立. ②当q≠1时,由S3+S6=S9, 得+=. ∴q9-q6-q3+1=0,即(q3-1)(q6-1)=0. ∵q≠1,∴q3-1≠0,∴q6=1,∴q=-1. 答案 1或-1 易错点2 忽视分类讨论 例2 若等差数列{an}的首项a1=21,公差d=-4,求: Sn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|. 易错分析 要去掉|an|的绝对值符号,要考虑an的符号,对n不讨论或讨论不当容易导致错误. 解 an=21-4(n-1)=25-4n. 当n≤6时,Sk=|a1|+|a2|+…+|an| =a1+a2+…+an=-2n2+23n; 当n≥7时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an| =(a1+a2+a3+…+a6)-(a7+a8+…+an) =2(a1+a2+…+a6)-(a1+a2+…+a6+a7+a8+…+an)=2n2-23n+132. 所以Sn= 易错点3 已知Sn求an时忽略n=1 例3 数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=2Sn(n∈N*),求数列{an}的通项an. 易错分析 an=Sn-Sn-1成立的条件是n≥2,若忽略对n=1时的验证则出错. 解 因为an+1=2Sn,所以Sn+1=3Sn,所以=3. 因为S1=a1=1, 所以数列{Sn}是首项为1、公比为3的等比数列,Sn=3n-1(n∈N*). 所以当n≥2时,an=2Sn-1=2×3n-2(n≥2), 所以an= 易错点4 数列最值问题忽略n的限制 例4 已知数列{an}的通项公式为an=(n+2)()n(n∈N*),则数列{an}的最大项是( ) A.第6项或第7项B.第7项或第8项 C.第8项或第9项D.第7项 易错分析 求解数列{an}的前n项和Sn的最值,无论是利用Sn还是利用an来求,都要注意n的取值的限制,因为数列中可能出现零项,所以在利用不等式(组)求解时,不能漏掉不等式(组)中的等号,避免造成无解或漏解的失误. 解析 因为an+1-an=(n+3)()n+1-(n+2)()n=()n·,当n<7时,an+1-an>0,即an+1>an;当n=7时,an+1-an=0,即an+1=an;当n>7时,an+1-an<0,即an+1<an.故a1<a2<…<a7=a8>a9>a10…, 所以此数列的最大项是第7项或第8项,故选B. 答案 B 易错点5 裂项法求和搞错剩余项 例5 在数列{an}中,an=++…+,又bn=,则数列{bn}的前n项和为( ) A.B. C.D. 易错分析 裂项相消后搞错剩余项,导致求和错误.一般情况下剩余的项是对称的,即前面剩余的项和后面剩余的项是对应的. 解析 由已知得an=++…+ =(1+2+…+n)=, 从而bn===4(-), 所以数列{bn}的前n项和为 Sn=4[(1-)+(-)+(-)+…+(-)]=4(1-)=.故选D. 答案 D 易错点6 线性规划问题最优解判断错误 例6 P(x,y)满足|x|+|y|≤1,求ax+y的最大值及最小值. 易错分析 由ax+y=t,得y=-ax+t,欲求t的最值,要看参数a的符号.忽视参数的符号变化,易导致最值错误. 解 ①当a<-1时,直线y=-ax+t分别过点(-1,0)与(1,0)时,ax+y取得最大值与最小值,其值分别为-a,a. ②当-1≤a≤1时,直线y=-ax+t分别为(0,1)与(0,-1)时,ax+y取得最大值与最小值,其值分别为1,-1. ③当a>1时,直线y=-ax+t分别过点(1,0)与(-1,0)时,ax+y取得最大值与最小值,其值分别为a,-a. 易错点7 运用基本不等式忽视条件 例7 函数y=的最小值为________. 易错分析 应用基本不等式求函数最值,当等号成立的条件不成立时,往往考虑函数的性质,结合函数的单调性,同时注意函数的定义域. 解 y===+. 设t=,则t≥2,所以函数变为f(t)=t+(t≥2).这时,f(t)在[2,+∞)
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高考数学大二轮总复习与增分策略 第四篇 回归教材 纠错分析4 数列不等式练习 高考 数学 二轮 复习 策略 第四 回归 教材 纠错 分析 数列 不等式 练习