届安徽省安庆市高三第二次模拟考试数学理试题 PDF版Word文档格式.docx
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届安徽省安庆市高三第二次模拟考试数学理试题 PDF版Word文档格式.docx
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B.农村居民人均食品支出总额呈增长趋势
C.2011年至2015年农村居民人均生活消费支出增长最快
D.2015年至2017年农村居民人均生活消费支出总额增长比率大于人均食品支出总额增长比率
7.已知矩形ABCD,AB2AD4,E,F分别为AB,CD的中点,将四边形AEFD沿EF折起,
使AEB120,则过A,B,C,D,E,F六点的球的表面积为
π
B.5πC.10πD.20π
8.已知函数f(x)2sin2x(0)的最小正周期为π,若将其图象沿x轴向右平移m(m0)个
单位,所得图象关于
x对称,则实数m的最小值为
A.
B.
C.
3π
D.π
9.今年(2020年)是闰年.如图所示是判断2000~3000(包括2000,但不包括3000)年中哪些年份是闰
年的程序框图,那么由框图可知,在2000~3000年
中年份是闰年的个数是
A.241B.242
C.243D.244
10.已知抛物线C:
y22px(p0)的焦点为F,
准线与x轴交于点K,过点K作圆
第页2
22
pp
xy
24
的切线,切点分别为A,B.若AB3,则p的值为
A.1B.3C.2D.3
11.棱长为1的正方体
ABCDA1BCD中,P,Q分别为CD,BC
1111
1的中点,现有下列结论:
①
PQ//BD;
②PQ//平面BB1DD;
③PQ平面ABC
11
1;
④四面
体DPQB
1的体积等于
1
24
.其中正确的是
A.①③B.②③
C.②④D.③④
12.函数f(x)lnxax恰有两个零点
x,
x,且x
21
x.则
x所在区
间为
1
A.0,B.
e3e
32
e
11
1
C.,1
2,D.
ee
第Ⅱ卷
二、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知向量a=(1,3),ab1,a与ab的夹角为60,则ab.
14.等差数列
a中,
a,
22aa3a
16111
S是其前n项和,则使
S取最大值的n的值
为.
15.鞋匠刀形是一种特殊的图形,古希腊数学家阿基米德发现该图形有许多优美的性质.如图,若点C为
线段AB的三等分点且AC2CB,分别以线段AB,AC,BC为直径且在AB同侧作半圆,则这三个半
圆周所围成的图形称为鞋匠刀形(即图中阴影部分).现等可能地从以AB为直径的半圆内任取一点,
则该点落在鞋匠刀形内的概率为.
16.已知双曲线
C:
1a0b0的左、右焦点分别为
,
ab
F,F,
12
π
一条渐近线方程记为ytanx(0)与
22
,直线l:
ytanx
双曲线C在第一象限内交于点P,若OPPF,则双曲线C的离心率
三、解答题:
共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21
第页3
题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:
60分.
17.(本小题满分12分)
在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且
bcsinA
acsinBsinC
.
(Ⅰ)求角B的大小;
153
4
(Ⅱ)若△ABC的周长等于15,面积等于
,求a,b,c的值.
18.(本小题满分12分)
如图,在四面体ABCD中,E是线段AD的中点,
,ABBD,BCDCEC.
ABDBCD90
o
(Ⅰ)证明:
BDEC;
(Ⅱ)求平面BEC与平面DEC所成锐二面角的余弦值.
19.(本小题满分12分)
某小区为了加强对“新型冠状病毒”的防控,确保居民在小区封闭期间生活不受影响,小区超市采取有
力措施保障居民正常生活的物资供应.为做好日常生活必需的甲类物资的供应,超市对社区居民户每天对甲
类物资的购买量进行了调查,得到了以下频率分布直方图(如图).
(I)从小区超市某天购买甲类物资的居民户中任意选取5户.
①若将频率视为概率,求至少有两户购买量在[3,4)(单位:
kg)的概率是多少?
②若抽取的5户中购买量在[3,6](单位:
kg)的户数为2户,从5户中选出3户进行生活情况调查,
记3户中需求量在[3,6](单位:
kg)的户数为,求的分布列和期望;
(II)将某户某天购买甲类物资的量与平均购买量比较,当超出平均购买量不少于0.5kg时,则将该居民户
称为“迫切需求户”,若从小区某天购买甲类物资的居民户中随机抽取10户,且抽到k户为“迫切
需求户”的可能性最大,试求k的值.
20.(本小题满分12分)
已知椭圆
E
:
1
(ab0)的离心率为
,F是E的右焦点,过点F的直线交E于点
A(x,y)和点
B(x,y)(
y1y20).当直线AB与x轴垂直时,AB3.
第页4
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)设直线l:
x2a交x轴于点G,过点B作x轴的平行线交直线l于点C.求证:
直线AC过线
段FG的中点.
21.(本小题满分12分)
已知函数
fxaxax(aR).
()ln11
2
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)当a1时,对任意的
x,
x20,,且
x1x,都有
x1(x)x()mxx
ffx
221
xx
12
,求
实数m的取值范围.
(二)选考题:
共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
22.[选修4—4:
坐标系与参数方程](本小题满分10分)
在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,并在两坐标系中取相同的长
xt
2
度单位.已知曲线C的极坐标方程为4sin0,直线l的参数方程为
y1t
(t为参数).
(Ⅰ)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
(Ⅱ)若直线l与曲线C交于A,B两点,M(0,1),且MAMB,求
1的值.
MAMB
23.[选修4–5:
不等式选讲](本小题满分10分)
已知a0,b0,且a2b21.
(Ⅰ)若对于任意的正数a,b,不等式2x1≤
11
(Ⅱ)证明:
()(a5b5)≥1.
ab
a
恒成立,求实数x的取值范围;
b
第页5
数学试题(理科)参考答案
第I卷
二、选择题:
题号123456789101112
答案ACAABDDBCCCD
本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.3.
14.16.
15.
9
16.51.
共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生
都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
bcsinA
解析:
(Ⅰ)由,根据正弦定理得
bca
bcaacacbac
222222
acbc
根据余弦定理得
cos
B
a2c2b21
,由0Bπ,所以2π
2ac23
B.…………5分
13153
(Ⅱ)由
SacBac,得ac15.又abc15,
sinABC
244
由(Ⅰ)知b2a2c2ac(ac)215(15b)215,所以b7,
化简得ac8.得a3,c5,或者a5,c3.
所以a3,b7,c5,或者a5,b7,c3.…………12分
【考查目标】考查正弦定理、余弦定理和考生对面积公式的合理选用情况,考查考生的运算求解能力.
(Ⅰ)取线段BD的中点F,连接EF,CF.
因为E是线段AD的中点,所以EF//AB.又ABBD,所以EFBD.
因为BCDC,F是BD的中点,所以CFBD.
因为EF平面ECF,CF平面ECF,EFICFF,所以BD平面ECF,而CE平面ECF,
所以BDEC.…………5分
第页6
(Ⅱ)令BCDCECa,则ABBD2a,那么
EFABa,12
CFBDa,所以
2222
EFCFaEC,所以EFCF.
又EFBD,CFBD,故可以点F为原点,射线FC、FD、
FE分别为x轴、y轴、z轴正方向,建立空间直角坐标系,
如图所示.则B0,a,0,Ca
,0,0,
D0,a,0,E00a
,,,
uuuruuur
uuur
所以BCaa0DCa,a,,
,,,0ECa,0,a.
设平面BEC、平面DEC的法向量分别为mx,y,z,
nx,y,z,111222
axay0
mBC0
由uruuur,得
mEC0
22
axaz0
2211
x1
,则m1,1,1.
y1
,取
z1
由
DC
EC
0
,得
ax
ay
az
1
x
,取
y1
,则n1,1,1.
urr
mn1111111
所以cosm,n.
1113
222mn
故平面BEC与平面DEC所成锐二面角的余弦值为
.…………12分
解法二:
令BCDCECa,由已知及(Ⅰ)得BEEDa,所以BCE,CDE均为棱长为a
的正三角形.
取CE中点G,则BGCE,DGCE,故BGD为二面角
BCED的平面角,在BDG中,BGDGa,
BD2a,由余弦定理可得:
第页7
BGDGBD1
222
cosBGD,
2BGDG3
3【考查目标】本题综合考查立体几何的基本知识、基本思想和基本方法,通过空间的直线与直线、直线与
平面、平面与平面的位置关系考查考生的空间想象能力和逻辑推理能力,通过二面角的概念及计算考查考
生的运算求解能力.
(I)由题意,事件“从小区超市购买甲类物资的居民户中任意选取1户,购买量在[3,4)”发生的概率
为
p.…………1分
①记事件“从小区超市购买甲类物资的居民户中任意选取5户,则至少有两户购买量在[3,4)”为A,则
111
P(A)5)
1C1
(1)4(15
444
47
128
………3分
②随机变量所有可能的取值为0,1,2.则
C3
P(),
C10
CC3
P(),
132
C5
C1
P
(2)2,
012
P(
)
10
314
所以
E()12…………………7分
5105
(II)每天对甲类物资的购买量平均值为1.50.102.50.303.50.254.50.205.50.153.5
(kg)………8分
则购买甲类生活物资为“迫切需求户”的购买量为[4,6],从小区随机抽取中随机抽取一户为“迫切需求户”
的概率为p0.35,若从小区随机抽取10户,且抽到X户为“迫切需求户”,则X~B(10,0.35),故
P(X
P(XkCkpkp10kk,若k户的可能性最大,则
)
10
(1),0,1,,10
P(X
k)≥
k
1)
kk
C(0.35)
k
10k
(0.65)
k1k111k
≥C(0.35)(0.65)
k1k19k
解得2.85≤k≤3.85,由于kN*,故k3.………12分
【考查目标】本题考查统计与概率的基础知识和基本思想方法、二项分布的知识和应用、样本估计总体的
第页8
思想与方法、随机事件概率的计算以及随机变量期望的概率的计算与应用,考查考生应用所学的统计与概
率知识分析问题、解决问题的能力.
(Ⅰ)由
e
c1,得13
ca,所以ba2c2a.c1,得13
a222
因为直线AB经过点F,且
y1y20,
当直线AB与x轴垂直时,
13
xxca,则y1ya,且
122
24
y1y,
33a,得a2,所以b3,c1.
所以AB2y1a,故3
所以椭圆E的方程为
xy.…………4分
43
(Ⅱ)由(Ⅰ)有直线l:
x4,故G(4,0),因为F1,0,则线段FG的中点为50
,.
2
①当直线AB与x轴垂直时,11y
x1x,y0,且
B,,
故A(1,y),(1y)C4,y,
y,
1y
yyyx2
这时直线AC的方程为1
y11,即
(1)
1yy1yx.
413
1
令y0,得5
x,所以直线AC过线段FG的中点.
②当直线AB不与x轴垂直时,可设其方程为ykx1,代入
xy,
整理得
34k2x28k2x4k230.
8k
xx
122
34k
4k3
xx
.
yy
因为Ax,y,Bx,y,C,y,所以直线AC的方程为
4y21xxy因为Ax,y,Bx,y,C,y,所以直线AC的方程为
4x
1122211
因为ykx,
111y2kx21,
kxx
yy55
21xyxkx
4x24x2
第页9
xx5
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