中考一轮复习数学几何小专题三角形综合之解答题专项有答案.docx
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中考一轮复习数学几何小专题三角形综合之解答题专项有答案
2021年九年级数学中考复习——几何小专题:
三角形综合之解答题专项
1.在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC.
(1)如图1,点D为BC边上一点,连接AD,以AD为边作Rt△ADE,∠DAE=90°,AD=AE,连接EC.直接写出线段BD与CE的数量关系为 ,位置关系为 .
(2)如图2,点D为BC延长线上一点,连接AD,以AD为边作Rt△ADE,∠DAE=90°,AD=AE,连接EC.
①用等式表示线段BC,DC,EC之间的数量关系为 .
②求证:
BD2+CD2=2AD2.
(3)如图3,点D为△ABC外一点,且∠ADC=45°,若BD=13,CD=5,求AD的长.
2.如图1,平面直角坐标系中,点A(0,a﹣2),B(b,0),C(b﹣6,﹣b),且a、b满足a2﹣2ab+2b2﹣16b+64=0,连接AB、AC,AC交x轴于D点.
(1)求C点的坐标;
(2)求证:
∠OAC+∠ABO=45°;
(3)如图2,点E在线段AB上,作EG⊥y轴于G点,交AC于F点,若EG=AO,求证:
EF=OD+AG.
3.如图,点O是等边△ABC内一点,∠AOB=110°,∠BOC=α.以OC为一边作等边三角形OCD,连结AD.
(1)求证:
△BOC≌△ADC;
(2)当α=150°时,试判断△AOD的形状,并说明理由;
(3)探究:
当α为多少度时,△AOD是等腰三角形?
4.已知,在△ABC中,∠BAC=90°,∠BCA=30°,AB=5,D为直线BC上一动点,以AD为边作等边△ADE(A,D,E三点逆时针排列),连接CE.
(1)如图1,若D为BC中点,求证:
AE=CE;
(2)如图2,试探究AE与CE的数量关系,并证明你的结论;
(3)连接BE,在D点运动的过程中,当BE最小时,则线段CD的长为 .
5.已知等边△ABC的边长为8,点P是AB边上的一个动点(与点A、B不重合).
(1)如图1.当PB=3AP时,△BPC的面积为 ;
(2)直线l是经过点P的一条直线,把△ABC沿直线l折叠,点B的对应点是点B′.
①如图2,当PB=5时,若直线l∥AC,求BB′的长度;
②如图3,当PB=6时,在直线l变化过程中.请直接写出△ACB′面积的最大值.
6.如图,在等边三角形ABC右侧作射线CP,∠ACP=α(0°<α<60°),点A关于射线CP的对称点为点D,BD交CP于点E,连接AD,AE.
(1)依题意补全图形;
(2)求∠DBC的大小(用含α的代数式表示);
(3)直接写出∠AEB的度数;
(4)用等式表示线段AE,BD,CE之间的数量关系,并证明.
7.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=5cm,点P从点A出发,以cm/s的速度沿AB向终点B运动过.点P作PQ⊥AC于Q,当点P不与点A、B重合时,以线段PQ为边向右作长方形PQMN,使PN=2PQ.设长方形PQMN与△ABC的重叠部分面积为S,点P的运动时间为t(s).
(1)用含t的代数式表示线段BP的长度.
(2)当点N落在BC边上时,求t的值.
(3)用含t的代数式表示S.
(4)当点C与长方形PQMN的顶点所连的直线平分△ABC的面积时,直接写出t的值.
8.如图1,已知Rt△ABC中,∠BAC=90°,点D是AB上一点,且AC=8,∠DCA=45°,AE⊥BC于点E,交CD于点F.
(1)如图1,若AB=2AC,求AE的长;
(2)如图2,若∠B=30°,求△CEF的面积;
(3)如图3,点P是BA延长线上一点,且AP=BD,连接PF,求证:
PF+AF=BC
9.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,过点A作射线AM∥BC,点D、E是射线AM上的两点(点D不与点A重合,点E在点D右侧),联结BD、BE分别交边AC于点F、G,∠DBE=∠C.
(1)当AD=1时,求FB的长;
(2)设AD=x,FG=y,求y关于x的函数关系式,并写出x的取值范围;
(3)联结DG并延长交边BC于点H,如果△DBH是等腰三角形,请直接写出AD的长.
10.如图,已知CD是线段AB的垂直平分线,垂足为D,C在D点上方,∠BAC=30°,P是直线CD上一动点,E是射线AC上除A点外的一点,PB=PE,连BE.
(1)如图1,若点P与点C重合,求∠ABE的度数;
(2)如图2,若P在C点上方,求证:
PD+AC=CE;
(3)若AC=6,CE=2,则PD的值为 (直接写出结果).
参考答案
1.解:
(1)∵∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAC﹣∠CAD=∠DAE﹣∠CAD,
∴∠BAD=∠CAE,
∵AB=AC,AD=AE,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴BD=CE,∠ABD=∠ACE,
在Rt△ABC中,AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=45°,
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=∠ACB+∠ABC=45°+45°=90°,
∴BD⊥CE,
故答案为:
BD=CE;BD⊥CE;
(2)①BC+DC=EC;
∵∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAC﹣∠CAD=∠DAE﹣∠CAD,
∴∠BAD=∠CAE,
∵AB=AC,AD=AE,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴BD=CE,
∴CE=BD=BC+CD,
故答案为:
BC+CD=EC;
②由①知,△ABD≌△ACE,
∴∠ABD=∠ACE,
在Rt△ABC中,AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=45°,
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=∠ACB+∠ABC=45°+45°=90°,
∴∠BCE=∠DCE=90°,
根据勾股定理得出,AE2+AD2=DE2,CE2+CD2=DE2,
∴AE2+AD2=CE2+CD2.
∵AE=AD,BD=CE,
∴2AD2=BD2+CD2.
即BD2+CD2=2AD2;
(3)如图3,过点A作AE⊥AD,且AE=AD,连接DE,CE,
∴△ADE是等腰直角三角形.
∴∠ADE=45°.
∵∠ADC=45°,
∴∠CDE=90°.
由
(2)中①可知,△ABD≌△ACE,
∴BD=CE,
∵BD=13,CD=5,
∴CE=13,
在Rt△CDE中,
∵∠CDE=90°,
∴DE2+CD2=CE2,
∴DE2=CE2﹣CD2=144,
∴DE=12,
在Rt△ADE中,
∵∠EAD=90°,
∴AE2+AD2=DE2,
∴2AD2=144;
∴AD=6.
2.解:
(1)∵a2﹣2ab+2b2﹣16b+64=0,
∴(a﹣b)2+(b﹣8)2=0,
∴a=b=8,
∴b﹣6=2,
∴点C(2,﹣8);
(2)∵a=b=8,
∴点A(0,6),点B(8,0),点C(2,﹣8),
∴AO=6,OB=8,
如图1,过点B作PQ⊥x轴,过点A作AP⊥PQ,交PQ于点P,过点C作CQ⊥PQ,交PQ于点Q,
∴四边形AOBP是矩形,
∴AO=BP=6,AP=OB=8,
∵点B(8,0),点C(2﹣8),
∴CQ=6,BQ=8,
∴AP=BQ,CQ=BP,
∴△ABP≌△BCQ(SAS),
∴AB=BC,∠BAP=∠CBQ,
∵∠BAP+∠ABP=90°,
∴∠ABP+∠CBQ=90°,
∴∠ABC=90°,
∴△ABC是等腰直角三角形,
∴∠BAC=45°,
∴∠OAC+∠ABO=45°;
(3)如图2,过点A作AT⊥AB,交x轴于T,连接ED,
∴∠TAE=90°=∠AGE,
∴∠ATO+∠TAO=90°=∠TAO+∠GAE=∠GAE+∠AEG,
∴∠ATO=∠GAE,∠TAO=∠AEG,
又∵EG=AO,
∴△ATO≌△EAG(AAS),
∴AT=AE,OT=AG,
∵∠BAC=45°,
∴∠TAD=∠EAD=45°,
又∵AD=AD,
∴△TAD≌△EAD(SAS),
∴TD=ED,∠TDA=∠EDA,
∵EG⊥AG,
∴EG∥OB,
∴∠EFD=∠TDA,
∴∠EFD=∠EDF,
∴EF=ED,
∴EF=ED=TD=OT+OD=AG+OD,
∴EF=AG+OD.
3.
(1)证明:
∵△ABC和△ODC是等边三角形,
∴∠ABC=∠CAB=∠ODC=∠DOC=60°,
BC=AC,CO=CD,∠ACB=∠DCO=60°,
∴∠ACB﹣∠ACO=∠DCO﹣∠ACO,
∴∠ACD=∠BCO,
在△BOC和△ADC中,
,
∴△BOC≌△ADC(SAS);
(2)解:
△ADO是直角三角形.
理由如下:
∵△BOC≌△ADC,
∴∠BOC=∠ADC,
∵∠BOC=α=150°,∠ODC=60°,
∴∠ADO=150°﹣60°=90°,
∴△ADO是直角三角形;
(3)解:
∵∠COB=∠CAD=α,∠AOD=190°﹣α,∠ADO=α﹣60°,∠OAD=50°,
①要使AO=AD,需∠AOD=∠ADO,
∴190°﹣α=α﹣60°,
∴α=125°;
②要使OA=OD,需∠OAD=∠ADO,
∴α﹣60°=50°,
∴α=110°;
③要使OD=AD,需∠OAD=∠AOD,
∴190°﹣α=50°,
∴α=140°.
所以,当α为125°、110°、140°时,△AOD是等腰三角形.
4.
(1)证明:
∵∠BAC=90°,D为BC中点,
∴AD=BD=CD,
∵∠BCA=30°,
∴∠ABD=∠DAB=90°﹣30°=60°,
∴△ABD是等边三角形,
∴∠ADB=60°,
∵△ADE是等边三角形,
∴∠ADE=60°,AE=AD=DE,
∴CD=DE,
∵∠CDE=180°﹣∠ADE﹣∠ADB=180°﹣60°﹣60°=60°,
∴△CDE是等边三角形,
∴CE=DE,
∴AE=CE;
(2)解:
AE与CE的数量关系为:
AE=CE,理由如下:
取BC中点为O,连接AO、EO,如图2所示:
∵∠BAC=90°,O为BC中点,
∴AO=BO,
∵∠BCA=30°,
∴∠ABO=∠OAB=90°﹣30°=60°,
∴△ABO是等边三角形,
∴AB=AO,∠BAO=∠AOB=60°,
∵△ADE是等边三角形,
∴AD=AE,∠DAE=∠ADE=60°,
∴∠BAO=∠DAE,
∴∠BAO+∠OAD=∠DAE+∠OAD,
即:
∠BAD=∠OAE,
在△BAD和△OAE中,
,
∴△BAD≌△OAE(SAS),
∴∠AEO=∠ADO,
∴A、O、D、E四点共圆,
∴∠AOE=∠ADE=60°,
∴∠EOD=180°﹣∠AOE﹣∠AOB=180°﹣60°﹣60°=60°,
∴∠EOD=∠ABO,
∴AB∥OE,
∵∠BAC=90°,
∴OE⊥AC,
∵O是BC的中点,
∴OE垂直平分AC,
∴AE=CE;
(3)解:
∵∠BAC=90°,∠BCA=30°,AB=5,
∴AO=OC=5,BC=2AB=10,
由
(2)得:
点E的轨迹是AC的垂直平分线OE,如图3所示:
当BE最小时,BE⊥OE,
∵∠AOB=60°,
∴∠AOC=120°,
∵OA=OC,OE⊥AC,
∴∠BOE=∠AOC=60°,
∴∠OBE=30°,
∴OE=OB=BC=,
在直线OE的左侧取点F,使EF=OA,连接DF,
∵∠DAO=∠DAE+∠EAO=60°+∠EAO,∠DEF=180°﹣∠DEA﹣∠AEO=180°﹣60°﹣(60°﹣∠EAO)=60°+∠EAO,
∴∠DAO=∠DEF,
在△DAO和
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