强烈推荐八年级数学三角形辅助线大全精简全面Word下载.docx
- 文档编号:17606948
- 上传时间:2022-12-07
- 格式:DOCX
- 页数:22
- 大小:84.42KB
强烈推荐八年级数学三角形辅助线大全精简全面Word下载.docx
《强烈推荐八年级数学三角形辅助线大全精简全面Word下载.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《强烈推荐八年级数学三角形辅助线大全精简全面Word下载.docx(22页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
又∵∠1=∠2,∠3=∠4
∠1+∠2+∠3+∠4=180o
∴∠3+∠2=90o
即∠EDF=90o
∴∠FDM=∠EDF=90o
△EDF和△MDF中
∠FDM=∠EDF
DF=DF
∴△EDF≌△MDF
∴EF=MF
∵在△CMF中,CF+CM>MF
(此题也可加倍FD,证法同上)
4.在三角形中有中线时,常加倍延长中线构造全等三角形.
已知,如图,AD为△ABC的中线,求证:
AB+AC>2AD
延长AD至E,使DE=AD,连结BE
∵AD为△ABC的中线
∴BD=CD
在△ACD和△EBD中
BD=CD
AD=ED
∴△ACD≌△EBD
∵△ABE中有AB+BE>AE
∴AB+AC>2AD
5.截长补短作辅助线的方法
截长法:
在较长的线段上截取一条线段等于较短线段;
补短法:
延长较短线段和较长线段相等.
这两种方法统称截长补短法.
当已知或求证中涉及到线段a、b、c、d有下列情况之一时用此种方法:
①a>b
②a±
b=c
③a±
b=c±
d
已知,如图,在△ABC中,AB>AC,∠1=∠2,P为AD上任一点,
AB-AC>PB-PC
⑴截长法:
在AB上截取AN=AC,连结PN
在△APN和△APC中,
AN=AC
AP=AP
∴△APN≌△APC
∴PC=PN
∵△BPN中有PB-PC<BN
∴PB-PC<AB-AC
⑵补短法:
延长AC至M,使AM=AB,连结PM
在△ABP和△AMP中
AB=AM
∴△ABP≌△AMP
∴PB=PM
又∵在△PCM中有CM>PM-PC
∴AB-AC>PB-PC
练习:
1.已知,在△ABC中,∠B=60o,AD、CE是△ABC的角平分线,并且它们交于点O
AC=AE+CD
2.已知,如图,AB∥CD∠1=∠2,∠3=∠4.
求证:
BC=AB+CD
6.证明两条线段相等的步骤:
①观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中,然后证这两个三角形全等。
②若图中没有全等三角形,可以把求证线段用和它相等的线段代换,再证它们所在的三角形全等.
③如果没有相等的线段代换,可设法作辅助线构造全等三角形.
例:
如图,已知,BE、CD相交于F,∠B=∠C,∠1=∠2,求证:
DF=EF
证明:
∵∠ADF=∠B+∠3
∠AEF=∠C+∠4
又∵∠3=∠4
∠B=∠C
∴∠ADF=∠AEF
在△ADF和△AEF中
∠ADF=∠AEF
∠1=∠2
AF=AF
∴△ADF≌△AEF
∴DF=EF
7.在一个图形中,有多个垂直关系时,常用同角(等角)的余角相等来证明两个角相等.
已知,如图Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90o,过A作任一条直线AN,作BD⊥AN于D,CE⊥AN于E,求证:
DE=BD-CE
∵∠BAC=90o,BD⊥AN
∴∠1+∠2=90o∠1+∠3=90o
∴∠2=∠3
∵BD⊥ANCE⊥AN
∴∠BDA=∠AEC=90o
在△ABD和△CAE中,
∠BDA=∠AEC
∠2=∠3
AB=AC
∴△ABD≌△CAE
∴BD=AE且AD=CE
∴AE-AD=BD-CE
∴DE=BD-CE
8.三角形一边的两端点到这边的中线所在的直线的距离相等.
AD为△ABC的中线,且CF⊥AD于F,BE⊥AD的延长线于E
BE=CF
(略)
9.条件不足时延长已知边构造三角形.
已知AC=BD,AD⊥AC于A,BCBD于B
AD=BC
分别延长DA、CB交于点E
∵AD⊥ACBC⊥BD
∴∠CAE=∠DBE=90o
在△DBE和△CAE中
∠DBE=∠CAE
BD=AC
∠E=∠E
∴△DBE≌△CAE
∴ED=EC,EB=EA
∴ED-EA=EC-EB
∴AD=BC
10.连接四边形的对角线,把四边形问题转化成三角形来解决问题.
已知,如图,AB∥CD,AD∥BC
AB=CD
连结AC(或BD)
∵AB∥CD,AD∥BC
∴∠1=∠2
在△ABC和△CDA中,
AC=CA
∠3=∠4
∴△ABC≌△CDA
∴AB=CD
已知,如图,AB=DC,AD=BC,DE=BF,
BE=DF
11.有和角平分线垂直的线段时,通常把这条线段延长。
可归结为“角分垂等腰归”.
已知,如图,在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90o,∠1=∠2,CE⊥BD的延长线于E
BD=2CE
分别延长BA、CE交于F
∵BE⊥CF
∴∠BEF=∠BEC=90o
在△BEF和△BEC中
BE=BE
∠BEF=∠BEC
∴△BEF≌△BEC
∴CE=FE=
CF
∵∠BAC=90o,BE⊥CF
∴∠BAC=∠CAF=90o
∠1+∠BDA=90o
∠1+∠BFC=90o
∠BDA=∠BFC
在△ABD和△ACF中
∠BAC=∠CAF
∴△ABD≌△ACF
∴BD=CF
∴BD=2CE
已知,如图,∠ACB=3∠B,∠1=∠2,CD⊥AD于D,
AB-AC=2CD
12.当证题有困难时,可结合已知条件,把图形中的某两点连接起来构造全等三角形.
已知,如图,AC、BD相交于O,且AB=DC,AC=BD,
∠A=∠D
(连结BC,过程略)
13.当证题缺少线段相等的条件时,可取某条线段中点,为证题提供条件.
已知,如图,AB=DC,∠A=∠D
∠ABC=∠DCB
分别取AD、BC中点N、M,
连结NB、NM、NC(过程略)
14.有角平分线时,常过角平分线上的点向角两边做垂线,利用角平分线上的点到角两边距离相等证题.
已知,如图,∠1=∠2,P为BN上一点,且PD⊥BC于D,AB+BC=2BD,
∠BAP+∠BCP=180o
过P作PE⊥BA于E
∵PD⊥BC,∠1=∠2
∴PE=PD
在Rt△BPE和Rt△BPD中
BP=BP
PE=PD
∴Rt△BPE≌Rt△BPD
∴BE=BD
∵AB+BC=2BD,BC=CD+BD,AB=BE-AE
∴AE=CD
∵PE⊥BE,PD⊥BC
∠PEB=∠PDC=90o
在△PEA和△PDC中
∠PEB=∠PDC
AE=CD
∴△PEA≌△PDC
∴∠PCB=∠EAP
∵∠BAP+∠EAP=180o
∴∠BAP+∠BCP=180o
1.已知,如图,PA、PC分别是△ABC外角∠MAC与∠NCA的平分线,它们交于P,
PD⊥BM于M,PF⊥BN于F,求证:
BP为∠MBN的平分线
2.已知,如图,在△ABC中,∠ABC=100o,∠ACB=20o,CE是∠ACB的平分线,D是AC上一点,若∠CBD=20o,求∠CED的度数。
15.有等腰三角形时常用的辅助线
⑴作顶角的平分线,底边中线,底边高线
已知,如图,AB=AC,BD⊥AC于D,
∠BAC=2∠DBC
(方法一)作∠BAC的平分线AE,交BC于E,则∠1=∠2=
∠BAC
又∵AB=AC
∴AE⊥BC
∴∠2+∠ACB=90o
∵BD⊥AC
∴∠DBC+∠ACB=90o
∴∠2=∠DBC
∴∠BAC=2∠DBC
(方法二)过A作AE⊥BC于E(过程略)
(方法三)取BC中点E,连结AE(过程略)
⑵有底边中点时,常作底边中线
已知,如图,△ABC中,AB=AC,D为BC中点,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,
DE=DF
连结AD.
∵D为BC中点,
又∵AB=AC
∴AD平分∠BAC
∵DE⊥AB,DF⊥AC
∴DE=DF
⑶将腰延长一倍,构造直角三角形解题
已知,如图,△ABC中,AB=AC,在BA延长线和AC上各取一点E、F,使AE=AF,求证:
EF⊥BC
延长BE到N,使AN=AB,连结CN,则AB=AN=AC
∴∠B=∠ACB,∠ACN=∠ANC
∵∠B+∠ACB+∠ACN+∠ANC=180o
∴2∠BCA+2∠ACN=180o
∴∠BCA+∠ACN=90o
即∠BCN=90o
∴NC⊥BC
∵AE=AF
∴∠AEF=∠AFE
又∵∠BAC=∠AEF+∠AFE
∠BAC=∠ACN+∠ANC
∴∠BAC=2∠AEF=2∠ANC
∴∠AEF=∠ANC
∴EF∥NC
∴EF⊥BC
⑷常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线
已知,如图,在△ABC中,AB=AC,D在AB上,E在AC延长线上,且BD=CE,连结DE交BC于F
(证法一)过D作DN∥AE,交BC于N,则∠DNB=∠ACB,∠NDE=∠E,
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB
∴∠B=∠DNB
∴BD=DN
又∵BD=CE
∴DN=EC
在△DNF和△ECF中
∠NDF=∠E
DN=EC
∴△DNF≌△ECF
(证法二)过E作EM∥AB交BC延长线于M,则∠EMB=∠B(过程略)
⑸常过一腰上的某一已知点做底的平行线
已知,如图,△ABC中,AB=AC,E在AC上,D在BA延长线上,且AD=AE,连结DE
DE⊥BC
(证法一)过点E作EF∥BC交AB于F,则
∠AFE=∠B
∠AEF=∠C
∵AB=AC
∴∠B=∠C
∴∠AFE=∠AEF
∵AD=AE
∴∠AED=∠ADE
又∵∠AFE+∠AEF+∠AED+∠ADE=180o
∴2∠AEF+2∠AED=90o
即∠FED=90o
∴DE⊥FE
又∵EF∥BC
∴DE⊥BC
(证法二)过点D作DN∥BC交CA的延长线于N,(过程略)
(证法三)过点A作AM∥BC交DE于M,(过程略)
⑹常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形------等边三角形
已知,如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=80o,P为形内一点,若∠PBC=10o∠PCB=30o求∠PAB的度数.
解法一:
以AB为一边作等边三角形,连结CE
则∠BAE=∠ABE=60o
AE=AB=BE
∴AE=AC∠ABC=∠ACB
∴∠AEC=∠ACE
∵∠EAC=∠BAC-∠BAE
=80o-60o=20o
∴∠ACE=
(180o-∠EAC)=80o
∵∠ACB=
(180o-∠BAC)=50o
∴∠BCE=∠ACE-∠ACB
=80o-50o=30o
∵∠PCB=30o
∴∠PCB=∠BCE
∵∠ABC=∠ACB=50o,∠ABE=60o
∴∠EBC=∠ABE-∠ABC=60o-50o=10o
∵∠PBC=10o
∴∠PBC=∠EBC
在△PBC和△EBC中
∠PBC=∠EBC
BC=BC
∠PCB=∠BCE
∴△PBC≌△EBC
∴BP=BE
∵AB=BE
∴AB=BP
∴∠BAP=∠BPA
∵∠ABP=∠ABC-∠PBC=50o-10o=40o
∴∠PAB=
(180o-∠ABP)=70o
解法二:
以AC为一边作等边三角形,证法同一。
解法三:
以BC为一边作等边三角形△BCE,连结AE,则
EB=EC=BC,∠BEC=∠EBC=60o
∵EB=EC
∴E在BC的中垂线上
同理A在BC的中垂线上
∴EA所在的直线是BC的中垂线
∴EA⊥BC
∠AEB=
∠BEC=30o=∠PCB
由解法一知:
∠ABC=50o
∴∠ABE=∠EBC-∠ABC=10o=∠PBC
∵∠ABE=∠PBC,BE=BC,∠AEB=∠PCB
∴△ABE≌△PBC
(180o-∠ABP)=
(180o-40o)=70o
16.有二倍角时常用的辅助线
⑴构造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的顶角的外角
已知,如图,在△ABC中,∠1=∠2,∠ABC=2∠C,
AB+BD=AC
延长AB到E,使BE=BD,连结DE
则∠BED=∠BDE
∵∠ABD=∠E+∠BDE
∴∠ABC=2∠E
∵∠ABC=2∠C
∴∠E=∠C
在△AED和△ACD中
∠E=∠C
AD=AD
∴△AED≌△ACD
∴AC=AE
∵AE=AB+BE
∴AC=AB+BE
即AB+BD=AC
⑵平分二倍角
已知,如图,在△ABC中,BD⊥AC于D,∠BAC=2∠DBC
∠ABC=∠ACB
作∠BAC的平分线AE交BC于E,则∠BAE=∠CAE=∠DBC
∴∠CBD+∠C=90o
∴∠CAE+∠C=90o
∵∠AEC=180o-∠CAE-∠C=90o
∴∠ABC+∠BAE=90o
∵∠CAE+∠C=90o
∠BAE=∠CAE
∴∠ABC=∠ACB
⑶加倍小角
作∠FBD=∠DBC,BF交AC于F(过程略)
17.有垂直平分线时常把垂直平分线上的点与线段两端点连结起来.
已知,如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=120o,EF为AB的垂直平分线,EF交BC于F,交AB于E
BF=
FC
连结AF,则AF=BF
∴∠B=∠FAB
∵∠BAC=120o
∴∠B=∠C∠BAC=
(180o-∠BAC)=30o
∴∠FAB=30o
∴∠FAC=∠BAC-∠FAB=120o-30o=90o
又∵∠C=30o
∴AF=
∴BF=
已知,如图,在△ABC中,∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D,DM⊥AB于M,DN⊥AC延长线于N
BM=CN
18.有垂直时常构造垂直平分线.
已知,如图,在△ABC中,∠B=2∠C,AD⊥BC于D
CD=AB+BD
(一)在CD上截取DE=DB,连结AE,则AB=AE
∴∠B=∠AEB
∵∠B=2∠C
∴∠AEB=2∠C
又∵∠AEB=∠C+∠EAC
∴∠C=∠EAC
∴AE=CE
又∵CD=DE+CE
∴CD=BD+AB
(2)延长CB到F,使DF=DC,连结AF则AF=AC(过程略)
(3)
19.有中点时常构造垂直平分线.
已知,如图,在△ABC中,BC=2AB,∠ABC=2∠C,BD=CD
△ABC为直角三角形
过D作DE⊥BC,交AC于E,连结BE,则BE=CE,
∴∠C=∠EBC
∴∠ABE=∠EBC
∵BC=2AB,BD=CD
∴BD=AB
在△ABE和△DBE中
AB=BD
∠ABE=∠EBC
BE=BE
∴△ABE≌△DBE
∴∠BAE=∠BDE
∵∠BDE=90o
∴∠BAE=90o
即△ABC为直角三角形
20.当涉及到线段平方的关系式时常构造直角三角形,利用勾股定理证题.
已知,如图,在△ABC中,∠A=90o,DE为BC的垂直平分线
BE2-AE2=AC2
连结CE,则BE=CE
∵∠A=90o
∴AE2+AC2=EC2
∴AE2+AC2=BE2
∴BE2-AE2=AC2
已知,如图,在△ABC中,∠BAC=90o,AB=AC,P为BC上一点
PB2+PC2=2PA2
21.条件中出现特殊角时常作高把特殊角放在直角三角形中.
已知,如图,在△ABC中,∠B=45o,∠C=30o,AB=
,求AC的长.
解:
过A作AD⊥BC于D
∴∠B+∠BAD=90o,
∵∠B=45o,∠B=∠BAD=45o,
∴AD=BD
∵AB2=AD2+BD2,AB=
∴AD=1
∵∠C=30o,AD⊥BC
∴AC=2AD=2
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 强烈推荐 八年 级数 三角形 辅助线 大全 精简 全面