陕西省宝鸡市金台区学年高一上学期期末数学文档格式.docx
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B.
C.
D.2
9.点E,F,G,H分别为空间四边形ABCD中AB,BC,CD,AD的中点,若AC=BD,且AC与BD成90°
,则四边形EFGH是( )
A.菱形B.梯形C.正方形D.空间四边形
10.若一个圆锥的底面半径是母线长的一半,侧面积和它的体积的数值相等,则该圆锥的底面半径为( )
D.
11.将直线y=2x绕原点逆时针旋转90°
,再向右平移1个单位,所得到的直线为( )
C.y=2x﹣2D.
12.已知圆C:
x2+y2=3,从点A(﹣2,0)观察点B(2,a),要使视线不被圆C挡住,则a的取值范围是( )
A.(﹣∞,﹣
)∪(
,+∞)B.(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞)
C.(﹣∞,2
)∪(2
,+∞)D.(﹣∞,﹣4
)∪(4
,+∞)
二、填空题:
本大题共4小题,每小题6分,共24分.
13.(6分)与直线2x+3y﹣6=0平行且过点(1,﹣1)的直线方程为 .
14.(6分)α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:
①如果α∥β,m⊂α,那么m∥β;
②若m⊥α,m⊥n,则n∥α;
③如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n;
④如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.
其中正确的命题有 ;
(填写所有正确命题的编号)
15.(6分)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是 .
16.(6分)我国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器﹣﹣商鞅铜方升,其三视图如图所示(单位:
寸),若π取3,其体积为12.6(立方寸),则图中的x为 寸.
三、解答题:
本大题共4小题,共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(16分)如图(单位:
cm),求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积.
18.(16分)直线l的方程为(a+1)x+y+2﹣a=0(a∈R).
(1)若l在两坐标轴上的截距相等,求a的值;
(2)若l不经过第二象限,求实数a的取值范围.
19.(17分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC.
(1)求证:
DC⊥平面PAC;
(2)求证:
平面PAB⊥平面PAC;
(3)设点E为AB的中点,在棱PB上是否存在点F,使得PA∥平面CEF?
说明理由.
20.(17分)如图所示,在Rt△ABC中,已知A(﹣2,0),直角顶点
,点C在x轴上.
(1)求Rt△ABC外接圆的方程;
(2)求过点(0,3)且与Rt△ABC外接圆相切的直线的方程.
参考答案与试题解析
【考点】由三视图求面积、体积.
【分析】由于圆锥的三视图中一定不会出现正方形,即可得出结论.
【解答】解:
圆锥的三视图中一定不会出现正方形,
∴该空间几何体不可能是圆锥.
故选:
B.
【点评】本题通过几何体的三视图来考查体积的求法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
【考点】平面图形的直观图.
【分析】根据直观图的做法,在做直观图时,原来与横轴平行的与X′平行,且长度不变,原来与y轴平行的与y′平行,长度变为原来的一半,且新的坐标轴之间的夹角是45度,根据做法,得到四个说法的正误.
根据直观图的做法,在做直观图时,原来与横轴平行的与X′平行,且长度不变,
原来与y轴平行的与y′平行,长度变为原来的一半,
且新的坐标轴之间的夹角是45度,
∴原来垂直的画出直观图不一定垂直,
原来是对边平行的仍然平行,
故选D.
【点评】本题考查平面图形的直观图,考查由平面图形得到直观图的变化规律,从变化规律上判断正误,本题是一个基础题.
【考点】空间中的点的坐标.
【分析】点Q在yOz平面内,得它的横坐标为0.又根据PQ⊥yOz平面,可得P、Q的纵坐标、竖坐标都相等,由此即可得到Q的坐标.
由于垂足Q在yOz平面内,可设Q(0,y,z)
∵直线PQ⊥yOz平面
∴P、Q两点的纵坐标、竖坐标都相等,
∵P的坐标为(1,
),
∴y=
,z=
,可得Q(0,
)
【点评】本题给出空间坐标系内一点,求它在yOz平面的投影点的坐标,着重考查了空间坐标系的理解和线面垂直的性质等知识,属于基础题.
【考点】直线的一般式方程.
【分析】直线表示x轴,直线方程表示为y=0,推出系数A、B、C满足的条件即可.
Ax+By+C=0表示的直线是x轴,直线化为y=0,则系数A、B、C满足的条件是B≠0且A=C=0,
C
【点评】本题考查直线方程的应用,直线的位置关系与系数的关系,基本知识的考查.
【考点】平面的基本性质及推论.
【分析】在A中,有公理二知它们有无数个公共点;
在B中,由公理三知任意两条直线不能确定一个平面;
在C中,由公理二知α与β相交于直线b,且点A在直线b上;
在D中,假设任意三点共线,由公理三知四个点共面,与原题意不符,从而得到四个点不共面,则其中任意三点不共线.
在A中,若两个平面有一个公共点,则有公理二知它们有无数个公共点,故A正确;
在B中,由公理三知,两条平行线或两条相交线能确定一个平南,
两条异面直线不能确定一个平面,
∴任意两条直线不能确定一个平面,故B错误;
在C中,若点A既在平面α内,又在平面β内,
则由公理二知α与β相交于直线b,且点A在直线b上,故C正确;
在D中,假设任意三点共线
则根据“经过一条直线和直线外一点有且只有一个平面”,
所以四个点共面,与原题意不符,
所以四个点不共面,则其中任意三点不共线,故D正确.
【点评】本题考查命题真假的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用.
【考点】直线的两点式方程.
【分析】求出直线的斜率,然后求解直线方程.
过经过点A(﹣1,4)且在x轴上的截距为3的直线的斜率为:
=﹣1.
所求的直线方程为:
y﹣4=﹣(x+1),
即:
x+y﹣3=0.
【点评】本题考查直线方程的求法,基本知识的考查.
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.
【分析】可以画出图形来说明l与l1,l2的位置关系,从而可判断出A,B,C是错误的,而对于D,可假设不正确,这样l便和l1,l2都不相交,这样可推出和l1,l2异面矛盾,这样便说明D正确.
A.l与l1,l2可以相交,如图:
∴该选项错误;
B.l可以和l1,l2中的一个平行,如上图,∴该选项错误;
C.l可以和l1,l2都相交,如下图:
,∴该选项错误;
D.“l至少与l1,l2中的一条相交”正确,假如l和l1,l2都不相交;
∵l和l1,l2都共面;
∴l和l1,l2都平行;
∴l1∥l2,l1和l2共面,这样便不符合已知的l1和l2异面;
∴该选项正确.
【点评】考查异面直线的概念,在直接说明一个命题正确困难的时候,可说明它的反面不正确.
【考点】圆的一般方程;
点到直线的距离公式.
【分析】圆x2+y2﹣6x﹣2y+3=0即(x﹣3)2+(y﹣1)2=7的圆心(3,1),再利用点到直线的距离公式即可得出结论.
圆x2+y2﹣6x﹣2y+3=0即(x﹣3)2+(y﹣1)2=7的圆心(3,1)到直线x+ay﹣1=0的距离d=
=1,
∴a=﹣
.
【点评】本题考查了点到直线的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系.
【分析】先根据三角形的中位线定理整出两队对边平行且相等,是一个平行四边形,再证明四边形EFGH为菱形,然后说明∠EFG=90°
,得到四边形是一个正方形.
因为EH是△ABD的中位线,所以EH∥BD,且EH=
BD
同理FG∥BD,EF∥AC,且FG=
BD,EF=
AC.
所以EH∥FG,且EH=FG
∵AC=BD,
所以四边形EFGH为菱形.
∵AC与BD成900
∴菱形是一个正方形,
故选C.
【点评】本题考查简单几何体和公理四,本题解题的关键是要证明正方形常用方法是先证明它是菱形再证明一个角是直角,本题是一个基础题.
【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台).
【分析】根据已知中侧面积和它的体积的数值相等,构造关于r的方程,解得答案.
设圆锥的底面半径为r,则母线长为2r,
则圆锥的高h=
r,
由题意得:
πr•2r=
解得:
r=2
C.
【点评】本题考查的知识点是旋转体,熟练掌握圆锥的侧面积公式和体积公式,是解答的关键.
【考点】函数的图象.
【分析】根据两条垂直的直线斜率积为﹣1,结合函数图象的平移变换法则,可得变换后直线对应的解析式.
将直线y=2x绕原点逆时针旋转90°
,可得:
直线y=
x的图象,
再向右平移1个单位,可得:
y=
(x﹣1),即
的图象,
A
【点评】本题考查的知识点是函数的图象,熟练掌握函数图象的旋转变换法则及平移变换法则,是解答的关键.
【考点】直线与圆的位置关系.
【分析】求出设过点A(﹣2,0)与圆C:
x2+y2=3相切的直线,由此能求出a的取值范围.
设过点A(﹣2,0)与圆C:
x2+y2=3相切的直线为y=k(x+2),
则
=
,解得k=
∴切线方程为
(x+2),
由A点向圆C引2条切线,只要点B在切线之外,
那么就不会被遮挡,
B在x=2的直线上,
在
(x+2)中,取x=2,得y=
从A点观察B点,要使视线不被圆C挡住,
需a>4
,或a<﹣4
∴a的取值范围是(﹣∞,﹣4
,+∞).
D.
【点评】本题考查实数的取值范围的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意圆的性质及切线方程的合理运用.
13.与直线2x+3y﹣6=0平行且过点(1,﹣1)的直线方程为 2x+3y+1=0 .
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系.
【分析】设与直线2x+3y﹣6=0平行的直线方程为2x+3y+m=0,把点(1,﹣1)代入解出m即可得出.
设与直线2x+3y﹣6=0平行的直线方程为2x+3y+m=0,
把点(1,﹣1)代入可得:
2﹣3+m=0,解得m=﹣.
因此所求的直线方程为:
2x+3y+1=0,
故答案为2x+3y+1=0.
【点评】本题考查了相互平行的直线斜率之间的关系,属于基础题.
14.α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:
其中正确的命题有 ①③ ;
【分析】①由面面平行的性质定理判定真假;
②可能n⊂α,即可判断出真假;
③利用线面垂直的性质定理即可判断出真假;
④由已知可得α与β相交或平行,即可判断出真假.
①由面面平行的性质定理可得:
①为真命题;
②可能n⊂α,因此是假命题;
③如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n,是真命题;
④如果m⊥n,m⊥α,则n∥α或n⊂α,又n∥β,那么α与β相交或平行,因此是假命题.
综上可得:
只有①③是真命题.
故答案为:
①③.
【点评】本题考查了空间线面面面位置关系的判定及其性质定理,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
15.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是 (x﹣1)2+(y﹣1)2=2 .
【考点】圆的标准方程.
【分析】由两点间的距离公式求出圆心到原点的距离,即圆的半径,代入圆的标准方程得答案.
∵所求圆经过坐标原点,且圆心(1,1)与原点的距离为r=
∴所求圆的方程为(x﹣1)2+(y﹣1)2=2.
(x﹣1)2+(y﹣1)2=2.
【点评】本题考查圆的标准方程,关键是熟记圆的标准方程的形式,是基础题.
16.我国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器﹣﹣商鞅铜方升,其三视图如图所示(单位:
寸),若π取3,其体积为12.6(立方寸),则图中的x为 1.6 寸.
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;
由三视图求面积、体积.
【分析】由三视图知,商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成.利用体积求出x.
由三视图知,商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成.由题意得:
1,
(5.4﹣x)×
3×
1+π•
(2)2x=12.6,x=1.6.
1.6
【点评】本题考查的知识点是棱柱的体积和表面积,圆柱的体积和表面积,简单几何体的三视图,难度基础.
17.(16分)(2016秋•金台区期末)如图(单位:
【考点】组合几何体的面积、体积问题.
【分析】旋转后几何体是一个圆台,从上面挖去一个半球,根据数据可求其表面积和体积.
由题意知,所求旋转体的表面积由三部分组成:
圆台下底面、侧面和一半球面
S半球=8π,S圆台侧=35π,S圆台底=25π.
故所求几何体的表面积为68π(7分)
由
,(9分)
(11分)
所以,旋转体的体积为
(12分)
【点评】本题考查组合体的面积、体积问题,考查空间想象能力,数学公式的应用,是中档题.
18.(16分)(2016秋•金台区期末)直线l的方程为(a+1)x+y+2﹣a=0(a∈R).
【分析】
(1)通过讨论2﹣a是否为0,求出a的值即可;
(2)根据一次函数的性质判断a的范围即可.
(1)当直线过原点时,该直线在x轴和y轴上的截距为零,当然相等,
∴a=2,方程即3x+y=0;
(2分)
若a≠2,则
=a﹣2,即a+1=1,
∴a=0 即方程为x+y+2=0,
∴a的值为0或2.(6分)
(2)∵过原点时,y=﹣3x经过第二象限不合题意,
∴直线不过原点(10分)
∴a≤﹣1.(12分)
【点评】本题考查了直线方程问题,考查分类讨论,是一道基础题.
19.(17分)(2016•北京)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC.
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系;
平面与平面之间的位置关系.
(1)利用线面垂直的判定定理证明DC⊥平面PAC;
(2)利用线面垂直的判定定理证明AB⊥平面PAC,即可证明平面PAB⊥平面PAC;
(3)在棱PB上存在中点F,使得PA∥平面CEF.利用线面平行的判定定理证明.
【解答】
(1)证明:
∵PC⊥平面ABCD,DC⊂平面ABCD,
∴PC⊥DC,
∵DC⊥AC,PC∩AC=C,
∴DC⊥平面PAC;
(2)证明:
∵AB∥DC,DC⊥AC,
∴AB⊥AC,
∵PC⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,
∴PC⊥AB,
∵PC∩AC=C,
∴AB⊥平面PAC,
∵AB⊂平面PAB,
∴平面PAB⊥平面PAC;
(3)解:
在棱PB上存在中点F,使得PA∥平面CEF.
∵点E为AB的中点,
∴EF∥PA,
∵PA⊄平面CEF,EF⊂平面CEF,
∴PA∥平面CEF.
【点评】本题考查线面平行与垂直的证明,考查平面与平面垂直的证明,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
20.(17分)(2016秋•金台区期末)如图所示,在Rt△ABC中,已知A(﹣2,0),直角顶点
(1)求出圆心为(1,0),半径为3,即可求Rt△ABC外接圆的方程;
(2)设所求直线方程为y=kx+3,即kx﹣y+3=0,当圆与直线相切时,有
,即可求过点(0,3)且与Rt△ABC外接圆相切的直线的方程.
(1)由题意可知点C在x轴的正半轴上,可设其坐标为(a,0),
又AB⊥BC,则kAB•kBC=﹣1,…
即
,解得a=4.…(6分)
则所求圆的圆心为(1,0),半径为3,故所求圆的方程为(x﹣1)2+y2=9.…(9分)
(2)由题意知直线的斜率存在,
故设所求直线方程为y=kx+3,即kx﹣y+3=0.…(12分)
当圆与直线相切时,有
,解得k=0,或
…(15分)
故所求直线方程为y=3或
,即y﹣3=0或3x﹣4y+12=0.…(17分)
【点评】本题考查圆的方程,考查直线与圆的位置关系,考查学生的计算能力,属于中档题.
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