探究广东中考数学压轴题动点问题文档格式.docx
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例1(2014•广东)25.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC
1.温馨
创
于点D,BC=10cm,AD=8cm.点P从点B出发,在线段BC
提示:
设
上以每秒3cm的速度向点C匀速运动,与此同时,垂直于
直角三
情
AD的直线m从底边BC出发,以每秒2cm的速度沿DA方
角形的
景
向匀速平移,分别交AB、AC、AD于E、F、H,当点P到达
性质:
点C时,点P与直线m同时停止运动,设运动时间为t秒
有一个
探究新知
(t>0).
角为
90︒。
2.思路点拨:
抓住瞬间,确定图形
1.回忆菱形的定义并证明。
1、创设情景
(1)当t=2时,连接DE、DF,求证:
四边形AEDF为菱形;
(2)在整个运动过程中,所形成的△PEF的面积存在最大值,当△PEF的面积最大时,求线段BP的长;
(3)是否存在某一时刻t,使△PEF为直角三角形?
若存在,请求出此时刻t的值;
若不存在,请说明理由.
解:
(1)证明:
当t=2时,DH=AH=2,则H为AD的中点,如答图1所示.
图1
(2)如答图2所示,由
(1)知EF∥BC,
∴△AEF∽△ABC,
∴
,即
,解得:
EF=10﹣
t.
S△PEF=
EF•DH=(10﹣t)•2t=﹣t2+10t=﹣t﹣2)2+10
∴当t=2秒时,S△PEF存在最大值,最大值为10,此时BP=3t=6.
3.利用网络画板进行动态演示,在某一时刻静止让学生观察图形的特点。
如左边图1-图3
所示。
4.引导学生思考:
如何求三角形的面积最大值?
2.仔细观察网络画板中动态图形,画出静止时的图形,并将相关线段用含有t式子表示出来。
3.派生新问题1:
求三角形面积关键找出哪些量?
如何求面积最大值?
图2
(3)存在.理由如下:
①若点E为直角顶点,如答图3-①所示,此时PE∥AD,PE=DH=2t,BP=3t.
∵PE∥AD,∴
,此比例式不成立,故此种情形不存在;
图3-①
②若点F为直角顶点,如答图3-②所示,
此时PE∥AD,PF=DH=2t,BP=3t,CP=10﹣3t.
∵PF∥AD,∴
,解得t=
;
5.利用直角三角形的性质解决问题。
4.小组探究点P在线段BC上运动所形成的几种情况,根据画出的图形、表示有t的式子。
图3-②
③若点P为直角顶点,如答图3-③所示.
过点E作EM⊥BC于点M,过点F作FN⊥BC于点N,则EM=FN=DH=2t,EM∥FN∥AD.
∵EM∥AD,∴
,解得BM=
t,
∴PM=BP﹣BM=3t﹣t=t.
在Rt△EMP中,由勾股定理得:
PE2=EM2+PM2=(2t)2+(
t)2=
t2.
∵FN∥AD,∴
,解得CN=
∴PN=BC﹣BP﹣CN=10﹣3t﹣t=10﹣t.
在Rt△FNP中,由勾股定理得:
PF2=FN2+PN2=(2t)2+(10
﹣
t2﹣85t+100.
在Rt△PEF中,由勾股定理得:
EF2=PE2+PF2,
即:
(10﹣
t)2=(
t2)+(
t2﹣85t+100)
化简得:
t2﹣35t=0,
280
解得:
t=或t=0(舍去)
233
∴t=.
5.派生新问题2:
分类讨论的过程如何确定分类的标准,且做到“不重不漏”?
综上所述,当t=
秒或t=
图3-③
秒时,△PEF为直角三角形.
探
究
新
知
(2017年广东改编)25.如题25图,在平面直角坐
标系中,O为原点,四边形ABCO是矩形,点A、C
2、变式
的坐标分别是A(0,2)和C(23,0),点D是对角线AC
上一动点(不与A、C重合),连结BD,作DE⊥DB,
1.温馨提示:
1.观察图形的特
训
交x轴于点E,以线段DE、DB为邻边作矩形BDEF.
等腰三
点,再利
练
(1)填空:
点B的坐标为;
用例1中
巩固新
(2)是否存在这样的点D,使得△DEC是等腰三角形?
若存在,请求出AD的长度;
若不存在,请说明理由;
腰相等、底
角相
得到方法,尽可能的画出
静止时的
等、三
图形,利
线合一。
用等腰三角形的性质解决问题。
(1)(23,2)
(2)存在
理由:
①如图1若ED=EC
由题知:
∠ECD=∠EDC=30°
∵DE⊥DB
∴∠BDC=60°
∵∠BCD=90°
-∠ECD=60°
∴△BDC是等边三角形,CD=BD=BC=2
2.让学生讲解画图—
——引
导其讲
2.小组合作探究点P在AC上运动所形成等腰三
2、变式训练
巩固新知
∴AC=OA2+OC2=4
∴AD=AC-CD=4-2=2
②如图2若CD=CE
依题意知:
∠ACO=30°
,∠CDE=∠CED=15°
∵DE⊥DB,∠DBE=90°
∴∠ADB=180°
-∠ADB-∠CDE=75°
∵∠BAC=∠OCA=30°
∴∠ABD=180°
-∠ADB-∠BAC=75°
∴△ABD是等腰三角形,AD=AB=23
解等量关系是:
腰相等—
—计算证明。
3、根据学生的
角形的几种情况。
3.小组汇报探究成
③:
若DC=DE则∠DEC=∠DCE=30°
或
∠DEC=∠DCE=150°
∴∠DEC>
90°
,不符合题意,舍去
汇报,教师引
导,从
果。
综上所述:
AD的值为2或者23,△CDE为等腰三角形.
而引出
角形分
类讨论
的标
准。
专题二:
两个动点:
图形中有两个动点的情况
3、自主探
例2、(2018年广东)已知Rt∆OAB,∠OAB=90︒,
∠ABO=30︒,斜边OB=4,将Rt∆OAB绕点O顺时针旋转60︒,如题25-1图,连接BC.
∠OBC=°
1.温馨提示:
含
有30
1.对于第一道题快速解决即
可。
小组合作
(2)如题25-1图,连接AC,作OP⊥AC,垂足为P,求OP的长度;
(3)如题25-2图,点M,N同时从点O出发,在∆OCB
度的直角三角形的性质。
3、自主探究
边上运动,M沿O→C→B路径匀速运动,N沿
O→B→C路径匀速运动,当两点相遇时运动停止,已知点M的运动速度为1.5单位/秒,点N的运动速度为
1单位/秒,设运动时间为x秒,∆OMN的面积为y,求当x为何值时y取得最大值?
最大值为多少?
(1)60.
(2)如答25—1图由旋转得到OB=OC,
∠OBC=60︒
∴∆OBC为等边三角形
∴BC=4
∠ABO=30︒答25—1图
∴OA=1OB=2,AB=3OB=23
22
∴AC=AB2+BC2=27
AB3
sin∠ACB=AC=7
∴sin∠PAO=sin∠ACB=3
7
∴OP=3
OA7
∴OP=3OA=23(或221)
777
2.利用网络画板演示动态图形,让学生能感知静态时的图形.
3.对于第
(3)题:
让学生讲解画图,提醒学生注意两个动点的速度问题。
4.引导其分类讨论点N、点M所在的位置;
同时要注意根据t的取值范围求三角形面积的最大值。
2.画出静态时图形。
(两名学生在黑板上板演)
3.讨论点点N、点M所在的位置共有几种情况
(小组合作探究)。
4.用代数式表示图中有用的线段(学生讲解)如:
答25-1图+
分析所示
(下同)
(3)分析:
ON=x,ON边上的高=OM⋅sin∠MON
①当0≤x≤8时如答25-2图
3
点M在边OC上,点N在边OB上
答25-2图
ON边上的高为OMsin∠MON
∴y=1∙ON∙OMsin∠MON
2
=1∙x∙3xsin60︒22
=33x2
8
∴x=8时,y=83
3max3
②分析:
ON=x,ON边上的高=BM⋅sin∠MBN
当≤x≤4如:
答25--3图
点M在边BC上,点N在边OB上
5.派生新问题3:
3种情况t的取值范围怎样确定?
如答25-2图+分析所示
ON边上的高为BM⋅sin∠MBN
∴y=1∙ON∙BMsin∠MBN
=1∙x∙(8-3x)sin60︒22
=3x(16-3x)8
=-33(x-8)2+83
833
5
③分析:
MN=12-x,MN边上的高=AB2
24
当4≤x≤时,如答25--4图
点M、N均在边BC上.
∴MN=12-5x
MN边上的高等于AB
∴y=1∙MN∙AB
6.找出等量关系
(锐角三角函数关系),构建方程模型,完成几种情况的解答。
3、
=1∙(12-5x)∙23
=3∙(24-5x)
∴x=4时,y=83
max3
答25--4图
综述所述,当x=8时,y=83
自
主
如答25-4
小
图+分析
组
所示
合
作
4、变
(2015年广东)如题25图,在同一平面上,两块斜边相等的直角三角板Rt△ABC与Rt△ADC拼在一起,使斜边AC完全重合,且顶点B,D分别在AC的两旁,∠ABC=∠ADC=90°
,∠CAD=30°
,AB=BC=4cm.
(1)填空:
AD=(cm),DC=(cm);
(2)点M,N分别从A点,C点同时以每秒1cm
的速度等速出发,且分别在AD,CB上沿A→D,C
→B的方向运动,当N点运动到B点时,M,N两点同时停止运动,连结MN,求当M,N点运动了x秒时,点N到AD的距离(用含x的式子表示);
1.温
馨提
1.利用勾股定理
拓
示:
三
列式求出
角板的
AC,然后
性质。
利用
∠ACD的
粤
正弦和余
弦分别求
出AD,
DC.
4、变拓训练
粤拓粤新
(3)在
(2)的条件下,取DC中点P,连结MP,NP,设△PMN的面积为y(cm2),在整个运动过程中,
△PMN的面积y存在最大值,请求出这个
最大值.
(参考数据:
sin75=6+2,sin15°
=6-2)
44
注:
线段NE、NF为解题所作的辅助线。
(1)26;
22;
(2)如图,过点N作NE⊥AD于E,作NF⊥DC延
长线于F,
则NE=DF.
∵∠ACD=60°
,∠ACB=45°
,
∴∠NCF=75°
,∠FNC=15°
∴sin15°
=FC,又NC=x,
NC
∴FC=6-2x,
4
∴NE=DF=6-2x+22.
∴点N到AD的距离为6-2x+22cm;
(3)∵sin75°
=FN,∴FN=6+2x.
NC4
∵PD=CP=2,
∴PF=6-2x+2.
∴
2.引导学生利用勾股定理和锐角三角函数求线段。
2.根据三角板的性质求出
∠FNC和
∠NCF的度数,然后利用
∠FNC的正弦求出FC,再利用线段FC+DC
得到点
N到AD
的距离。
3.利用
∠NCF的正弦求出FN,再根据
PD=CP
得出PF。
y=1(6+2x+26-x)(6-2x+22)-1(26-x)⨯2-1(6-2x+2)
244224
·
(6+2x)4
即y=2-6x2+7-3-22x+23,
84
7-3-22
当x=-4=7-3-22时,y有最大值为
2⨯2-66-2
66+73-102-30.
42-46
5、
勇于探索
小结提升
运用思维导图展示知识结构图以及师生活动
5、勇
知识结构图
师生活动
于
索
结
提
升
(广东省2003年中考试题最后一题)在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°
,O为BC的中点。
(1)写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C距离的大小关系。
(2)如果点M、N分别在线段AB、AC上移动,移动中保持AN=BM,请判断△OMN的形状,并证明你的结论。
点评:
6、课后延
伸
本题是代数、几何的高度综
合;
着
根据本节课大类习题的共性:
以形为载
力于数
体,研究
自我发
展
学本质及核心内容的
考查;
数量关系;
通过设、表、
列获得函
四大数学思想:
数形结合、分类讨论、方程、函
数.
数关系式;
研究特殊情况下的函数值.
八、设计说明
1、本节课设计充分结合学生的已有知识以及生活经验,利用网络画板展示动态图形,增加问题的直观性,引导学生去探究。
在看得见,画得出的图形探究过程中,引发学生兴趣,提炼数学的本质。
2、本节课的设计旨在培养学生的数学思维,以展示动态图形中抓住关键瞬间,化“动”为静,在画出静止图形的过程中,逐渐提炼出数形结合的方法和转化的思想,并和学生一起概括出求三角形面积及求其最大值的方法,通过让学生探索直角三角形和等腰三角形成立的条件,使学生在独立思考,小组交流中体会出分类讨论的标准。
在“变题训练、课后延伸”的练习中,学生及时应用所学的方法和思想,巩固提高。
引用的三个习题,题题相扣,体现了基础训练与探索性、思维性训练相结合的习题体系。
使学生的思维品质在质疑的过程中不断升华和发展,培养思维的严谨性和造创性。
3、本节课的设计以情景创设为背景,以教师为主导,学生为主体,力求体现知识的形成过程。
4、在课堂中,尽量为学生提供“看中学”、“想中学”、“画中学”、“动中学”的空间。
借助已有的知识和方法主动探索新知识,扩大认知结构,发展能力,从而使课堂教学真正落实到学生的发展上。
九、教学评价设计
课程基本结束时,指导学生进行教学评价。
明确评价的具体内容,以学生自评为主,学生互评,教师评价为辅。
肯定优点的同时,指出问题所在,以及改进建议等
附:
学生自评表
内容项目
知识目标
能力目标
情感态度与价值观
得分
创设情景探究新知
变式训练巩固新知
自主探究小组合作
变拓训练粤拓粤新
勇于探究小结提升
课后延伸自我发展
合计
15
25
20
十、帮助和总结
教学过程中,主要采用口头指出、板书分析,在线网络画板演示三种方式对学生进行帮助和指导,争取让学生在每个环节中都能够达到要求。
但就第4环节而言,学生很难均达到理想效果,诸如此类问题,采取个别对待的方法,使他们就其实际情况尽可能达到更加程度。
最后做出总结,说明本节课的成功及遗憾之处,同时拓宽空间思维,令学生有激
情地进行课后的调整和探究。
我们需要不断的学习,丰富我们的知识面,学到老,是我们良好的生活态度!
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- 关 键 词:
- 探究 广东 中考 数学 压轴 题动点 问题