全国卷3数学.docx
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全国卷3数学
2016年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅲ)
学校:
________班级:
________姓名:
________学号:
________
一、单选题(共12小题)
1.设集合S={x|(x﹣2)(x﹣3)≥0},T={x|x>0},则S∩T=( )
A.[2,3]B.(﹣∞,2]∪[3,+∞)
C.[3,+∞)D.(0,2]∪[3,+∞)
2.若z=1+2i,则
=( )
A.1B.﹣1C.iD.﹣i
3.已知向量
=(
,
),
=(
,
),则∠ABC=( )
A.30°B.45°C.60°D.120°
4.某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图,图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃,B点表示四月的平均最低气温约为5℃,下面叙述不正确的是( )
A.各月的平均最低气温都在0℃以上
B.七月的平均温差比一月的平均温差大
C.三月和十一月的平均最高气温基本相同
D.平均最高气温高于20℃的月份有5个
5.若tanα=
,则cos2α+2sin2α=( )
A.
B.
C.1D.
6.已知a=
,b=
,c=
,则( )
A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b
7.执行如图程序框图,如果输入的a=4,b=6,那么输出的n=( )
A.3B.4C.5D.6
8.在△ABC中,B=
,BC边上的高等于
BC,则cosA等于( )
A.
B.
C.﹣
D.﹣
9.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为( )
A.18+36
B.54+18
C.90D.81
10.在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球,若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是( )
A.4πB.
C.6πD.
11.已知O为坐标原点,F是椭圆C:
+
=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴,过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
12.定义“规范01数列”{an}如下:
{an}共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k≤2m,a1,a2,…,ak中0的个数不少于1的个数,若m=4,则不同的“规范01数列”共有( )
A.18个B.16个C.14个D.12个
二、填空题(共4小题)
13.若x,y满足约束条件
,则z=x+y的最大值为 .
14.函数y=sinx﹣
cosx的图象可由函数y=sinx+
cosx的图象至少向右平移 个单位长度得到.
15.已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=ln(﹣x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,﹣3)处的切线方程是 .
16.已知直线l:
mx+y+3m﹣
=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,若|AB|=2
,则|CD|= .
三、解答题(共8小题)
17.已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan,其中λ≠0.
(1)证明{an}是等比数列,并求其通项公式;
(2)若S5=
,求λ.
18.如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:
亿吨)的折线图.
注:
年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014.
(Ⅰ)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系,请用相关系数加以证明;
(Ⅱ)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01),预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.
附注:
参考数据:
yi=9.32,
tiyi=40.17,
=0.55,
≈2.646.
参考公式:
相关系数r=
,
回归方程
=
+
t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
=
,
=
﹣
.
19.如图,四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.
(1)证明:
MN∥平面PAB;
(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.
20.已知抛物线C:
y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.
(Ⅰ)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明AR∥FQ;
(Ⅱ)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.
21.设函数f(x)=acos2x+(a﹣1)(cosx+1),其中a>0,记|f(x)|的最大值为A.
(Ⅰ)求f′(x);
(Ⅱ)求A;
(Ⅲ)证明:
|f′(x)|≤2A.
22.如图,⊙O中
的中点为P,弦PC,PD分别交AB于E,F两点.
(1)若∠PFB=2∠PCD,求∠PCD的大小;
(2)若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G,证明:
OG⊥CD.
23.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为
(α为参数),以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin(θ+
)=2
.
(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;
(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.
24.已知函数f(x)=|2x﹣a|+a.
(1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;
(2)设函数g(x)=|2x﹣1|,当x∈R时,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围.
2016年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅲ)
参考答案
一、单选题(共12小题)
1.【分析】求出S中不等式的解集确定出S,找出S与T的交集即可.
【解答】解:
由S中不等式解得:
x≤2或x≥3,即S=(﹣∞,2]∪[3,+∞),
∵T=(0,+∞),
∴S∩T=(0,2]∪[3,+∞),
故选:
D.
【知识点】交集及其运算
2.【分析】利用复数的乘法运算法则,化简求解即可.
【解答】解:
z=1+2i,则
=
=
=i.
故选:
C.
【知识点】复数代数形式的乘除运算
3.【分析】根据向量
的坐标便可求出
,及
的值,从而根据向量夹角余弦公式即可求出cos∠ABC的值,根据∠ABC的范围便可得出∠ABC的值.
【解答】解:
,
;
∴
;
又0°≤∠ABC≤180°;
∴∠ABC=30°.
故选:
A.
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
4.【分析】根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图进行推理判断即可.
【解答】解:
A.由雷达图知各月的平均最低气温都在0℃以上,正确
B.七月的平均温差大约在10°左右,一月的平均温差在5°左右,故七月的平均温差比一月的平均温差大,正确
C.三月和十一月的平均最高气温基本相同,都为10°,正确
D.平均最高气温高于20℃的月份有7,8两个月,故D错误,
故选:
D.
【知识点】进行简单的合情推理
5.【分析】将所求的关系式的分母“1”化为(cos2α+sin2α),再将“弦”化“切”即可得到答案.
【解答】解:
∵tanα=
,
∴cos2α+2sin2α=
=
=
=
.
故选:
A.
【知识点】三角函数的恒等变换及化简求值
6.【分析】a=
=
,b=
,c=
=
,结合幂函数的单调性,可比较a,b,c,进而得到答案.
【解答】解:
∵a=
=
,
b=
=(22)
=
<
<a,
c=
=
>
=
=a,
综上可得:
b<a<c,
故选:
A.
【知识点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用
7.【分析】模拟执行程序,根据赋值语句的功能依次写出每次循环得到的a,b,s,n的值,当s=20时满足条件s>16,退出循环,输出n的值为4.
【解答】解:
模拟执行程序,可得
a=4,b=6,n=0,s=0
执行循环体,a=2,b=4,a=6,s=6,n=1
不满足条件s>16,执行循环体,a=﹣2,b=6,a=4,s=10,n=2
不满足条件s>16,执行循环体,a=2,b=4,a=6,s=16,n=3
不满足条件s>16,执行循环体,a=﹣2,b=6,a=4,s=20,n=4
满足条件s>16,退出循环,输出n的值为4.
故选:
B.
【知识点】程序框图
8.【分析】作出图形,令∠DAC=θ,依题意,可求得cosθ=
=
=
,sinθ=
,利用两角和的余弦即可求得答案.
【解答】解:
设△ABC中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c,AD⊥BC于D,令∠DAC=θ,
∵在△ABC中,B=
,BC边上的高AD=h=
BC=
a,
∴BD=AD=
a,CD=
a,
在Rt△ADC中,cosθ=
=
=
,故sinθ=
,
∴cosA=cos(
+θ)=cos
cosθ﹣sin
sinθ=
×
﹣
×
=﹣
.
故选:
C.
【知识点】三角形中的几何计算
9.【分析】由已知中的三视图可得:
该几何体是一个斜四棱柱,进而得到答案.
【解答】解:
由已知中的三视图可得,该几何体是一个斜四棱柱,如图所示:
其上底面和下底面面积为:
3×3×2=18,
侧面的面积为:
(3×6+3×
)×2=18+18
,
故棱柱的表面积为:
18×2+18+18
=54+18
.
故选:
B.
【知识点】由三视图求面积、体积
10.【分析】根据已知可得直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为
,代入球的体积公式,可得答案.
【解答】解:
∵AB⊥BC,AB=6,BC=8,
∴AC=10.
故三角形ABC的内切圆半径r=
=2,
又由AA1=3,
故直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为
,
此时V的最大值
=
,
故选:
B.
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
11.【分析】由题意可得F,A,B的坐标,设出直线AE的方程为y=k(x+a),分别令x=﹣c,x=0,可得M,E的坐标,再由中点坐标公式可得H的坐标,运用三点共线的条件:
斜率相等,结合离心率公式,即可得到所求值.
【解答】解:
由题意可设F(﹣c,0),A(﹣a,0),B(a,0),
设直线AE的方程为y=k(x+a),
令x=﹣c,可得M(﹣c,k(a﹣c)),令x=0,可得E(0,ka),
设OE的中点为H,可得H(0,
),
由B,H,M三点共线,可得kBH=kBM,
即为
=
,
化简可得
=
,即为a=3c,
可得e=
=
.
另解:
由△AMF∽△AEO,
可得
=
,
由△BOH∽△BFM,
可得
=
=
,
即有
=
即a=3c,
可得e=
=
.
故选:
A.
【知识点】椭圆的简单性质
12.【分析】由新定义可得,“规范01数列”有偶数项2m项,且所含0与1的个数相等,首项为0,末项为1,当m=4时,数列中有四个0和四个1,然后一一列举得答案.
【解答】解:
由题意可知,“规范01数列”有偶数项2m项,且所含0与1的个数相等,首项为0,末项为1,若m=4,说明数列有8项,满足条件的数列有:
0,0,0,0,1,1,1,1;0,0,0,1,0,1,1,1;0,0,0,1,1,0,1,1;0,0,0,1,1,1,0,1;0,0,1,0,0,1,1,1;
0,0,1,0,1,0,1,1;0,0,1,0,1,1,0,1;0,0,1,1,0,1,0,1;0,0,1,1,0,0,1,1;0,1,0,0,0,1,1,1;
0,1,0,0,1,0,1,1;0,1,0,0,1,1,0,1;0,1,0,1,0,0,1,1;0,1,0,1,0,1,0,1.共14个.
故选:
C.
【知识点】数列的应用
二、填空题(共4小题)
13.【分析】首先画出平面区域,然后将目标函数变形为直线的斜截式,求在y轴的截距最大值.
【解答】解:
不等式组表示的平面区域如图阴影部分,当直线经过D点时,z最大,
由
得D(1,
),
所以z=x+y的最大值为1+
;
故答案为:
.
【知识点】简单线性规划
14.【分析】令f(x)=sinx+
cosx=2sin(x+
),则f(x﹣φ)=2sin(x+
﹣φ),依题意可得2sin(x+
﹣φ)=2sin(x﹣
),由
﹣φ=2kπ﹣
(k∈Z),可得答案.
【解答】解:
∵y=f(x)=sinx+
cosx=2sin(x+
),y=sinx﹣
cosx=2sin(x﹣
),
∴f(x﹣φ)=2sin(x+
﹣φ)(φ>0),
令2sin(x+
﹣φ)=2sin(x﹣
),
则
﹣φ=2kπ﹣
(k∈Z),
即φ=
﹣2kπ(k∈Z),
当k=0时,正数φmin=
,
故答案为:
.
【知识点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换
15.【分析】由偶函数的定义,可得f(﹣x)=f(x),即有x>0时,f(x)=lnx﹣3x,求出导数,求得切线的斜率,由点斜式方程可得切线的方程.
【解答】解:
f(x)为偶函数,可得f(﹣x)=f(x),
当x<0时,f(x)=ln(﹣x)+3x,即有
x>0时,f(x)=lnx﹣3x,f′(x)=
﹣3,
可得f
(1)=ln1﹣3=﹣3,f′
(1)=1﹣3=﹣2,
则曲线y=f(x)在点(1,﹣3)处的切线方程为y﹣(﹣3)=﹣2(x﹣1),
即为2x+y+1=0.
故答案为:
2x+y+1=0.
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
16.【分析】先求出m,可得直线l的倾斜角为30°,再利用三角函数求出|CD|即可.
【解答】解:
由题意,|AB|=2
,∴圆心到直线的距离d=3,
∴
=3,
∴m=﹣
∴直线l的倾斜角为30°,
∵过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,
∴|CD|=
=4.
故答案为:
4.
【知识点】直线与圆相交的性质
三、解答题(共8小题)
17.【分析】
(1)根据数列通项公式与前n项和公式之间的关系进行递推,结合等比数列的定义进行证明求解即可.
(2)根据条件建立方程关系进行求解就可.
【解答】解:
(1)∵Sn=1+λan,λ≠0.
∴an≠0.
当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=1+λan﹣1﹣λan﹣1=λan﹣λan﹣1,
即(λ﹣1)an=λan﹣1,
∵λ≠0,an≠0.∴λ﹣1≠0.即λ≠1,
即
=
,(n≥2),
∴{an}是等比数列,公比q=
,
当n=1时,S1=1+λa1=a1,
即a1=
,
∴an=
•(
)n﹣1.
(2)若S5=
,
则若S5=1+λ[
•(
)4]=
,
即(
)5=
﹣1=﹣
,
则
=﹣
,得λ=﹣1.
【知识点】等比数列、数列递推式
18.【分析】
(1)由折线图看出,y与t之间存在较强的正相关关系,将已知数据代入相关系数方程,可得答案;
(2)根据已知中的数据,求出回归系数,可得回归方程,2016年对应的t值为9,代入可预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.
【解答】解:
(1)由折线图看出,y与t之间存在较强的正相关关系,理由如下:
∵r=
=
≈
≈
≈0.993,
∵0.993>0.75,
故y与t之间存在较强的正相关关系;
(2)
=
=
≈
≈0.103,
=
﹣
≈1.331﹣0.103×4≈0.92,
∴y关于t的回归方程
=0.10t+0.92,
2016年对应的t值为9,
故
=0.10×9+0.92=1.82,
预测2016年我国生活垃圾无害化处理量为1.82亿吨.
【知识点】线性回归方程
19.【分析】
(1)法一、取PB中点G,连接AG,NG,由三角形的中位线定理可得NG∥BC,且NG=
,再由已知得AM∥BC,且AM=
BC,得到NG∥AM,且NG=AM,说明四边形AMNG为平行四边形,可得NM∥AG,由线面平行的判定得到MN∥平面PAB;
法二、证明MN∥平面PAB,转化为证明平面NEM∥平面PAB,在△PAC中,过N作NE⊥AC,垂足为E,连接ME,由已知PA⊥底面ABCD,可得PA∥NE,通过求解直角三角形得到ME∥AB,由面面平行的判定可得平面NEM∥平面PAB,则结论得证;
(2)连接CM,证得CM⊥AD,进一步得到平面PNM⊥平面PAD,在平面PAD内,过A作AF⊥PM,交PM于F,连接NF,则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角.然后求解直角三角形可得直线AN与平面PMN所成角的正弦值.
【解答】
(1)证明:
法一、如图,取PB中点G,连接AG,NG,
∵N为PC的中点,
∴NG∥BC,且NG=
,
又AM=
,BC=4,且AD∥BC,
∴AM∥BC,且AM=
BC,
则NG∥AM,且NG=AM,
∴四边形AMNG为平行四边形,则NM∥AG,
∵AG⊂平面PAB,NM⊄平面PAB,
∴MN∥平面PAB;
法二、
在△PAC中,过N作NE⊥AC,垂足为E,连接ME,
在△ABC中,由已知AB=AC=3,BC=4,得cos∠ACB=
,
∵AD∥BC,
∴cos
,则sin∠EAM=
,
在△EAM中,
∵AM=
,AE=
,
由余弦定理得:
EM=
=
,
∴cos∠AEM=
,
而在△ABC中,cos∠BAC=
,
∴cos∠AEM=cos∠BAC,即∠AEM=∠BAC,
∴AB∥EM,则EM∥平面PAB.
由PA⊥底面ABCD,得PA⊥AC,又NE⊥AC,
∴NE∥PA,则NE∥平面PAB.
∵NE∩EM=E,
∴平面NEM∥平面PAB,则MN∥平面PAB;
(2)解:
在△AMC中,由AM=2,AC=3,cos∠MAC=
,得CM2=AC2+AM2﹣2AC•AM•cos∠MAC=
.
∴AM2+MC2=AC2,则AM⊥MC,
∵PA⊥底面ABCD,PA⊂平面PAD,
∴平面ABCD⊥平面PAD,且平面ABCD∩平面PAD=AD,
∴CM⊥平面PAD,则平面PNM⊥平面PAD.
在平面PAD内,过A作AF⊥PM,交PM于F,连接NF,则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角.
在Rt△PAC中,由N是PC的中点,得AN=
=
,
在Rt△PAM中,由PA•AM=PM•AF,得AF=
,
∴sin
.
∴直线AN与平面PMN所成角的正弦值为
.
【知识点】直线与平面所成的角、直线与平面平行的判定
20.【分析】(Ⅰ)连接RF,PF,利用等角的余角相等,证明∠PRA=∠PQF,即可证明AR∥FQ;
(Ⅱ)利用△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求出N的坐标,利用点差法求AB中点的轨迹方程.
【解答】(Ⅰ)证明:
连接RF,PF,
由AP=AF,BQ=BF及AP∥BQ,得∠AFP+∠BFQ=90°,
∴∠PFQ=90°,
∵R是PQ的中点,
∴RF=RP=RQ,
∴△PAR≌△FAR,
∴∠PAR=∠FAR,∠PRA=∠FRA,
∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR,
∴∠FQB=∠PAR,
∴∠PRA=∠PQF,
∴AR∥FQ.
(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),
F(
,0),准线为x=﹣
,
S△PQF=
|PQ|=
|y1﹣y2|,
设直线AB与x轴交点为N,
∴S△ABF=
|FN||y1﹣y2|,
∵△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,
∴2|FN|=1,∴xN=1,即N(1,0).
设AB中点为M(x,y),由
得
=2(x1﹣x2),
又
=
,
∴
=
,即y2=x﹣1.
∴AB中点轨迹方程为y2=x﹣1.
【知识点】轨迹方程、抛物线的简单性质
21.【分析】(Ⅰ)根据复合函数的导数公式进行求解即可求f′(x);
(Ⅱ)讨论a的取值,利用分类讨论的思想方法,结合换元法,以及一元二次函数的最值的性质进行求解;
(Ⅲ)由(I),结合绝对值不等式的性质即可证明:
|f′(x)|≤2A.
【解答】(I)解:
f′(x)=﹣2asin2x﹣(a﹣1)sinx.
(II)当a≥1时,|f(x)|=|acos2x+(a﹣1)(cosx+1)|≤a|cos2x|+(a﹣1)|(cosx+1)|≤a|cos2x|+(a﹣1)(|cosx|+1)|≤a+2(a﹣1)=3a﹣2=f(0),因此A=3a﹣2.
当0<a<1时,f(x)=acos2x+(a﹣1)(cosx+1)=2acos2x+(a﹣1)cosx﹣1,
令g(t)=2at2+(a﹣1)t﹣1,
则A是|g(t)|在[﹣1,1]上的最大值,g(﹣1)=a,g
(1)=3a﹣2,
且当t=
时,g(t)取得极小值,极小值为g(
)=﹣
﹣1=﹣
,(二次函数在对称轴处取得极值)
令﹣1<
<1,得a<
(舍)或a>
.
①当0<a≤
时,g(t)在(﹣1,1)内无极值点,|g(﹣1)|=a,|g
(1)|=2﹣3a,|g(﹣1)|<|g
(1)|,
∴A=2﹣3a,
②当
<a<1时,由g(﹣1)﹣g
(1)=2(1﹣a)>0,得g(﹣1)>g
(1)>g(
),
又|g(
)|﹣|g(﹣1)|=
>0,
∴A=|g(
)|=
,
综上,A=
.
(III)证明:
由(I)可得:
|f′(x)|=|﹣2asin2x﹣(a﹣1)sinx|≤2a+|a﹣1|,
当0<a≤
时,|f′(x)|<1+a≤2﹣4a<2(2﹣3a)=2A,
当
<a<1时,A=
=
+
+
>1,
∴|f′(x)|≤1+a≤2A,
当a≥1时,|f′(x)|≤3a﹣1≤6a﹣4=2A,
综上:
|f′(x)|≤2A.
【知识点】利用导数研究函数的单调性
22.【分析】
(1)连接PA,PB,BC,设∠PEB=∠1,∠PCB=∠2,∠ABC=∠3,∠PBA=∠4,∠PAB=∠5,运用圆的性质和四点共圆的判断,可得E,C,D,F共圆,再由圆内接四边形的性质,即可得到所求∠PCD的度数;
(2)运用圆的定义和E,C,D,F共圆,可得G为圆心,G在CD的中垂线上,即可得证.
【解答】
(1)解:
连接PB,BC,
设∠PEB=∠1,∠PCB=∠2,∠ABC=∠3,
∠PBA=∠4,∠PAB=∠5,
由⊙O中
的中点为P,可得∠4=∠5,
在△EBC中,∠1=∠2+∠3,
又∠D=∠3+∠4,∠2=∠5,
即有∠2=∠4,则∠D=∠1,
则四点E,C,D,F共圆,
可得∠EFD+∠PCD=180°,
由∠PFB=∠EFD=2∠PCD,
即有3∠PCD=180°,
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