2013年广东省高考数学试卷(文科)答案与解析.doc
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2013年广东省高考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题:
本大题共10小题,每小题5分,满分50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)(2013•广东)设集合S={x|x2+2x=0,x∈R},T={x|x2﹣2x=0,x∈R},则S∩T=( )
A.
{0}
B.
{0,2}
C.
{﹣2,0}
D.
{﹣2,0,2}
考点:
交集及其运算.菁优网版权所有
专题:
集合.
分析:
根据题意,分析可得,S、T分别表示二次方程的解集,化简S、T,进而求其交集可得答案.
解答:
解:
分析可得,
S为方程x2+2x=0的解集,则S={x|x2+2x=0}={0,﹣2},
T为方程x2﹣2x=0的解集,则T={x|x2﹣2x=0}={0,2},
故集合S∩T={0},
故选A.
点评:
本题考查集合的交集运算,首先分析集合的元素,可得集合的意义,再求集合的交集.
2.(5分)(2013•广东)函数的定义域是( )
A.
(﹣1,+∞)
B.
[﹣1,+∞)
C.
(﹣1,1)∪(1,+∞)
D.
[﹣1,1)∪(1,+∞)
考点:
函数的定义域及其求法.菁优网版权所有
专题:
函数的性质及应用.
分析:
依题意可知要使函数有意义需要x+1>0且x﹣1≠0,进而可求得x的范围.
解答:
解:
要使函数有意义需,
解得x>﹣1且x≠1.
∴函数的定义域是(﹣1,1)∪(1,+∞).
故选C.
点评:
本题主要考查对数函数的定义域及其求法,熟练解不等式组是基础,属于基础题.
3.(5分)(2013•广东)若i(x+yi)=3+4i,x,y∈R,则复数x+yi的模是( )
A.
2
B.
3
C.
4
D.
5
考点:
复数求模;复数相等的充要条件.菁优网版权所有
专题:
数系的扩充和复数.
分析:
利用复数的运算法则把i(x+yi)可化为3+4i,利用复数相等即可得出x=4,y=﹣3.再利用模的计算公式可得|x+yi|=|4﹣3i|==5.
解答:
解:
∵i(x+yi)=xi﹣y=3+4i,x,y∈R,∴x=4,﹣y=3,即x=4,y=﹣3.
∴|x+yi|=|4﹣3i|==5.
故选D.
点评:
熟练掌握复数的运算法则和模的计算公式是解题的关键.
4.(5分)(2013•广东)已知,那么cosα=( )
A.
B.
C.
D.
考点:
诱导公式的作用.菁优网版权所有
专题:
三角函数的求值.
分析:
已知等式中的角变形后,利用诱导公式化简,即可求出cosα的值.
解答:
解:
sin(+α)=sin(2π++α)=sin(+α)=cosα=.
故选C.
点评:
此题考查了诱导公式的作用,熟练掌握诱导公式是解本题的关键.
5.(5分)(2013•广东)执行如图所示的程序框图,若输入n的值为3,则输出s的值是( )
A.
1
B.
2
C.
4
D.
7
考点:
程序框图.菁优网版权所有
专题:
算法和程序框图.
分析:
由已知中的程序框图及已知中输入3,可得:
进入循环的条件为i≤3,即i=1,2,3.模拟程序的运行结果,即可得到输出的S值.
解答:
解:
当i=1时,S=1+1﹣1=1;
当i=2时,S=1+2﹣1=2;
当i=3时,S=2+3﹣1=4;
当i=4时,退出循环,输出S=4;
故选C.
点评:
本题考查的知识点是程序框图,在写程序的运行结果时,我们常使用模拟循环的变法,但程序的循环体中变量比较多时,要用表格法对数据进行管理.
6.(5分)(2013•广东)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是( )
A.
B.
C.
D.
1
考点:
由三视图求面积、体积.菁优网版权所有
专题:
空间位置关系与距离;立体几何.
分析:
由三视图可知:
该几何体是一个三棱锥,其中PA⊥底面ABC,PA=2,AB⊥BC,AB=BC=1.据此即可得到体积.
解答:
解:
由三视图可知:
该几何体是一个三棱锥,其中PA⊥底面ABC,PA=2,AB⊥BC,AB=BC=1.
∴.
因此V===.
故选B.
点评:
由三视图正确恢复原几何体是解题的关键.
7.(5分)(2013•广东)垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是( )
A.
B.
x+y+1=0
C.
x+y﹣1=0
D.
考点:
圆的切线方程;直线的一般式方程.菁优网版权所有
专题:
直线与圆.
分析:
设所求的直线为l,根据直线l垂直于y=x+1,设l方程为y=﹣x+b,即x+y+b=0.根据直线l与圆x2+y2=1相切,得圆心0到直线l的距离等于1,由点到直线的距离公式建立关于b的方程,解之可得b=±,最后根据切点在第一象限即可得到满足题意直线的方程.
解答:
解:
设所求的直线为l,
∵直线l垂直于直线y=x+1,可得直线l的斜率为k=﹣1
∴设直线l方程为y=﹣x+b,即x+y﹣b=0
∵直线l与圆x2+y2=1相切,
∴圆心到直线的距离d=,解之得b=±
当b=﹣时,可得切点坐标(﹣,﹣),切点在第三象限;
当b=时,可得切点坐标(,),切点在第一象限;
∵直线l与圆x2+y2=1的切点在第一象限,
∴b=﹣不符合题意,可得b=,直线方程为x+y﹣=0
故选:
A
点评:
本题给出直线l垂直于已知直线且与单位圆相切于第一象限,求直线l的方程.着重考查了直线的方程、直线与直线位置关系和直线与圆的位置关系等知识,属于基础题.
8.(5分)(2013•广东)设l为直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )
A.
若l∥α,l∥β,则α∥β
B.
若l⊥α,l⊥β,则α∥β
C.
若l⊥α,l∥β,则α∥β
D.
若α⊥β,l∥α,则l⊥β
考点:
空间中直线与直线之间的位置关系;空间中直线与平面之间的位置关系;平面与平面之间的位置关系.菁优网版权所有
专题:
空间位置关系与距离.
分析:
根据线面平行的几何特征及面面平行的判定方法,可判断A;
根据面面平行的判定方法及线面垂直的几何特征,可判断B;
根据线面平行的性质定理,线面垂直及面面垂直的判定定理,可判断C;
根据面面垂直及线面平行的几何特征,可判断D.
解答:
解:
若l∥α,l∥β,则平面α,β可能相交,此时交线与l平行,故A错误;
若l⊥α,l⊥β,根据垂直于同一直线的两个平面平行,可得B正确;
若l⊥α,l∥β,则存在直线m⊂β,使l∥m,则m⊥α,故此时α⊥β,故C错误;
若α⊥β,l∥α,则l与β可能相交,可能平行,也可能线在面内,故D错误;
故选B
点评:
本题考查的知识点是空间中直线与直线的位置关系,直线与平面的位置关系及平面与平面之间的位置关系,熟练掌握空间线面关系的几何特征及判定方法是解答的关键.
9.(5分)(2013•广东)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于,则C的方程是( )
A.
B.
C.
D.
考点:
椭圆的标准方程.菁优网版权所有
专题:
圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析:
由已知可知椭圆的焦点在x轴上,由焦点坐标得到c,再由离心率求出a,由b2=a2﹣c2求出b2,则椭圆的方程可求.
解答:
解:
由题意设椭圆的方程为.
因为椭圆C的右焦点为F(1,0),所以c=1,又离心率等于,
即,所以a=2,则b2=a2﹣c2=3.
所以椭圆的方程为.
故选D.
点评:
本题考查了椭圆的标准方程,考查了椭圆的简单性质,属中档题.
10.(5分)(2013•广东)设是已知的平面向量且,关于向量的分解,有如下四个命题:
①给定向量,总存在向量,使;
②给定向量和,总存在实数λ和μ,使;
③给定单位向量和正数μ,总存在单位向量和实数λ,使;
④给定正数λ和μ,总存在单位向量和单位向量,使;
上述命题中的向量,和在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是( )
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
考点:
命题的真假判断与应用;平面向量的基本定理及其意义.菁优网版权所有
专题:
平面向量及应用.
分析:
选项①由向量加减的几何意义可得;选项②③均可由平面向量基本定理判断其正确性;选项④λ和μ为正数,这就使得向量不一定能用两个单位向量的组合表示出来.
解答:
解:
选项①,给定向量和,只需求得其向量差即为所求的向量,
故总存在向量,使,故①正确;
选项②,当向量,和在同一平面内且两两不共线时,向量,可作基底,
由平面向量基本定理可知结论成立,故可知②正确;
选项③,取=(4,4),μ=2,=(1,0),
无论λ取何值,向量λ都平行于x轴,而向量μ的模恒等于2,
要使成立,根据平行四边形法则,向量μ的纵坐标一定为4,
故找不到这样的单位向量使等式成立,故③错误;
选项④,因为λ和μ为正数,所以和代表与原向量同向的且有固定长度的向量,
这就使得向量不一定能用两个单位向量的组合表示出来,
故不一定能使成立,故④错误.
故选B
点评:
本题考查命题真假的判断与应用,涉及平面向量基本定理及其意义,属基础题.
二、填空题:
本大题共3小题.每小题5分,满分15分.
(一)必做题(11~13题)
11.(5分)(2013•广东)设数列{an}是首项为1,公比为﹣2的等比数列,则a1+|a2|+a3+|a4|= 15 .
考点:
等比数列的前n项和.菁优网版权所有
专题:
等差数列与等比数列.
分析:
根据条件求得等比数列的通项公式,从而求得a1+|a2|+a3+|a4|的值.
解答:
解:
∵数列{an}是首项为1,公比为﹣2的等比数列,∴an=a1•qn﹣1=(﹣2)n﹣1,
∴a1=1,a2=﹣2,a3=4,a4=﹣8,∴则a1+|a2|+a3+|a4|=1+2+4+8=15,
故答案为15.
点评:
本题主要考查等比数列的定义、通项公式,属于基础题.
12.(5分)(2013•广东)若曲线y=ax2﹣lnx在点(1,a)处的切线平行于x轴,则a= .
考点:
利用导数研究曲线上某点切线方程.菁优网版权所有
专题:
导数的概念及应用.
分析:
先求出函数的导数,再由题意知在1处的导数值为0,列出方程求出k的值.
解答:
解:
由题意得,
∵在点(1,a)处的切线平行于x轴,
∴2a﹣1=0,得a=,
故答案为:
.
点评:
本题考查了函数导数的几何意义应用,难度不大.
13.(5分)(2013•广东)已知变量x,y满足约束条件,则z=x+y的最大值是 5 .
考点:
简单线性规划.菁优网版权所有
专题:
不等式的解法及应用.
分析:
先画出线性约束条件表示的可行域,再将目标函数赋予几何意义,最后利用数形结合即可得目标函数的最值.
解答:
解:
画出可行域如图阴影部分,
由得A(1,4)
目标函数z=x+y可看做斜率为﹣1的动直线,其纵截距越大z越大,
由图数形结合可得当动直线过点A(1,4)时,z最大=1+4=5.
故答案为:
5.
点评:
本题主要考查了线性规划,以及二元一次不等式组表示平面区域的知识,数形结合的思想方法,属于基础题.
选做题(14、15题,考生只能从中选做一题)
14.(5分)(20
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