2014年(全国卷II)高考理科数学.doc
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2014年普通高等学校招生全国统一考试(2新课标Ⅱ卷)
数学(理)试题
一、选择题(本大题共12题,共计60分)
1.设集合,,则M∩N=()
A.{1}B.{2}C.{0,1}D.{1,2}
2.设复数,在复平面内的对应点关于虚轴对称,,则()
A.-5B.5C.-4+iD.-4-i
3.设向量,满足,,则()
A.1B.2C.3D.5
4.钝角三角形的面积是,,,则()
A.5B.C.2D.1
5.某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是()
A.0.8B.0.75C.0.6D.0.45
6.如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件有一个底面半径为3cm,高为6cm的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()
A.B.C.D.
7.执行右面的程序框图,如果输入的,均为2,则输出的()
A.B.C.D.
8.设曲线在点处的切线方程为,则()
A.B.C.D.
9.设,满足约束条件,则的最大值为()
A.10B.8C.3D.2
10.设为抛物线:
的焦点,过且倾斜角为的直线交于,两点,为坐标原点,则的面积为()
A.B.C.D.
11.直三棱柱中,,,分别是,的中点,,则与所成角的余弦值为()
A.B.C.D.
12.设函数.若存在的极值点满足,则的取值范围是()
A.B.
C.D.
二.填空题:
本大题共4小题,每小题5分。
13.的展开式中,的系数为,则.(用数字填写答案)
14.函数的最大值为.
15.已知偶函数在单调递减,.若,则的取值范围是.
16.设点,若在圆:
上存在点,使得,则的取值范围是.
三.解答题:
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分12分)
已知数列满足,.
(Ⅰ)证明是等比数列,并求的通项公式;
(Ⅱ)证明.
18.(本小题满分12分)
如图,四棱锥中,底面为矩形,平面,为的中点.
(Ⅰ)证明:
平面;
(Ⅱ)设二面角为,,,求三棱锥的体积.
19.(本小题满分12分)
某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位:
千元)的数据如下表:
年份
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
年份代号
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收入y
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
(Ⅰ)求y关于的线性回归方程;
(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.
附:
回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
,.
20.(本小题满分12分)
设,分别是椭圆:
的左,右焦点,是上一点且与轴垂直.直线与的另一交点为.
(Ⅰ)若直线的斜率为,求的离心率;
(Ⅱ)若直线在轴上的截距为2,且,求,.
21.(本小题满分12分)
已知函数.
(Ⅰ)讨论的单调性;
(Ⅱ)设,当时,,求的最大值;
(Ⅲ)已知,估计的近似值(精确到0.001).
请考生在第22、23、24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题给分。
做答时请写清题号。
22.(本小题满分10分)选修:
几何证明选讲
如图,是外一点,是切线,为切点,割线与相交与,,,为的中点,的延长线交与点.证明:
(Ⅰ)
(Ⅱ)
23.(本小题满分10分)选修:
坐标系与参数方程
在直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆的极坐标方程为,.
(Ⅰ)求的参数方程;
(Ⅱ)设点在上,在处的切线与直线:
垂直,根据(Ⅰ)中你得到的参数方程,确定的坐标.
24.(本小题满分10分)选修:
不等式选讲
设函数.
(Ⅰ)证明:
;
(Ⅱ)若,求的取值范围.
8
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