2017年天津市高考数学试卷(理科).doc
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2017年天津市高考数学试卷(理科)
一、选择题:
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)设集合A={1,2,6},B={2,4},C={x∈R|﹣1≤x≤5},则(A∪B)∩C=( )
A.{2} B.{1,2,4} C.{1,2,4,5} D.{x∈R|﹣1≤x≤5}
2.(5分)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=x+y的最大值为( )
A. B.1 C. D.3
3.(5分)阅读右面的程序框图,运行相应的程序,若输入N的值为24,则输出N的值为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
4.(5分)设θ∈R,则“|θ﹣|<”是“sinθ<”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.(5分)已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的左焦点为F,离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为( )
A.=1 B.=1 C.=1 D.=1
6.(5分)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(﹣log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为( )
A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a
7.(5分)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<x.若f()=2,f()=0,且f(x)的最小正周期大于2π,则( )
A.ω=,φ= B.ω=,φ=﹣
C.ω=,φ=﹣ D.ω=,φ=
8.(5分)已知函数f(x)=,设a∈R,若关于x的不等式f(x)≥|+a|在R上恒成立,则a的取值范围是( )
A.[﹣,2] B.[﹣,] C.[﹣2,2] D.[﹣2,]
二.填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.(5分)已知a∈R,i为虚数单位,若为实数,则a的值为 .
10.(5分)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为 .
11.(5分)在极坐标系中,直线4ρcos(θ﹣)+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为 .
12.(5分)若a,b∈R,ab>0,则的最小值为 .
13.(5分)在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若=2,=λ﹣(λ∈R),且=﹣4,则λ的值为 .
14.(5分)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有 个.(用数字作答)
三.解答题:
本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.(13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a>b,a=5,c=6,sinB=.
(Ⅰ)求b和sinA的值;
(Ⅱ)求sin(2A+)的值.
16.(13分)从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为,,.
(Ⅰ)设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X的分布列和数学期望;
(Ⅱ)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.
17.(13分)如图,在三棱锥P﹣ABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=90°.点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,PA=AC=4,AB=2.
(Ⅰ)求证:
MN∥平面BDE;
(Ⅱ)求二面角C﹣EM﹣N的正弦值;
(Ⅲ)已知点H在棱PA上,且直线NH与直线BE所成角的余弦值为,求线段AH的长.
18.(13分)已知{an}为等差数列,前n项和为Sn(n∈N+),{bn}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4﹣2a1,S11=11b4.
(Ⅰ)求{an}和{bn}的通项公式;
(Ⅱ)求数列{a2nb2n﹣1}的前n项和(n∈N+).
19.(14分)设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,离心率为.已知A是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,F到抛物线的准线l的距离为.
(I)求椭圆的方程和抛物线的方程;
(II)设l上两点P,Q关于x轴对称,直线AP与椭圆相交于点B(B异于A),直线BQ与x轴相交于点D.若△APD的面积为,求直线AP的方程.
20.(14分)设a∈Z,已知定义在R上的函数f(x)=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间(1,2)内有一个零点x0,g(x)为f(x)的导函数.
(Ⅰ)求g(x)的单调区间;
(Ⅱ)设m∈[1,x0)∪(x0,2],函数h(x)=g(x)(m﹣x0)﹣f(m),求证:
h(m)h(x0)<0;
(Ⅲ)求证:
存在大于0的常数A,使得对于任意的正整数p,q,且∈[1,x0)∪(x0,2],满足|﹣x0|≥.
2017年天津市高考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)(2017•天津)设集合A={1,2,6},B={2,4},C={x∈R|﹣1≤x≤5},则(A∪B)∩C=( )
A.{2} B.{1,2,4} C.{1,2,4,5} D.{x∈R|﹣1≤x≤5}
【考点】1H:
交、并、补集的混合运算.菁优网版权所有
【分析】由并集概念求得A∪B,再由交集概念得答案.
【解答】解:
∵A={1,2,6},B={2,4},∴A∪B={1,2,4,6},
又C={x∈R|﹣1≤x≤5},∴(A∪B)∩C={1,2,4}.
故选:
B.
2.(5分)(2017•天津)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=x+y的最大值为( )
A. B.1 C. D.3
【考点】7C:
简单线性规划.菁优网版权所有
【分析】画出约束条件的可行域,利用目标函数的最优解求解即可.
【解答】解:
变量x,y满足约束条件的可行域如图:
目标函数z=x+y结果可行域的A点时,目标函数取得最大值,
由可得A(0,3),目标函数z=x+y的最大值为:
3.
故选:
D.
3.(5分)(2017•天津)阅读右面的程序框图,运行相应的程序,若输入N的值为24,则输出N的值为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【考点】EF:
程序框图.菁优网版权所有
【分析】根据程序框图,进行模拟计算即可.
【解答】解:
第一次N=24,能被3整除,N=≤3不成立,
第二次N=8,8不能被3整除,N=8﹣1=7,N=7≤3不成立,
第三次N=7,不能被3整除,N=7﹣1=6,N==2≤3成立,
输出N=2,
故选:
C
4.(5分)(2017•天津)设θ∈R,则“|θ﹣|<”是“sinθ<”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【考点】2L:
必要条件、充分条件与充要条件的判断.菁优网版权所有
【分析】运用绝对值不等式的解法和正弦函数的图象和性质,化简两已知不等式,结合充分必要条件的定义,即可得到结论.
【解答】解:
|θ﹣|<⇔﹣<θ﹣<⇔0<θ<,
sinθ<⇔﹣+2kπ<θ<+2kπ,k∈Z,
则(0,)⊂[﹣+2kπ,+2kπ],k∈Z,
可得“|θ﹣|<”是“sinθ<”的充分不必要条件.
故选:
A.
5.(5分)(2017•天津)已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的左焦点为F,离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为( )
A.=1 B.=1 C.=1 D.=1
【考点】KC:
双曲线的简单性质.菁优网版权所有
【分析】由双曲线的离心率为,则双曲线为等轴双曲线,即渐近线方程为y=±x,根据直线的斜率公式,即可求得c的值,求得a和b的值,即可求得双曲线方程.
【解答】解:
设双曲线的左焦点F(﹣c,0),离心率e==,c=a,
则双曲线为等轴双曲线,即a=b,
双曲线的渐近线方程为y=±x=±x,
则经过F和P(0,4)两点的直线的斜率k==,
则=1,c=4,则a=b=2,
∴双曲线的标准方程:
;
故选B.
6.(5分)(2017•天津)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(﹣log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为( )
A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a
【考点】4M:
对数值大小的比较.菁优网版权所有
【分析】由奇函数f(x)在R上是增函数,则g(x)=xf(x)偶函数,且在(0,+∞)单调递增,则a=g(﹣log25.1)=g(log25.1),则2<﹣log25.1<3,1<20.8<2,即可求得b<a<c
【解答】解:
奇函数f(x)在R上是增函数,当x>0,f(x)>f(0)=0,且f′(x)>0,
∴g(x)=xf(x),则g′(x)=f(x)+xf′(x)>0,
∴g(x)在(0,+∞)单调递增,且g(x)=xf(x)偶函数,
∴a=g(﹣log25.1)=g(log25.1),
则2<﹣log25.1<3,1<20.8<2,
由g(x)在(0,+∞)单调递增,则g(20.8)<g(log25.1)<g(3),
∴b<a<c,
故选C.
7.(5分)(2017•天津)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<x.若f()=2,f()=0,且f(x)的最小正周期大于2π,则( )
A.ω=,φ= B.ω=,φ=﹣
C.ω=,φ=﹣ D.ω=,φ=
【考点】H1:
三角函数的周期性及其求法.菁优网版权所有
【分析】由题意求得,再由周期公式求得ω,最后由若f()=2求得φ值.
【解答】解:
由f(x)的最小正周期大于2π,得,
又f()=2,f()=0,得,
∴T=3π,则,即.
∴f(x)=2sin(ωx+φ)=2sin(x+φ),
由f()=,得sin(φ+)=1.
∴φ+=,k∈Z.
取k=0,得φ=<π.
∴,φ=.
故选:
A.
8.(5分)(2017•天津)已知函数f(x)=,设a∈R,若关于x的不等式f(x)≥|+a|在R上恒成立,则a的取值范围是( )
A.[﹣,2] B.[﹣,] C.[﹣2,2] D.[﹣2,]
【考点】5B:
分段函数的应用;3R:
函数恒成立问题.菁优网版权所有
【分析】讨论当x≤1时,运用绝对值不等式的解法和分离参数,可得﹣x2+x﹣3≤a≤x2﹣x+3,再由二次函数的最值求法,可得a的范围;讨论当x>1时,同样可得﹣(x+)≤a≤+,再由基本不等式可得最值,可得a的范围,求交集即可得到所求范围.
【解答】解:
当x≤1时,关于x的不等式f(x)≥|+a|在R上恒成立,
即为﹣x2+x﹣3≤+a≤x2﹣x+3,
即有﹣x2+x﹣3≤a≤x2﹣x+3,
由y=﹣x2+x﹣3的对称轴为x=<1,可得x=处取得最大值﹣;
由y=x2﹣x+3的对称轴为x=<1,可得x=处取得最小值,
则﹣≤a≤①
当x>1时,关于x的不等式f(x)≥|+a|在R上恒成立,
即为﹣(x+)≤+a≤x+,
即有﹣(x+)≤a≤+,
由y=﹣(x+)≤﹣2=﹣2(当且仅当x=>1)取得最大值﹣2;
由y=x+≥2=2(当且仅当x=2>1)取得最小值2.
则﹣2≤a≤2②
由①②可得,﹣≤a≤2.
故选:
A.
二.填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.(5分)(2017•天津)已知a∈R,i为虚数单位,若为实数,则a的值为 ﹣2 .
【考点】A5:
复数代数形式的乘除运算.菁优网版权所有
【分析】运用复数的除法法则,结合
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