全国高中数学联合竞赛试题与解答卷.doc
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全国高中数学联合竞赛试题与解答卷.doc
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2015年全国高中数学联赛(B卷)(一试)
一、填空题(每个小题8分,满分64分
1:
已知函数,其中为常数,如果,则的取值范围是
2:
已知为偶函数,且,则的值为
3:
某房间的室温(单位:
摄氏度)与时间(单位:
小时)的函数关系为:
,其中为正实数,如果该房间的最大温差为10摄氏度,则的最大值是
4:
设正四棱柱的底面是单位正方形,如果二面角的大小为,则
5:
已知数列为等差数列,首项与公差均为正数,且依次成等比数列,则使得
的最小正整数的值是
6:
设为实数,在平面直角坐标系中有两个点集和
,若是单元集,则的值为
7:
设为椭圆上的动点,点,则的最大值为
8:
正2015边形内接于单位圆,任取它的两个不同顶点,
则的概率为
二、解答题
9:
(本题满分16分)数列满足对任意正整数,均有
(1)求的通项公式;
(2)如果存在实数使得对所有正整数都成立,求的取值范围
10:
(本题满分20分)设为四个有理数,使得:
,求的值
11:
(本题满分20分)已知椭圆的右焦点为,存在经过点的一条直线交椭圆于两点,使得,求该椭圆的离心率的取值范围
(加试)
1:
(本题满分40分)证明:
对任意三个不全相等的非负实数都有:
,并确定等号成立的充要条件
2:
(本题满分40分)如图,在等腰中,,设为其内心,设为内的一个点,满足四点共圆,过点作的平行线,与的延长线交于
求证:
3:
(本题满分50分)证明:
存在无穷多个正整数组满足:
4:
(本题满分50分)给定正整数,设是中任取个互不相同的数构成的一个排列,如果存在使得为奇数,或者存在整数
,使得,则称是一个“好排列”,试确定所有好排列的个数。
2015年全国高中数学联赛(B卷)解答
(一试)
三、填空题(每个小题8分,满分64分
1.已知函数,其中为常数,如果,则的取值范围是.
答案:
(-2,+∞).解:
,所以,解得:
.
2.已知为偶函数,且,则的值为.
答案:
2015.解:
由己知得,即=2015.
3.某房间的室温(单位:
摄氏度)与时间(单位:
小时)的函数关系为:
,其中为正实数,如果该房间的最大温差为10摄氏度,则的最大值是.
答案:
.解:
由辅助角公式:
,其中满足条件,则函数的值域是,室内最大温差为,得.
故,等号成立当且仅当.
4.设正四棱柱的底面是单位正方形,如果二面角的大小为,则.
答案:
.解:
取BD的中点O,连接OA,OA1,OC1.
则∠A1OC1是二面角A1-BD-C1的平面角,因此∠A1OC1=,
又△OA1C1是等边三角形.故A1O=A1C1=,所以
.
5.已知数列为等差数列,首项与公差均为正数,且依次成等比数列,则使得
的最小正整数的值是.
答案:
34.解:
设数列的公差为,则.因为依次成等比数列,所以,即.化简上式得到:
.又,所以.由
.
解得.
6.设为实数,在平面直角坐标系中有两个点集和
,若是单元集,则的值为.
答案:
.解:
点集A是圆周,点集B是恒过点P(-1,3)的直线及下方(包括边界).作出这两个点集知,当A自B是单元集时,直线l是过点P的圆的一条切线.故圆的圆心M(1,l)到直线l的距离等于圆
的半径,故.结合图像,应取较小根.
7.设为椭圆上的动点,点,则的最大值为.
答案:
5.解:
取F(0,l),则F,B分别是椭圆的上、下焦点,由椭圆定义知,|PF|+|PB|=4.因此,|PA|+|PB|=4-|PF|+|PA|≤4+|FA|=4+l=5.
当P在AF延长线与椭圆的交点时,|PA|+|PB|最大值为5.
8.正2015边形内接于单位圆,任取它的两个不同顶点,
则的概率为.
答案.解:
因为,所以
.
故的充分必要条件是,即向量的夹角不超过.
对任意给定的向量,满足条件的向量可的取法共有:
种,故的概率是:
.
四、解答题
9.(本题满分16分)数列满足对任意正整数,均有
(3)求的通项公式;
(4)如果存在实数使得对所有正整数都成立,求的取值范围.
解:
(l)在中令可以得到的递推公式:
.
因此的通项公式为:
.8分
(事实上,对这个数列,,并且
.
所以是数列的通项公式.
(2)注意到:
,所以
.
故,并且,因此的取值范围是.16分
10.(本题满分20分)设为四个有理数,使得:
,求的值.
解:
由条件可知,是6个互不相同的数,且其中没有两个为相反数,由此知,的绝对值互不相等,不妨设,则中最小的与次小的两个数分别是及,最大与次大的两个数分别是及,从而必须有
10分
于是.
故,15分
结合,只可能.
由此易知,或者.
检验知这两组解均满足问题的条件.
故.20分
11.(本题满分20分)已知椭圆的右焦点为,存在经过点的一条直线交椭圆于两点,使得,求该椭圆的离心率的取值范围.
解:
设椭圆的右焦点F的坐标为(,0).显然l不是水平直线,设直线l的方程为,点A、B的坐标分别为,.将直线l的方程与椭圆方程联立,消去得.
由韦达定理
.5分
因为等价于,故由上式可知,存在满足条件的直线l,等价于存在实数,使得,.①
显然存在满足①等价于.②15分
又,所以②等价于,两边除以得到
即.
由于,解得:
.20分
加试
1:
(本题满分40分)证明:
对任意三个不全相等的非负实数都有:
,并确定等号成立的充要条件.
解:
当不全相等时,原不等式等价于
.上式可化简为
即
.①
考虑到,故由平均不等式得,
.②
因此原不等式成立.20分
下面考虑等号成立的充分必要条件.
注意到②中等号成立的充分必要条件是.
若,则,显然,与条件矛盾!
若,则,但不全为0,不妨设,则.类似可得其余两种情况,即中恰有一个非零.这时原不等式中等式确实成立.
因此,原不等式等号成立当且仅当中有两个是0,另一个为正数.40分
2.(本题满分40分)如图,在等腰中,,设为其内心,设为内的一个点,满足四点共圆,过点作的平行线,与的延长线交于.求证:
.
证明:
连接BI,CI.设I,B,C,D四点在圆O上,延长DE交圆O于F,连接FB,FC.
因为BD||CE,所以∠DCE=180°-∠BDC=∠BFC.
又
由于∠CDE=∠CDF=∠CBF,所以△BFC∽△DCE,从而
.
再证明AB,AC与圆O相切.
事实上,因为∠ABI=∠ABC=∠ACB=∠ICB,所以AB与圆O相切.同理AC与圆O相切.20分
因此有△ABD∽△AFB,△ACD∽△AFC,故
即.②30分
结合①、②,得,即.40分
3.(本题满分50分)证明:
存在无穷多个正整数组满足:
.
证明:
考虑的特殊情况,此时成立.10分
由知,,故.①
由知,,故.②
为满足①、②,取,此时.40分
当正整数>2015时,均符合条件,因此满足条件的正整数组有无穷多个.50分
4.(本题满分50分)给定正整数,设是中任取个互不相同的数构成的一个排列,如果存在使得为奇数,或者存在整数
,使得,则称是一个“好排列”,试确定所有好排列的个数.
解:
首先注意,“存在,使得为奇数”是指存在一个数与它所在的位置序号的奇偶性不同;“存在整数,使得”意味着排列中存在逆序,换言之,此排列不具有单调递增性.
将不是好排列的排列称为“坏排列”,下面先求坏排列的个数,再用所有排列数减去坏排列数.注意坏排列同时满足:
(1)奇数位必填奇数,偶数位必填偶数;
(2)单调递增.10分
下面来求坏排列的个数.设P是坏排列全体,Q是在中任取项组成的单调递增数列的全体.对于P中的任意一个排列,定义
.
因为,故由条件
(1)可知,所有的均属于集合.再由条件
(2)可知,()单调递增.故如上定义的给出了的一个映射.显然.是一个单射.30分
下面证明是一个满射.事实上,对于Q中任一个数列,令().因为整数,故,从而
故单调递增.
又,而,及为偶数,故为P中的一个排列.显然,故是一个满射.
综上可见,是的一个一映射,故.40分
又Q中的所有数列与集合的所有元子集一对应,故,从而.
最后,我们用总的排列数扣除坏排列的数目,得所有的排列的个数为.50分
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