同济大学高等数学第六版第五章课后习题标准答案包括51525354总习题五.docx
- 文档编号:17812642
- 上传时间:2023-04-24
- 格式:DOCX
- 页数:85
- 大小:63.73KB
同济大学高等数学第六版第五章课后习题标准答案包括51525354总习题五.docx
《同济大学高等数学第六版第五章课后习题标准答案包括51525354总习题五.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《同济大学高等数学第六版第五章课后习题标准答案包括51525354总习题五.docx(85页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
同济大学高等数学第六版第五章课后习题标准答案包括51525354总习题五
习题5-1
1
利用定积分定义计算由抛物线
yx2
1两直线
xa、
x
b(b
a)及横轴所围成的图形的面积
解第一步
在区间[a
b]内插入n
1
个分点xi
a
bai(i1
n
2
n
1)
把区间[a
b]分成n个长度相等的小区间
各个小区间
的长度为
xi
b
a(i1
2
n)
n
第二步
在第i个小区间[xi
1
xi]
(i
12
n)上取右端点
i
xi
ab
ai
作和
n
n
n
Sn
f(i)xi
[(abai)2
1]
ba
i
1
i1
n
n
b
a
n
[a
2
2a(b
a)
i
(b
a)2
i
2
1]
n
n
n2
i
1
(b
a)
[na2
2a(b
a)
n(n
1)
(ba)2
n(n
1)(2n
1)
n]
n
n
2
n2
6
(b
a)[a2
a(b
a)(n
1)
(b
a)2(n1)(2n
1)
1]
n
6n2
第三步
令
max{
x1
x2
xn}
ba
取极限得所求面
n
积
b
n
S
f(x)dx
lim
f(
i)
xi
a
0
i1
lim(b
2
a(b
a)(n1)
(b
a)2(n
1)(2n
1)
1]
a)[a
2
n
n
6n
(b
a)[a2
a(b
a)
1(b
a)2
1]
1(b3a3)
b
a
3
3
2利用定积分定义计算下列积分
b
(1)xdx(ab)
a
解取分点为xabai(i12
n1)则x
i
ba
(i12
i
n
n
1/32
n)在第i个小区间上取右端点
i
xi
a
b
ai(i1
2
n)
于
n
是
b
lim
n
x
lim
n
b
ai)b
a
xdx
(a
a
n
1
i
i
n
i
1
n
n
i
(b
a)2lim[a(b
a)
(ba)2n(n
1)]
1
b2a2
)
n
2n2
2(
(2)
1x
edx
0
解取分点为xi
i(i
12
n
1)
则x
1(i1
2
n)
在
n
i
i
n
第i个小区间上取右端点
i
xi
(i12
n)
于是
n
1
lim
n
i
lim1
1
2
n
exdx
en1
(en
en
en)
0
i1
n
n
n
n
1
1
1
lim
1en[1(en)n]
lim
en[1e]
e1
n
1
1
n
1
en
n
n(1
en)
3
利用定积分的几何意义
说明下列等式
(1)
1
1
2xdx
0
解
1
2x、x轴及直线x1所围成的面积
2xdx表示由直线y
0
显然面积为1
1
(2)1x2dx
04
1
1x2dx表示由曲线y
1x2、x轴及y轴所围成的四
解
0
分之一圆的面积
即圆x2
y21的面积的1
4
1
x2dx1
12
0
1
4
4
(3)sinxdx0
解由于ysinx为奇函数在关于原点的对称区间[]上
与x轴所夹的面积的代数和为零即
2/32
sinxdx0
(4)
2cosxdx2
2cosxdx
2
0
解
2cosxdx表示由曲线ycosx与x轴上[
]一段所围
2
2
2
成的图形的面积
因为cosx为偶函数
所以此图形关于y轴对称
因此图形面积的一半为
2cosxdx
即
0
2cosxdx
22cosxdx
2
0
4水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力
已知闸门上
水的压强
p(单位面积上的压力大小
)是水深h
的函数且有
p98h(kN/m2)
若闸门高H3m宽L
2m
求水面与闸门顶相齐
时闸门所受的水压力
P
解建立坐标系如图
用分点x
Hi(i
12
n
1)将区间[0
i
n
H(i1
H]分为n分个小区间
各小区间的长为
x
2
n)
i
n
在第i个小区间[xi1
xi]上闸门相应部分所受的水压力近似
为
Pi98xiL
xi
闸门所受的水压力为
nn
Plim9.8xiLxi9.8Llim
nn
i1i1
HiHnn
9.8LH2limn(n1)4.8LH2
n2n
将L2H3代入上式得P882(千牛)
5证明定积分性质
b
kf(x)dxk
b
(1)
f(x)dx
a
a
b
lim
n
n
f(i)xi
b
证明
kf(x)dx
kf(i)xi
klim
kf(x)dx
a
0
1
0
a
i
i1
3/32
b
b
a
(2)
1dx
dxb
a
a
b
n
1
xi
lim
n
lim(ba)ba
证明
1dxlim
xi
a
0
i1
0
i1
0
6估计下列各积分的值
(1)
4
1)dx
(x2
1
解因为当1
x4时2
x2117所以
2(4
1)
4
1)dx
17(4
1)
(x2
1
即
6
4
51
(x21)dx
1
5
(2)
4
(1
sin2x)dx
4
解因为当
x
5
时
11
sin2x
2
所以
4
4
1(5
5
2(5
)
4
(1
sin2x)dx
4)
4
4
4
4
5
即
4(1sin2x)dx
2
4
(3)
3
xarctanxdx
1
3
解先求函数f(x)
xarctanx在区间[
1,
3]上的最大值M与
3
最小值m
f(x)
arctanx
x
因为当1
x
3时f(x)0
所以函
1
x2
3
数f(x)
xarctanx在区间[1
3]上单调增加
于是
3
m
f
(1)
1arctan1
6
3
3
3
3
Mf(3)3arctan3
3
4/32
(
3
1)
3
(
3
1)
因此
6
1xarctanxdx
3
3
3
3
3
3
2
即
9
1
xarctanxdx
3
3
0
ex2
xdx
(4)
2
x2
x
在区间[0
2]上的最大值M与最小值
解先求函数f(x)e
m
f
x
ex2
x
(2
x
1)
驻点为x
1
()
2
比较f(0)
1
f
(2)
e2
f
(1)
1
得m
1
M
e2于是
e4
e4
2
1
2
e4(20)
ex2xdxe2(20)
0
即
2e2
0
1
ex2xdxdx
2e4
2
7
设f(x)及g(x)在[a
b]上连续
证明
若在
[a
b]
上
f(x)
0
且
b
f(x)dx0
则在
上
f(x)0
(1)
a
[ab]
证明假如f(x)/
0
则必有f(x)
0
根据f(x)在[ab]上的连续
性在[a
b]上存在一点x0
使f(x0)
0
且f(x0)为f(x)在[a
b]上的最
大值
再由连续性
存在[cd]
[a
b]
且x0
[c
d]
使当x
[cd]时
f(x)
f(x0)
于是
2
b
f(x)dx
c
f(x)dx
d
f(x)dx
b
a
a
c
f(x)dx
d
d
f(x0)
d
c
f(x)dx
)
0
c
2
(
这与条件
b
f(x)dx
0相矛盾
因此在[ab]上f(x)
0
a
b
若在
[a
b]
上
f(x)
0
且
f(x)/
0
则
f(x)dx0
(2)
a
证明证法一因为f(x)在[ab]上连续所以在[ab]上存在一点x0使f(x0)0且f(x0)为f(x)在[ab]上的最大值
5/32
再由连续性
存在[c
d]
[ab]
且x0
[c
d]
使当x
[c
d]时
f(x0)
于是
f(x)
2
b
d
f(x0)(dc)
0
f(x)dx
f(x)dx
a
c
2
证法二因为f(x)0
b
b
所以
a
f(x)dx0假如
f(x)dx0
不成
a
立则只有
b
()
0
a
fxdx
根据结论
(1)f(x)0
矛盾
因此
b
0
f(x)dx
a
(3)若在[ab]上f(x)
g(
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 同济大学 高等数学 第六 第五 课后 习题 标准答案 包括 51525354