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倍数关系的两个数的最大公因数是小数,最小公倍数是大数。
11.互质数:
公因数只有1的两个数叫做互质数。
12.两数之积等于最小公倍数和最大公约数的积。
三、四则运算
1.四则运算的互逆关系:
减法是加法的逆运算,除法是乘法的逆运算。
互逆关系式:
(1)加数+加数=和,和-一个加数=另一个加数
(2)被减数-减数=差
,差+减数=被减数,
被减数-差=减数
(3)一个因数×
另一个因数=积,
积÷
另一个因数=一个因数
(4)被除数÷
除数=商,商×
除数
=被除数,被除数÷
商=除数
2.在四则运算中,加、减法叫做第一级运算,乘、除法叫做第二级运算。
3.运算定律:
(1)加法交换律:
a+b=b+a
乘法交换律:
a×
b=b×
a
两个数相加,交换加数的位置,它们的和不变。
两个数相加,交换因数的位置,它们的积不变。
(2)加法结合律:
(a+b)+c=a+(b+c)
乘法结合律:
(a×
b)×
c=a×
(b×
c)
三个数相加,先把前两个数相加,再同第三个数相加;
或者先把后两个数相加,再同第一个数相加,它们的和不变。
三个数相乘,先把前两个数相乘,再同第三个数相乘;
或者先把后两个数相乘,再同第一个数相乘,它们的积不变。
(3)乘法分配律:
(a+b)×
c+b×
c
两个数的和同一个数相乘,可以把两个加数分别同这个数相乘,再把两个积相加,结果不变。
(4)减法的性质:
a-b-c=a-(b+c)
除法的性质:
a÷
b÷
c=a÷
从一个数里连续减去两个数,等于从这个数里减去两个减数的和。
一个数连续除以两个数,等于这个数除以两个除数的积。
四、常用数量关系式
速度×
时间=路程
路程÷
时间=速度
速度=时间
工作效率×
工作时间=工作总量
工作总量÷
工作效率=工作时间
工作时间=工作效率
单价×
数量=总价
总价÷
数量=单价
总价÷
单价=数量
五、方程
方程:
含有未知数的等式叫做方程。
方程的解:
使方程左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解。
解方程:
求方程解的过程叫做解方程。
六、分数和百分数
分数的意义:
把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或几份的数叫做分数。
分数单位:
把单位“1”平均分成若干份,表示其中一份的数,叫做分数单位。
分数和除法的联系:
分数的分子相当于除法中的被除数,分母相当于除法中的除数。
分数和小数的联系:
小数实际上就是分母是10、100、1000……的分数。
分数和比的联系:
分数的分子相当于比的前项,分数的分母相当与比的后项。
分数的分类:
分数可以分为真分数和假分数。
真分数:
分子小于分母的分数叫做真分数。
真分数小于1。
假分数:
分子大于或等于分母的分数叫做假分数。
假分数大于或者等于1。
6.最简分数:
分子与分母互质的分数叫做最简分数。
7.分数的基本性质:
分数的分子和分母同时乘或除以相同的数(零除外),分数的大小不变。
8.这样的分数可以化成有限小数:
前提是这个分数要是最简分数,如果分母只含有2、5这2个质因数,这样的分数就能化成有限小数。
9.百分数:
表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数。
百分数也叫做百分率或者百分比。
七、量的计量
1.长度单位有:
千米、米、分米、厘米、毫米,写出它们之间的进率。
面积单位有:
平方千米、公顷、平方米、平方分米、平方厘米,写出它们之间的进率。
体积(容积)单位有:
立方米、立方分米(升)、立方厘米(毫升),写出它们之间的进率。
质量单位有:
吨、千克、克,写出它们之间的进率。
时间单位有:
世纪、年、月、日、时、分、秒,写出它们之间的进率。
2.一年中的大月有:
1、3、5、7、8、10、12月,共7个,每月31天。
小月有:
4、6、9、11月,共4个,每月30天。
二月:
平年是28天,闰年是29天。
3.一年有4个季度,每个季度3个月。
4.平年、闰年:
公历年份是4的倍数的一般是闰年,公历年份是整百数的,必须是400的倍数才是闰年。
例如:
1900年是平年,2000年是闰年。
5.名数:
把计量得到的数和单位名称合起来叫做名数。
单名数:
只带有一个单位名称的叫做单名数。
复名数:
带有两个或两个以上单位名称的叫做复名数。
6.名数的改写:
高级单位的名数化成低级单位的名数乘进率,低级单位的名数化成高级单位的名数除以进率。
【进率】
(高级单位低级单位乘以进率;
反过来除以进率。
)
×
1000×
10×
10
千米米分米厘米
÷
1000÷
10÷
100×
100
平方千米公顷公亩平方米平方分米平方厘米÷
100÷
24×
60×
60
吨千克克天小时分秒
24÷
60÷
八、比和比例
1.比的意义:
两个数相除又叫做两个数的比。
2.比例的意义:
表示两个比相等的式子叫做比例。
3.求比值:
比的前项除以比的后项所得的商叫做比值。
4.比的基本性质:
比的前项和后项都乘或除以相同的数(0除外),比值不变。
5.比例的基本性质:
在比例里,两个外项的积等于两个内项的积。
应用比的基本性质可以化简比;
应用比例的基本性质可以判断两个比是否能组成比例,也可以求比例里的未知项,也就是解比例。
注意:
比和比例的区分
6.用字母表示比与除法和分数的关系。
a:
b=a÷
b=a/b(b≠0)
7.比例尺:
我们把图上距离和实际距离的比,叫做这幅图的比例尺。
8.图上距离:
实际距离=比例尺实际距离=图上距离÷
比例尺
图上距离=实际距离×
比例尺
9.求比值的方法:
根据比值的意义,用前项除以后项,结果是一个数。
化简比的方法:
根据比的基本性质,把比的前项和后项都乘或除以相同的数(零除外),结果是一个最简整数比。
10.正比例关系:
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定,这两种量就叫做成正比例的量,它们之间的关系叫做正比例关系。
用式子表示:
x÷
y=k(一定),用图表示正比例关系是一条直线。
11.反比例关系:
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的积一定,这两种量就叫做成反比例的量,它们之间的关系叫做反比例关系。
x×
y=k(一定),用图表示反比例关系是一条曲线。
九、几何初步知识
1.线段、射线、直线的联系与区别:
联系是三者都是直的,区别是线段有两个端点,可以量出长度;
射线只有一个端点,可以无限延长;
直线没有端点,两端都可以无限延长。
射线和直线是无限长的。
2.角:
从一点引出两条射线所组成的图形就是角。
3.角的大小:
角的大小看两条边张开口的大小,张开的口越大,角就越大,反之,越小。
计量角的大小的单位:
度,用符号“°
”表示。
4.角的分类:
大于0°
,小于90°
的角叫锐角;
等于90°
的角叫直角;
大于90°
,小于180°
的角叫钝角;
角的两边在一条直线上的角叫平角,平角180°
;
等于360°
的角叫周角。
5.垂线:
两条直线相交成直角时,这两条直线互相垂直,其中一条直线是另一条直线的垂线,这两条直线的交点叫做垂足。
(画图说明)
6.平行线:
在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。
也可以说这两条直线互相平行。
(画图说明)平行线之间的距离处处都相等。
7.三角形:
有三条线段首尾顺次链接围成的图形叫做三角形。
三角形具有稳定性。
8、三角形的分类:
(1)按角分:
锐角三角形、钝角三角形、直角三角形。
(2)按边分:
一般三角形、等腰三角形、等边三角形。
等边三角形是特殊的等腰三角形。
10.三角形三个内角和是180°
。
11.三角形任意两边之和大于第三边。
12.四边形:
由四条线段围成的图形。
我们学过的长方形、正方形、平行四边形和梯形都是四边形。
13.圆是一种曲线图形。
圆中心的一点叫做圆心,圆心到圆上任意一点的距离叫做半径,通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。
14.圆的半径、直径都有无数条。
在同一个圆里,直径是半径的2倍,半径是直径的二分之一。
15.轴对称图形:
如果一个图形沿着一条直线对折,直线两侧的图形能够完全重合,这个图形就是轴对称图形。
折痕所在的这条直线叫做对称轴。
16.学过的图形中是轴对称图形有:
圆、等腰三角形、等边三角形、长方形、正方形、等腰梯形。
17.周长:
围成一个图形的所有边长的总和就是这个图形的周长。
面积:
物体的表面或围成的平面图形的大小,叫做它们的面积。
18.表面积:
立体图形所有面的面积的和,叫做这个立体图形的表面积。
体积:
物体所占空间的大小叫做物体的体积。
19.长方体、正方体都有12条棱,6个面,8个顶点。
正方体是特殊的长方体。
20.圆柱的三个特点:
(1)上下一样粗细
(2)侧面是曲面(3)两个底面是相等的圆
21.圆柱的高:
圆柱两个底面之间的距离叫做圆柱的高。
圆柱的高有无数条,这些高都平行且相等。
22.把圆柱的侧面展开后可以得到一个长方形,这个长方形的长相当于圆柱的底面的周长,宽相当于圆柱的高。
23.圆周率π是一个无限不循环小数。
π=3.141592653……
24.把圆等分成若干份,拼成的图形接近于长方形。
这个长方形的长相当于圆周长的一半,宽相当于圆的半径。
25.圆锥的高:
从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。
圆锥的高只有一条。
26.等底等高的圆锥的体积是圆柱的三分之一,等底等高的圆柱的体积是圆锥的三倍。
体积和底面积相等的圆柱和圆锥,圆柱的高是圆锥的三分之一,圆锥的高是圆柱的3倍。
十、公式的整理
平面图形:
1.长方形:
周长=(长+宽)×
2
C长=(a+b)×
2
面积=长×
宽
S长=a×
b
2.正方形:
周长=边长×
4
C正=a×
4
面积=边长×
边长
S正=a×
3.平行四边形的面积=底×
高
S平=ah
4.三角形的面积=底×
高÷
S三=ah÷
5.梯形的面积=(上底+下底)×
S梯=(a+b)×
h÷
6.圆的周长=直径×
3.14
C圆=πd
圆的周长=半径×
2×
C圆=2πr
圆的面积=半径的平方×
圆周率
S圆=πr2
立体图形:
1.长方体
表面积=(长×
宽+长×
高+宽×
高)×
S长表=(ab+ah+bh)×
体积=长×
宽×
V长=abh
2.正方体
表面积=棱长×
棱长×
6
S正表=a×
6
体积=棱长×
棱长
V正=a3
3.圆柱
侧面积=底面周长×
表面积=侧面积+两个底面积
体积=底面积×
高
4.以上立体图形的表面积、体积可以统一成公式为:
表面积=底面周长×
高+两个底面积
(侧面积)
5.圆锥的体积=圆柱的体积÷
3
V锥=sh÷
3
十一、简单的统计
1.常见的统计图有条形统计图、折线统计图和扇形统计图。
2.条形统计图特点:
(1)用一个单位长度表示一定的数量。
(2)用直条的长短来表示数量的多少。
作用:
从图中能清楚地看出各数量的多少,便于相互比较。
折线统计图的特点:
(2)用折线的起伏来表示数量的增减变化。
从图中能清楚地看出数量的增减变化情况,也能看出数量的多少。
扇形统计图的特点:
(1)用整个圆面积表示总数。
(2)用圆内的扇形面积表示各部分占总数的百分数。
从图中能清楚地看出各部分与总数的百分比,以及部分与部分之间的关系。
3.平均数:
求平均数的实质就是将几个不相等的数量,在总量(和)不变的情况下,通过移多补少,使它们变为相等。
求平均数的基本数量关系式:
总数量÷
总份数=平均数。
4.中位数:
将一组数据按从大到小依次排列,把处在最中间位置的一个数据(或中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。
5.众数。
一组数据中出现次数最多的数据,是一组数据中的原始数据,叫做这组数据的众数。
4、圆柱的侧面展开后是一个长方形,长方形的长相当于圆柱底面周长,长方形的宽相当于圆柱的高。
由于长方形的面积=长×
宽,所以圆柱的侧面积=底面周长×
高。
S=Ch
5、把圆柱的底面分成许多相等的扇形,然后把圆柱切开,可以拼成一个近似的长方体,它的底面积等于圆柱的底面积,它的高等于圆柱的高,因为长方体的体积=底面积×
高,所以圆柱的体积=底面积×
V=Sh
8、圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体积的
,或者说圆柱的体积等于和它等底等高的圆锥体积的3倍。
所以圆锥的体积=底面积×
高×
V=
Sh。
9、圆锥的体积也可以是和它等底等高的长方体体积的
10、同样大的长方形纸,卷出来的圆柱体,侧面积是相等的;
并且圆柱越粗短(即底面越大),体积就越大,越细长(即底面越小),体积就越小;
半径扩大(或缩小)几倍,体积就跟着扩大(或缩小)相同的倍数。
十二、一些背诵常数
注:
π是个无限不循环小数≈3.14但在实际的计算中,我们一般取前两位小数。
2π=6.283π=9.424π=12.565π=15.70
6π=18.847π=21.988π=25.129π=28.26
=0.5=50%
=0.25=25%
=0.75=75%
=0.2=20%
=0.4=40%
=0.6=60%
=0.8=80%
=0.125=12.5%
=0.375=37.5%
=0.625=62.5%
=0.875=87.5%
≈0.333=33.3%
≈0.667=66.7%
≈0.167=16.7%
≈0.833=83.3%
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