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③n⊥β;
④m⊥α,以其中三个论断作为条件,剩余的一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题____________________________.
答案 ①③④⇒②(或②③④⇒①)
4.已知平面α⊥β,α∩β=l,P是空间一点,且P到平面α、β的距离分别是1、2,则点P到l的距离为________.
答案
解析 如图,∵PO⊂平面PAB,
∴l⊥PO.
∴PO就是P到直线l的距离,
∵α⊥β,∴PAOB为矩形,
PO=
=
.
5.设α,β,γ为平面,m,n,l为直线,则对于下列条件
①α⊥β,α∩β=l,m⊥l
②α∩γ=m,α⊥β,γ⊥β
③α⊥γ,β⊥γ,m⊥α
④n⊥α,n⊥β,m⊥α
其中为m⊥β的充分条件的是________(将你认为正确的所有序号都填上).
答案 ②④
解析 ①
D⇒/m⊥β;
②
⇒m⊥β;
③
④
⇒m⊥β.
∴由条件②④均能推出m⊥β,即②④均为m⊥β的充分条件,而①③均是m⊥β的既不充分也不必要条件.
题型一 直线与平面垂直的判定与性质
例1
如图所示,在四棱锥P—ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°
,PA=AB=BC,E是PC的中点.
证明:
(1)CD⊥AE;
(2)PD⊥平面ABE.
思维启迪:
第
(1)问通过DC⊥平面PAC证明;
也可通过AE⊥平面PCD得到结论;
第
(2)问利用线面垂直的判定定理证明直线PD与平面ABE内的两条相交直线垂直.
证明
(1)在四棱锥P—ABCD中,
∵PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,
∴PA⊥CD.∵AC⊥CD,PA∩AC=A,
∴CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC,∴CD⊥AE.
(2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°
,可得AC=PA.
∵E是PC的中点,∴AE⊥PC.
由
(1),知AE⊥CD,且PC∩CD=C,
∴AE⊥平面PCD.
而PD⊂平面PCD,∴AE⊥PD.
∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥AB.
又∵AB⊥AD且PA∩AD=A,
∴AB⊥平面PAD,而PD⊂平面PAD,
∴AB⊥PD.又∵AB∩AE=A,∴PD⊥平面ABE.
探究提高 破解此类问题的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质,注意平面图形中的一些线线垂直关系的灵活利用,这是证明空间垂直关系的基础.由于“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”之间可以相互转化,因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开,这是化解空间垂直关系难点的技巧所在.
(2012·
陕西)
(1)如图所示,证明命题“a是平面π内的一条直线,b是π外的一条直线(b不垂直于π),c是直线b在π上的射影,若a⊥b,则a⊥c”为真;
(2)写出上述命题的逆命题,并判断其真假(不需证明).
(1)证明 如图,记c∩b=A,P为直线b上异于点A的任意一点,过P作PO⊥π,垂足为O,则O∈c.
因为PO⊥π,a⊂π,
所以直线PO⊥a.
又a⊥b,b⊂平面PAO,PO∩b=P,
所以a⊥平面PAO.又c⊂平面PAO,所以a⊥c.
(2)解 逆命题为a是平面π内的一条直线,
b是π外的一条直线(b不垂直于π),
c是直线b在π上的射影,若a⊥c,则a⊥b.
逆命题为真命题.
题型二 平面与平面垂直的判定与性质
例2
(2012·
江苏)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1=A1C1,D,E分别是棱BC,CC1上的点(点D不同于点C),且AD⊥DE,F为B1C1的中点.
求证:
(1)平面ADE⊥平面BCC1B1;
(2)直线A1F∥平面ADE.
(1)证明两个平面垂直,关键是在一个平面内找到另一个平面的一条直线;
(2)两个平面垂直的性质是证明的突破点.
证明
(1)因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,
所以CC1⊥平面ABC.
又AD⊂平面ABC,所以CC1⊥AD.
又因为AD⊥DE,CC1,DE⊂平面BCC1B1,CC1∩DE=E,
所以AD⊥平面BCC1B1.又AD⊂平面ADE,
所以平面ADE⊥平面BCC1B1.
(2)因为A1B1=A1C1,F为B1C1的中点,
所以A1F⊥B1C1.
因为CC1⊥平面A1B1C1,且A1F⊂平面A1B1C1,
所以CC1⊥A1F.
又因为CC1,B1C1⊂平面BCC1B1,CC1∩B1C1=C1,
所以A1F⊥平面BCC1B1.
由
(1)知AD⊥平面BCC1B1,所以A1F∥AD.
又AD⊂平面ADE,A1F⊄平面ADE,
所以A1F∥平面ADE.
探究提高 面面垂直的关键是线面垂直,线面垂直的证明方法主要有判定定理法、平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面,则另一条也垂直于这个平面)、面面垂直性质定理法,本题就是用的面面垂直性质定理法,这种方法是证明线面垂直的一种核心方法.
(2011·
江苏)如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°
,E,F分别是AP,AD的中点.
(1)直线EF∥平面PCD;
(2)平面BEF⊥平面PAD.
证明
(1)如图,在△PAD中,
因为E,F分别为AP,AD的中点,所以EF∥PD.
又因为EF⊄平面PCD,
PD⊂平面PCD,
所以直线EF∥平面PCD.
(2)连结BD.因为AB=AD,∠BAD=60°
,所以△ABD为正三角形.
因为F是AD的中点,所以BF⊥AD.
因为平面PAD⊥平面ABCD,BF⊂平面ABCD,
平面PAD∩平面ABCD=AD,所以BF⊥平面PAD.
又因为BF⊂平面BEF,所以平面BEF⊥平面PAD.
题型三 线面、面面垂直的综合应用
例3
如图所示,在四棱锥P—ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥DC,△PAD是等边三角形,已知BD=2AD=8,AB=2DC=4
(1)设M是PC上的一点,求证:
平面MBD⊥平面PAD;
(2)求四棱锥P—ABCD的体积.
(1)因为两平面垂直与M点位置无关,所以在平面MBD内一定有一条直线垂直于平面PAD,考虑证明BD⊥平面PAD.
(2)四棱锥底面为一梯形,高为P到面ABCD的距离.
(1)证明 在△ABD中,∵AD=4,BD=8,AB=4
,
∴AD2+BD2=AB2.∴AD⊥BD.
又∵面PAD⊥面ABCD,面PAD∩面ABCD=AD,
BD⊂面ABCD,∴BD⊥面PAD.
又BD⊂面BDM,
∴面MBD⊥面PAD.
(2)解 过P作PO⊥AD,
∵面PAD⊥面ABCD,
∴PO⊥面ABCD,
即PO为四棱锥P—ABCD的高.
又△PAD是边长为4的等边三角形,
∴PO=2
在底面四边形ABCD中,AB∥DC,AB=2DC,
∴四边形ABCD为梯形.
在Rt△ADB中,斜边AB边上的高为
此即为梯形的高.
∴S四边形ABCD=
×
=24.
∴VP—ABCD=
24×
2
=16
探究提高 当两个平面垂直时,常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线,把面面垂直转化为线面垂直,进而可以证明线线垂直.
如图所示,已知长方体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD为正方形,E为线段AD1的中点,F为线段BD1的中点,
(1)求证:
EF∥平面ABCD;
(2)设M为线段C1C的中点,当
的比值为多少时,DF⊥平面D1MB?
并说明理由.
(1)证明 ∵E为线段AD1的中点,F为线段BD1的中点,∴EF∥AB.∵EF⊄平面ABCD,AB⊂平面ABCD,
∴EF∥平面ABCD.
(2)解 当
时,DF⊥平面D1MB.
∵ABCD是正方形,∴AC⊥BD.
∵D1D⊥平面ABC,∴D1D⊥AC.
∴AC⊥平面BB1D1D,∴AC⊥DF.
∵F,M分别是BD1,CC1的中点,∴FM∥AC.∴DF⊥FM.
∵D1D=
AD,∴D1D=BD.∴矩形D1DBB1为正方形.
∵F为BD1的中点,∴DF⊥BD1.
∵FM∩BD1=F,∴DF⊥平面D1MB.
解答过程要规范
典例:
(14分)如图所示,M,N,K分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB,CD,C1D1的
中点.
(1)AN∥平面A1MK;
(2)平面A1B1C⊥平面A1MK.
审题视角
(1)要证线面平行,需证线线平行.
(2)要证面面垂直,需证线面垂直,要证线面垂直,需证线线垂直.
规范解答
证明
(1)如图所示,连结NK.
在正方体ABCD—A1B1C1D1中,
∵四边形AA1D1D,DD1C1C都为正方形,
∴AA1∥DD1,AA1=DD1,C1D1∥CD,C1D1=CD.[2分]
∵N,K分别为CD,C1D1的中点,
∴DN∥D1K,DN=D1K,
∴四边形DD1KN为平行四边形.
∴KN∥DD1,KN=DD1,
∴AA1∥KN,AA1=KN.[4分]
∴四边形AA1KN为平行四边形.∴AN∥A1K.[5分]
∵A1K⊂平面A1MK,AN⊄平面A1MK,[6分]
∴AN∥平面A1MK.[7分]
(2)如图所示,连结BC1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中,
AB∥C1D1,AB=C1D1.
∵M,K分别为AB,C1D1的中点,∴BM∥C1K,BM=C1K.
∴四边形BC1KM为平行四边形.∴MK∥BC1.[9分]
在正方体ABCD—A1B1C1D1中,A1B1⊥平面BB1C1C,
BC1⊂平面BB1C1C,∴A1B1⊥BC1.
∵MK∥BC1,∴A1B1⊥MK.
∵四边形BB1C1C为正方形,∴BC1⊥B1C.[11分]
∴MK⊥B1C.∵A1B1⊂平面A1B1C,B1C⊂平面A1B1C,A1B1∩B1C=B1,∴MK⊥平面A1B1C.又∵MK⊂平面A1MK,
∴平面A1MK⊥平面A1B1C.[14分]
温馨提醒
(1)步骤规范是答题得满分的最后保证,包括使用定理的严谨性,书写过程的流畅性.
(2)本题证明常犯错误:
①定理应用不严谨.如:
要证AN∥平面A1MK,必须强调AN⊄平面A1MK.
②解题过程不完整,缺少关键步骤,如第
(1)问中,应先证四边形ANKA1为平行四边形.第
(2)问中,缺少必要的条件,使思维不严谨,过程不流畅.
方法与技巧
1.证明线面垂直的方法
(1)线面垂直的定义:
a与α内任何直线都垂直⇒a⊥α;
(2)判定定理1:
⇒l⊥α;
(3)判定定理2:
a∥b,a⊥α⇒b⊥α;
(4)面面平行的性质:
α∥β,a⊥α⇒a⊥β;
(5)面面垂直的性质:
α⊥β,α∩β=l,a⊂α,a⊥l⇒a⊥β.
2.证明线线垂直的方法
(1)定义:
两条直线所成的角为90°
;
(2)平面几何中证明线线垂直的方法;
(3)线面垂直的性质:
a⊥α,b⊂α⇒a⊥b;
(4)线面垂直的性质:
a⊥α,b∥α⇒a⊥b.
3.证明面面垂直的方法
(1)利用定义:
两个平面相交,所成的二面角是直二面角;
(2)判定定理:
a⊂α,a⊥β⇒α⊥β.
失误与防范
1.在解决直线与平面垂直的问题过程中,要注意直线与平面垂直定义、判定定理和性质定理的联合交替使用,即注意线线垂直和线面垂直的互相转化.
2.面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线,通常是先找这个平面的一个垂面,在这个垂面中,作交线的垂线即可.
A组 专项基础训练
(时间:
35分钟,满分:
62分)
一、填空题(每小题5分,共35分)
1.设l,m是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是________.(填序号)
①若l⊥m,m⊂α,则l⊥α②若l⊥α,l∥m,则m⊥α
③若l∥α,m⊂α,则l∥m④若l∥α,m∥α,则l∥m
答案 ②
解析 若l⊥m,m⊂α,则l与α可能平行、相交或l⊂α;
若l⊥α,l∥m,则m⊥α;
若l∥α,m⊂α,则l与m可能平行或异面;
若l∥α,m∥α,则l与m可能平行、相交或异面,故只有②正确.
2.已知平面α,β和直线m,给出条件:
①m∥α;
②m⊥α;
③m⊂α;
④α∥β.当满足条件________时,有m⊥β.(填所选条件的序号)
解析 若m⊥α,α∥β,则m⊥β.
3.已知m是平面α的一条斜线,点A∉α,l为过点A的一条动直线,那么下列情形可能出现的是________.
①l∥m,l⊥α②l⊥m,l⊥α③l⊥m,l∥α④l∥m,l∥α
答案 ③
解析 设m在平面α内的射影为n,当l⊥n且与α无公共点时,l⊥m,l∥α.
4.设α、β、γ为彼此不重合的三个平面,l为直线,给出下列命题:
①若α∥β,α⊥γ,则β⊥γ;
②若α⊥γ,β⊥γ,且α∩β=l,则l⊥γ;
③若直线l与平面α内的无数条直线垂直,则直线l与平面α垂直;
④若α内存在不共线的三点到β的距离相等,则平面α平行于平面β.
上面命题中,真命题的序号为________(写出所有真命题的序号).
答案 ①②
解析 由题可知③中无数条直线不能认定为任意一条直线,所以③错,④中的不共线的三点有可能是在平面β的两侧,所以两个平面可能相交可能平行.
5.如图,∠BAC=90°
,PC⊥平面ABC,则在△ABC,△PAC的边所在的直线中:
与PC垂直的直线有_______;
与AP垂直的直线有________.
答案 AB,BC,AC AB
解析 ∵PC⊥平面ABC,∴PC垂直于直线AB,BC,AC;
∵AB⊥AC,AB⊥PC,∴AB⊥平面PAC,
∴AB⊥PA.与AP垂直的直线是AB.
6.如图,PA⊥圆O所在的平面,AB是圆O的直径,C是圆O上的一点,E、F分别是点A在PB、PC上的射影,给出下列结论:
①AF⊥PB;
②EF⊥PB;
③AF⊥BC;
④AE⊥平面PBC.
其中正确结论的序号是________.
答案 ①②③
解析 由题意知PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC.
又AC⊥BC,PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC.
∴BC⊥AF.∵AF⊥PC,BC∩PC=C,
∴AF⊥平面PBC,∴AF⊥PB,AF⊥BC.
又AE⊥PB,AE∩AF=A,∴PB⊥平面AEF.
∴PB⊥EF.故①②③正确.
7.设m,n是平面α内的两条不同直线,l1,l2是平面β内的两条相交直线,则α∥β的一个充分而不必要条件是________.(填序号)
①m∥β且l1∥α;
②m∥l1且n∥l2;
③m∥β且n∥β;
④m∥β且n∥l2.
解析 ∵m∥l1,且n∥l2,又l1与l2是平面β内的两条相交直线,∴α∥β,而当α∥β时不一定推出m∥l1且n∥l2.
二、解答题(共27分)
8.(13分)如图所示,在斜三棱柱A1B1C1—ABC中,底面是等腰三角形,A1B1=A1C1,侧面BB1C1C⊥底面A1B1C1.
(1)若D是BC的中点,求证:
AD⊥CC1;
(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M,若AM=MA1,求证:
截面MBC1⊥侧面BB1C1C.
证明
(1)∵AB=AC,D是BC的中点,∴AD⊥BC.
∵底面ABC⊥侧面BB1C1C,
∴AD⊥侧面BB1C1C,∴AD⊥CC1.
(2)如图,延长B1A1与BM的延长线交于点N,连结C1N.
∵AM=MA1,∴MA1綊
BB1,
∴NA1=A1B1.
∵A1B1=A1C1,
∴A1C1=A1N=A1B1,
∴NC1⊥C1B1.
∵底面NB1C1⊥侧面BB1C1C,∴C1N⊥侧面BB1C1C,
∴截面C1NB⊥侧面BB1C1C,
即截面MBC1⊥侧面BB1C1C.
9.(14分)如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别是CD、A1D1的中点.
AB1⊥BF;
(2)求证:
AE⊥BF;
(3)棱CC1上是否存在点P,使BF⊥平面AEP?
若存在,确定点P的位置,若不存在,说明理由.
(1)证明 连结A1B,则AB1⊥A1B,
又∵AB1⊥A1F,且A1B∩A1F=A1,
∴AB1⊥平面A1BF.
又BF⊂平面A1BF,∴AB1⊥BF.
(2)证明 取AD的中点G,连结FG,BG,则FG⊥AE,
又∵△BAG≌△ADE,
∴∠ABG=∠DAE.
∴AE⊥BG.又∵BG∩FG=G,
∴AE⊥平面BFG.
又BF⊂平面BFG,∴AE⊥BF.
(3)解 存在.取CC1的中点P,即为所求.
连结EP,AP,C1D,∵EP∥C1D,C1D∥AB1,∴EP∥AB1.
由
(1)知AB1⊥BF,∴BF⊥EP.
又由
(2)知AE⊥BF,且AE∩EP=E,
∴BF⊥平面AEP.
B组 专项能力提升
58分)
一、填空题(每小题5分,共30分)
1.已知l,m是不同的两条直线,α,β是不重合的两个平面,则下列命题中为真命题的是________.(填序号)
①若l⊥α,α⊥β,则l∥β;
②若l∥α,α⊥β,则l∥β;
③若l⊥m,α∥β,m⊂β,则l⊥α;
④若l⊥α,α∥β,m⊂β,则l⊥m.
答案 ④
解析 ∵l⊥α,α∥β,∴l⊥β.又∵m⊂β,∴l⊥m.
2.(2012·
浙江改编)已知矩形ABCD,AB=1,BC=
,将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中下列说法正确的是________.(填序号)
①存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直;
②存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直;
③存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直.
解析 对于①,过点A作AE⊥BD,垂足为E,过点C作CF⊥BD,垂足为F,
在图
(1)中,由边AB,BC不相等可知点E,F不重合.
在图
(2)中,连结CE,若直线AC与直线BD垂直,
又∵AC∩AE=A,∴BD⊥面ACE,
∴BD⊥CE,与点E,F不重合相矛盾,故①错误.
对于②,若AB⊥CD,
又∵AB⊥AD,AD∩CD=D,∴AB⊥面ADC,
∴AB⊥AC,由AB<
BC可知存在这样的等腰直角三角形,使得直线AB与直线CD垂直,故②正确.
对于③,若AD⊥BC,
又∵DC⊥BC,AD∩DC=D,∴BC⊥面ADC,
∴BC⊥AC.已知BC=
,AB=1,BC>
AB,
∴不存在这样的直角三角形.∴③错误.
3.矩形ABCD中,AB=1,BC=a(a>
0),PA⊥平面AC,BC边上存在点Q,使得PQ⊥QD,则实数a的取值范围是________.
答案 [2,+∞)
解析 如图,连结AQ,
∵PA⊥平面AC,
∴PA⊥QD,
又PQ⊥QD,PQ∩PA=P,
∴QD⊥平面PQA,于是QD⊥AQ,
∴在线段BC上存在一点Q,使得QD⊥AQ,
等价于以AD为直径的圆与线段BC有交点,∴
≥1,a≥2.
4.已知P为△ABC所在平面外一点,且PA、PB、PC两两垂直,则下列命题:
①PA⊥BC;
②PB⊥AC;
③PC⊥AB;
④AB⊥BC.
其中正确的个数是________.
答案 3
解析 如图所示.∵PA⊥PC、PA⊥PB,PC∩PB=P,
∴PA⊥平面PBC.
又∵BC⊂平面PBC,
∴PA⊥BC.
同理PB⊥AC、PC⊥AB.但AB不一定垂直于BC.
5.在正四棱锥P—ABCD中,PA=
AB,M是BC的中点,G是△PAD的重心,则在平面PAD中经过G点且与直线PM垂直的直线有________条.
答案 无数
解析 设正四棱锥的底面边长为a,(如图)则侧棱长为
a.
由PM⊥BC,
∴PM=
a.
连结PG并延长与AD相交于N点,
则PN=
a,MN=AB=a,
∴PM2+PN2=MN2,∴PM⊥PN,
又PM⊥AD,PN∩AD=N,∴PM⊥面PAD,
∴在平面PAD中经过G点的任意一条直线都与PM垂直.
6.已知a、b、l表示三条不同的直线,α、β、γ表示三个不同的平面,有下列四个命题:
①若α∩β=a,β∩γ=b,且a∥b,则α∥γ;
②若a、b相交,且都在α、β外,a∥α,a∥β,b∥α,b∥β,则α∥β;
③若α⊥β,α∩β=a,b⊂β,a⊥b,则b⊥α;
④若a⊂α,b⊂α,l⊥a,l⊥b,l⊄α,则l⊥α.
其中正确命题的序号是________.
答案 ②③
解析 ①在正方体A1B1C1D1—ABCD中,可令平面A1B1CD为α,平面DCC1D1为β,平面A1B1C1D1为γ,又平面A1B1CD∩平面DCC1D1=CD,平面A1B1C1D1∩平面DCC1D1=C1D1,则CD与C1D1所在的直线分别表示a,b,因为CD∥C1D1,但平面A1B1CD与平面A1B1C1D1不平行,即α与γ不平行,故①错误.②因为a、b相交,假设其确定的平面为γ,根据a∥α,b∥α,可得γ∥α.同理可得γ∥β,因此α∥β,②正确.③由两平面垂直,在一个平面内垂直于交线的直线和另一个平面垂直,易知③正确.④当a∥b时,l垂直于平面α内两条不相交直线,不可得出l⊥α,④错误.
二、解答题(共28分)
7.(14分)如图所示,在三
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- 高中数学 配套 Word 文档 84 直线 平面 垂直 判定 性质