数学高考一轮复习《对数与对数函数》Word格式文档下载.docx
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[解析] ∵<
x<
1,∴-1<
lgx<
0,∴0<
lg2x<
1,
∵a-c=lgx-lgx=lgx<
0,∴a<
c,
故a<
b,故选B.
[点评] 比较对数式的值大小的方法:
①利用中间量0、1.
(2014·
河北石家庄一模)已知a=3,b=log,c=log2,则( )
A.a>
b>
c B.b>
c>
C.c>
a D.b>
a>
c
[答案] A
[解析] 因为3>
1,0<
log<
1,c=log2<
0,
所以a>
c,故选A.
②指数互化
湖北省重点中学联考)∀α∈(,),x=(sinα)logπcosα,y=(cosα)logπsinα,则x与y的大小关系为( )
A.x>
y B.x<
y
C.x=y D.不确定
[解析] 因为logπx=logπsinαlogπcosα,logπy=logπsinα·
logπcosα,所以logπx=logπy,所以x=y,故选C.
③作差法
山东临沂市重点中学月考)若x∈(e-1,1),a=lnx,b=2lnx,c=ln3x,则( )
c B.c<
C.b<
c D.b<
[解析] 因为x=(e-1,1),所以-1<
a=lnx<
0,而b-a=lnx<
0,故b<
a,而c-a=(ln2x-1)·
lnx>
0,故c>
a,综上b<
c.
④化同真借助图象
(2013·
新课标Ⅱ)设a=log36,b=log510,c=log714,则( )
A.c>
a B.b>
C.a>
b D.a>
[解析] 本题考查了对数的运算性质.
∵a=log36=1+log32;
b=log510=1+log52;
c=log714=1+log72.
∵log32>
log52>
log72,∴a>
⑤用单调性
吉林长春质检)已知函数f(x)=loga|x|在(0,+∞)上单调递增,则( )
A.f(3)<
f(-2)<
f
(1) B.f
(1)<
f(3)
C.f(-2)<
f
(1)<
f(3) D.f(3)<
f(-2)
[解析] 因为f(x)=loga|x|在(0,+∞)上单调递增,所以a>
1,f
(1)<
f
(2)<
f(3).
又函数f(x)=loga|x|为偶函数,
所以f
(2)=f(-2),所以f
(1)<
⑥转化法
若函数f(x)=log2(x+1)且a>
0,则、、的大小关系是( )
A.>
>
B.>
C.>
D.>
[解析] ∵、、可看作函数图象上的点与原点所确定的直线的斜率,结合函数f(x)=log2(x+1)的图象及a>
0可知>
.故选B.
⑦综合法
宣城二模)若a=,b=ln2·
ln3,c=,则a,b,c的大小关系是( )
c B.c>
[解析] ∵ln6>
lnπ>
1,∴a>
c,排除B,C;
b=ln2·
ln3<
()2==a,排除D,故选A.
3.(2014·
宁夏银川质检)设函数f(x)=若f(a)>
f(-a),则实数a的取值范围是( )
A.(-1,0)∪(0,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(-1,0)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1)
[解析] f(a)>
f(-a)化为
或
∴a>
1或-1<
0,故选C.
4.(文)(2014·
石家庄调研)设f(x)为定义在R上的奇函数,当x>
0时,f(x)=log3(1+x),则f(-2)=( )
A.-1 B.-3
C.1 D.3
[解析] 由条件知f(-2)=-f
(2)=-log3(1+2)=-1.
开封一模)已知f(x)是奇函数,且f(2-x)=f(x),当x∈(2,3)时,f(x)=log2(x-1),则当x∈(1,2)时,f(x)=( )
A.-log2(4-x) B.log2(4-x)
C.-log2(3-x) D.log2(3-x)
[解析] 依题意得f(x+2)=f(-x)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=f(x).
当x∈(1,2)时,x-4∈(-3,-2),4-x∈(2,3),故f(x)=f(x-4)=-f(4-x)=-log2(4-x-1)=-log2(3-x),选C.
5.(2014·
安徽皖南八校第一次联考)已知集合A={x|y=log2(x2-1)},B={y|y=()x-1},则A∩B=( )
A.(,1) B.(1,2)
C.(0,+∞) D.(1,+∞)
[解析] A={x|y=log2(x2-1)}={x|x2-1>
0}={x|x>
1或x<
-1},B={y|y=()x-1}={y|y>
0},∴A∩B={x|x>
1}.
6.(文)设a>
1,c<
0,给出下列三个结论:
①>
;
②ac<
bc;
③logb(a-c)>
loga(b-c).
其中所有的正确结论的序号是( )
A.① B.①②
C.②③ D.①②③
[解析] 本题考查不等式性质,比较大小.
-=,∵a>
0,∴>
0,>
,①正确;
1,ac<
bc,②正确;
∵a-c>
b-c>
∴logb(a-c)>
logb(b-c)>
loga(b-c),③正确.
[点评] 比较大小的方法有作差法、单调性法等.
北京东城区检测)给出下列命题:
①在区间(0,+∞)上,函数y=x-1,y=x,y=(x-1)2,y=x3中有3个是增函数;
②若logm3<
logn3<
0,则0<
n<
m<
1;
③若函数f(x)是奇函数,则f(x-1)的图象关于点A(1,0)对称;
④已知函数f(x)=,则方程f(x)=有2个实数根,其中正确命题的个数为( )
[解析] 命题①中,在(0,+∞)上只有y=x,y=x3为增函数,故①不正确;
②中第1个不等式等价于log31>
log3m>
log3n,故0<
1,②正确;
③中函数y=f(x-1)的图象是把y=f(x)的图象向右平移1个单位得到的,由于函数y=f(x)的图象关于坐标原点对称,故函数y=f(x-1)的图象关于点A(1,0)对称,③正确;
④中当3x-2=时,x=2+log3<
2,当log3(x-1)=时,x=1+>
2,故方程f(x)=有2个实数根,④正确.故选C.
二、填空题
7.(文)函数y=的定义域为________.
[答案] {x|1≤x<
或-<
x≤-1}
[解析] 要使函数有意义,应满足log(2-x2)≥0,
∵y=logx为减函数,∴0<
2-x2≤1,∴1≤x2<
2,
∴1≤x<
x≤-1.
(理)函数f(x)=ln的定义域是________.
[答案] (-∞,0)∪(1,+∞)
[解析] 要使f(x)有意义,应有1+>
∴>
0,∴x<
0或x>
1.
8.(文)(2014·
南京模拟)若函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上是单调递增函数.如果实数t满足f(lnt)+f(ln)≤2f
(1),那么t的取值范围是________.
[答案] [,e]
[解析] 由于函数f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(lnt)=f(ln),由f(lnt)+f(ln)≤2f
(1),得f(lnt)≤f
(1).又函数f(x)在区间[0,+∞)上是单调递增函数,所以|lnt|≤1,-1≤lnt≤1,故≤t≤e.
(理)(2014·
浙江温州八校联考)设函数f(x)的定义域为R,且是以3为周期的奇函数,|f
(1)|>
2,f
(2)=loga4(a>
0,且a≠1),则实数a的取值范围是________.
[答案] <
1或1<
2
[解析] 由条件知,|f
(1)|=|f(-1)|=|f
(2)|=|loga4|>
∴loga4>
2或loga4<
-2,
∴1<
2或<
9.(文)方程log3(x2-10)=1+log3x的解是________.
[答案] x=5
[解析] 原方程化为log3(x2-10)=log3(3x),由于y=log3x在(0,+∞)上严格单增,则x2-10=3x,解之得x1=5,x2=-2.∵要使log3x有意义,应有x>
0,∴x=5.
广东韶关调研)已知函数f(x)=且关于x的方程f(x)+x-a=0有且只有一个实根,则实数a的取值范围是________.
[答案] a>
1
[解析] 如图,在同一坐标系中分别作出y=f(x)与y=-x+a的图象,其中a表示直线在y轴上截距,由图可知,当a>
1时,直线y=-x+a与y=log2x只有一个交点.
三、解答题
10.(文)(2014·
江西南昌第二中学第一次月考)已知f(x)=log(x2-mx-m).
(1)若函数f(x)的值域为R,求实数m的取值范围;
(2)若函数f(x)在区间(-∞,1-)上是增函数,求实数m的取值范围.
[解析]
(1)设g(x)=x2-mx-m,要使得函数f(x)的值域为R,则g(x)=x2-mx-m能取遍所有的正数,则有(-m)2-4×
(-m)≥0,解得m≥0或m≤-4.
(2)函数f(x)=log(x2-mx-m)的底数是,那么若函数f(x)在区间(-∞,1-)上是增函数,则函数g(x)=x2-mx-m在区间(-∞,1-)上是减函数,则有解得2-2≤m≤2.
北京朝阳期末)已知f(x)=log3,x∈(0,+∞),是否存在实数a,b,使f(x)同时满足下列条件:
①在(0,1)上是减函数,在[1,+∞)上是增函数;
②f(x)的最小值是1.若存在,求出a,b的值;
若不存在,请说明理由.
[解析] 假设存在实数a,b使命题成立,
∵f(x)在(0,1)上是减函数,在[1,+∞)上是增函数,
∴x=1时,f(x)取得最小值1,
∴log3=1,∴a+b=2.
∵f(x)在(0,1)上是减函数,
设0<
x1<
x2<
∴f(x1)>
f(x2)恒成立,
即>
恒成立,
整理得>
0恒成立.
∵0<
1,∴x1-x2<
0,x1x2>
∴x1x2-b<
0恒成立,即x1x2<
b恒成立,
而x1x2<
1,∴b≥1.
同理,f(x)在[1,+∞)上是增函数,
可得b≤1,∴b=1.又∵a+b=2,∴a=1.
故存在a=1,b=1同时满足题中条件.
11.(文)(2014·
山东德州期末)函数y=(0<
1)的图象的大致形状是( )
[解析] 因为y==且0<
1,所以根据指数函数的图象和性质,当x∈(0,+∞)时,函数为减函数,图象下降;
当x∈(-∞,0)时,函数是增函数,图象上升,故选D.
(理)函数y=ln||与y=-在同一平面直角坐标系内的大致图象为( )
[解析] y=ln||为偶函数,当x>
0时,y=ln=-lnx为减函数,故排除A、B;
y=-≤0,其图象在x轴下方,排除D,故选C.
12.(文)已知符号函数sgn(x)=则函数f(x)=sgn(lnx)-ln2x的零点个数为( )
A.4 B.3
C.2 D.1
[解析] 由题意得f(x)=sgn(lnx)-ln2x
=则令1-ln2x=0⇒x=e或x=(舍去);
令-ln2x=0⇒x=1;
当-1-ln2x=0时,方程无解,所以f(x)=sgn(lnx)-ln2x有两个零点,故选C.
(理)已知函数f(x)=()x-log3x,若实数x0是方程f(x)=0的解,且0<
x0,则f(x1)的值( )
A.不小于0 B.恒为正数
C.恒为负数 D.不大于0
[解析] 若实数x0是方程f(x)=0的解,即x0是函数y=()x和y=log3x的图象的交点的横坐标,因为0<
x0,画图易知()x1>
log3x1,所以f(x1)恒为正数.
13.(文)(2013·
湖南张家界一模)若logmn=-1,则m+3n的最小值是( )
A.2 B.2
C.2 D.
[解析] 由logmn=-1,得m-1=n,则mn=1.
由于m>
0,n>
0,∴m+3n≥2=2.故选B.
(理)(2015·
广东肇庆检测)已知函数f(x)=ax+loga(x+1)(a>
0且a≠1)在区间[0,1]上的最大值为M,最小值为N.若M+N=a,则实数a的值为( )
A. B.
C.2 D.4
[解析] 因为y=ax与y=loga(x+1)在[0,1]上具有相同的单调性,所以f(x)=ax+loga(x+1)在[0,1]上单调,故M+N=f(0)+f
(1)=a,即1+a+loga2=a,解得a=.
14.定义在R上的奇函数f(x)满足:
当x>
0时,f(x)=2014x+log2014x,则方程f(x)=0的实根的个数为( )
C.3 D.5
[解析] 当x>
0时,f(x)=0即2014x=-log2014x,在同一坐标系下分别画出函数f1(x)=2014x,f2(x)=-log2014x的图象(图略),可知两个图象只有一个交点,即方程f(x)=0只有一个实根,又因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以当x<
0时,方程f(x)=0也有一个实根,又因为f(0)=0,所以方程f(x)=0的实根的个数为3.
15.(2014·
河南郑州模拟)已知函数y=f(x)的图象与函数y=2-x-1的图象关于直线y=x对称,则f(3)=________.
[答案] -2
[解析] 由题意y=f(x)的图象与函数y=2-x-1的图象关于直线y=x对称,令f(3)=a,则点(a,3)必在函数y=2-x-1的图象上,所以2-a-1=3,解得a=-2,即f(3)=-2.
16.(文)(2013·
安徽师大附中、安庆一中联考)已知函数f(x)的定义域为A,若其值域也为A,则称区间A为f(x)的保值区间.若g(x)=x+m+lnx的保值区间是[e,+∞),则m的值为________.
[答案] -1
[解析] 由题意得,g(x)的值域为[e,+∞),由x≥e时,g′(x)=1+>
0,所以当x≥e时,g(x)为增函数,由题意可得g(e)=e+m+1=e,解得m=-1.
山东郯城一中月考)对任意实数a、b,定义运算“*”如下:
a*b=则函数f(x)=log(3x-2)*log2x的值域为________.
[答案] (-∞,0]
[解析] 易知函数f(x)的定义域为(,+∞),在同一直角坐标系中画出函数y=log(3x-2)和y=log2x的图象,
由a*b的定义可知,f(x)的图象为图中实线部分,
∴由图象可得f(x)=的值域为(-∞,0].
17.(文)(2014·
吉林长春模拟)设f(x)=loga(1+x)+loga(3-x)(a>
0,a≠1),且f
(1)=2.
(1)求a的值及f(x)的定义域;
(2)求f(x)在区间[0,]上的最大值.
[解析]
(1)∵f
(1)=2,∴loga4=2(a>
0,a≠1),∴a=2.
由得x∈(-1,3),
∴函数f(x)的定义域为(-1,3).
(2)f(x)=log2(1+x)+log2(3-x)
=log2[(1+x)(3-x)]=log2[-(x-1)2+4],
∴当x∈(-1,1]时,f(x)是增函数;
当x∈(1,3)时,f(x)是减函数,
函数f(x)在[0,]上的最大值是f
(1)=log24=2.
(理)已知函数f(x)=log(a是常数且a<
2).
(1)求f(x)的定义域;
(2)若f(x)在区间(2,4)上是增函数,求a的取值范围.
[解析]
(1)∵>
0,∴(ax-2)(x-1)<
①当a<
0时,函数的定义域为∪(1,+∞);
②当a=0时,函数的定义域为(1,+∞);
③当0<
2时,函数的定义域为.
(2)∵f(x)在(2,4)上是增函数,
∴只要使在(2,4)上是减函数且恒为正即可.
令g(x)=,
即当x∈(2,4)时g′(x)≤0恒成立且g(4)≥0.
解法一:
g′(x)==,
∴当a-2<
0,即a<
2时,g′(x)≤0.
g(4)≥0,即1-2a≥0,∴a≤,∴a∈.
解法二:
∵g(x)==-a+,
∴要使g(x)=-a+在(2,4)上是减函数,只需2-a>
以下步骤同解法一.
18.(文)已知函数f(x)=loga(3-ax).
(1)当x∈[0,2]时,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围;
(2)是否存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1?
如果存在,试求出a的值;
如果不存在,请说明理由.
[解析]
(1)由题意,3-ax>
0对一切x∈[0,2]恒成立,∵a>
0且a≠1,
∴g(x)=3-ax在[0,2]上是减函数,从而g
(2)=3-2a>
0得a<
.∴a的取值范围为(0,1)∪.
(2)假设存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1.
由题设f
(1)=1,即loga(3-a)=1,
∴a=,此时f(x)=log,当x=2时,函数f(x)没有意义,故这样的实数a不存在.
四川资阳二诊)设函数f(x)=log4(4x+1)+ax(a∈R).
(1)若函数f(x)是定义在R上的偶函数,求a的值;
(2)若不等式f(x)+f(-x)≥mt+m对任意x∈R,t∈[-2,1]恒成立,求实数m的取值范围.
[解析]
(1)由函数f(x)是定义在R上的偶函数,得f(x)=f(-x)恒成立,
即log4(4x+1)+ax=log4(4-x+1)-ax,
所以2ax=log4=log4=-x,
所以(2a+1)x=0恒成立,
则2a+1=0,故a=-.
(2)f(x)+f(-x)=log4(4x+1)+ax+log4(4-x+1)-ax=log4(4x+1)+log4(4-x+1)=log4[(4x+1)·
(4-x+1)]=log4(2+4x+4-x)≥log4(2+2)=1.
所以mt+m≤1对任意t∈[-2,1]恒成立,令h(t)=mt+m,
由解得-1≤m≤,故实数m的取值范围是[-1,].
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