九年级数学下册第二十八章锐角三角函数282解直角三角形及其应用2822应用举例第2课时坡度方Word格式.docx
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济宁如图28-2-33,在一笔直的海岸线l上有相距2km的A,B两个观测站,B站在A站的正东方向上,从A站测得船C在北偏东60°
的方向上,从B站测得船C在北偏东30°
的方向上,则船C到海岸线l的距离是________km.
图28-2-33
5.2017·
乌鲁木齐如图28-2-34,一艘渔船位于港口A的北偏东60°
方向,距离港口A20海里的B处,它沿着北偏西37°
方向航行至C处突然出现故障,在C处等待救援,B,C之间的距离为10海里,救援船从港口A出发20分钟到达C处,求救援船的航行速度.(结果取整数.参考数据:
sin37°
≈0.6,cos37°
≈0.8,≈1.732)
图28-2-34
6.④如图28-2-35,我国某海域A处有一艘捕鱼船在作业时突遇特大风浪,船长马上向我国渔政搜救中心发出求救信号,此时一艘渔政船正巡航到捕鱼船正西方向25海里的B处,该渔政船收到渔政搜救中心指令后前去救援,但两船之间有大片暗礁,无法直线到达,于是决定马上调整方向,先向北偏东60°
方向以每小时40海里的速度航行半小时到达C处,再向南偏东53°
方向航行,同时捕鱼船向正北方向低速航行.若两船航速不变,并且在D处会合,求C,D两点间的距离和捕鱼船的速度.(结果保留整数.参考数据:
≈1.7,sin53°
≈,cos53°
≈,tan53°
≈)
图28-2-35
④通过作辅助线可以把四边形ABCD转化成两个直角三角形和一个矩形求解.
命题点2 方向角在陆地上的应用 [热度:
90%]
7.2017·
百色如图28-2-36,在距离铁轨200米的B处,观察由南宁开往百色的“和谐号”动车,当动车车头在A处时,恰好位于B处的北偏东60°
方向上,10秒钟后,动车车头到达C处,恰好位于B处的西北方向上,则这列动车的平均车速是________米/秒( )
图28-2-36
A.20(1+) B.20(-1) C.200 D.300
8.在综合实践课上,小聪所在小组要测量一条河的宽度,如图28-2-37,河岸EF∥MN,小聪在河岸MN上的点A处用测角仪测得河对岸小树C位于东北方向,然后他沿河岸走了30米,到达B处,测得河对岸电线杆D位于北偏东30°
方向,此时,其他同学测得CD=10米,根据这些数据可求出河的宽度为________米.(结果保留根号)
图28-2-37
9.⑤如图28-2-38,AC是某市环城路的一段,AE,BF,CD都是南北方向的街道,它们与环城路AC的交叉路口分别是A,B,C.经测量,花卉世界D位于点A的北偏东45°
方向,点B的北偏东30°
方向上,AB=2km,∠DAC=15°
.
(1)求B,D之间的距离;
(2)求C,D之间的距离.
图28-2-38
⑤利用方向角、平行线的性质及三角形外角的性质,可得△ABD是等腰三角形.
命题点3 坡度在实际问题中的应用 [热度:
10.2018·
重庆如图28-2-39,旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上,旗杆与地面垂直,在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角∠AED=58°
,升旗台底部到教学楼底部的距离DE=7米,升旗台坡面CD的坡度i=1∶0.75,坡长CD=2米.若旗杆底部到坡面CD的水平距离BC=1米,则旗杆AB的高度约为(参考数据:
sin58°
≈0.85,cos58°
≈0.53,tan58°
≈1.6)( )
图28-2-39
A.12.6米B.13.1米C.14.7米D.16.3米
11.2018·
重庆如图28-2-40,AB是一垂直于水平面的建筑物,某同学从建筑物底端B出发,先沿水平方向向右行走20米到达点C,再经过一段坡度(或坡比)为i=1∶0.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D,然后再沿水平方向向右行走40米到达点E(点A,B,C,D,E均在同一平面内).在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°
,则建筑物AB的高度约为(参考数据:
sin24°
≈0.41,cos24°
≈0.91,tan24°
≈0.45)( )
图28-2-40
A.21.7米B.22.4米C.27.4米D.28.8米
12.⑥如图28-2-41,某公园入口处原有三级台阶,每级台阶高为18cm,深为30cm,为方便残疾人士,拟将台阶改为斜坡,设台阶的起点为A,斜坡的起始点为C,现设计斜坡BC的坡度i=1∶5,则AC的长度是________cm.
图28-2-41
⑥利用平移可得斜坡BC的高.
13.⑦如图28-2-42,点A,B,C表示某旅游景区三个缆车站的位置,线段AB,BC表示连接缆车站的钢缆,已知A,B,C三点在同一铅直平面内,它们的海拔AA′,BB′,CC′分别为110米,310米,710米,钢缆AB的坡度i1=1∶2,钢缆BC的坡度i2=1∶1,景区因改造缆车线路,需要从A到C沿直线架设一条钢缆,那么钢缆AC的长度是多少米?
图28-2-42
⑦利用A,B,C三点的海拔,可以求出AB,BC的竖直高度,进而利用坡度求出其水平宽度,再利用勾股定理求出AC的长度.
14.⑧如图28-2-43,高36米的楼房AB正对着斜坡CD,点E在斜坡CD的中点处,已知斜坡的坡角(即∠DCG)为30°
,AB⊥BC.
(1)若点A,B,C,D,E,G在同一个平面内,从点E处测得楼顶A的仰角α为37°
,楼底B的俯角β为24°
,则点A,E之间的距离是多少米(结果精确到0.1米)?
(2)现计划在斜坡中点E处挖去部分斜坡,修建一个平行于水平线BC的平台EF和一条新的斜坡DF,使新斜坡DF的坡比为∶1.某施工队承接了这项任务,为尽快完成任务,增加了人手,实际工作效率提高到原计划的1.5倍,结果比原计划提前2天完成任务,施工队原计划平均每天修建多少米?
(参考数据:
cos37°
≈0.80,tan37°
≈0.75,tan24°
≈0.45,cos24°
≈0.91)
图28-2-43
⑧对于
(1)可先求出点E到AB的距离,从而求出AE的长度,对于
(2)可先求出EF,DF的长度,再列分式方程求解.
详解详析
1.A 2.B
3.D [解析]∵∠CAB=10°
+20°
=30°
,∠CBA=80°
-20°
=60°
,∴∠C=90°
.∵AB=20海里,
∴AC=AB·
cos30°
=10海里,∴救援船航行的速度为10÷
=30(海里/时).
4. [解析]如图,过点C作CD⊥AB于点D,
根据题意得:
∠CAD=90°
-60°
,∠CBD=90°
-30°
,∴∠ACB=∠CBD-∠CAD=30°
,∴∠CAB=∠ACB,∴BC=AB=2km.
在Rt△CBD中,CD=BC·
sin60°
=2×
=(km).
5.解:
如图,过点B作BD⊥AD,垂足为D,过点C作CE⊥BD于点E,反向延长EC交AF于点F.
由题意,知∠FAB=60°
,∠CBE=37°
,
∴∠BAD=30°
∵AB=20海里,∴BD=10海里.
在Rt△ABD中,AD==10≈17.32(海里).
在Rt△BCE中,sin37°
=,
∴CE=BC·
≈10×
0.6=6(海里).
∵cos37°
∴EB=BC·
0.8=8(海里).
∵EF=AD≈17.32海里,
∴FC=EF-CE≈11.32海里,AF=ED=EB+BD≈18海里.
在Rt△AFC中,
AC=≈≈21.26(海里).
20分钟=小时,21.26÷
=21.26×
3≈64(海里/时).
答:
救援船的航行速度约是64海里/时.
6.解:
如图,过点C作CG⊥AB于点G,过点D作DF⊥CG于点F.
在Rt△CBG中,
由题意知∠CBG=30°
,BC=40×
=20(海里),
∴CG=BC=10海里,BG=BC·
=10≈17(海里).
∵∠DFG=∠FGA=∠DAG=90°
∴四边形ADFG是矩形,
∴DF=AG=AB-BG≈25-17=8(海里).
在Rt△CDF中,∠CFD=90°
,∠DCF=53°
∴CD=≈10海里,CF=≈6海里,
∴AD=FG=CG-CF≈10-6=4(海里).
∵渔政船航行时间约为+=(时),
∴捕鱼船的速度约为4÷
≈5(海里/时).
C,D两点间的距离约为10海里,捕鱼船的速度约为5海里/时.
7.A [解析]过点B作BD⊥AC于点D,则BD=200米,∠CBD=45°
,∠ABD=60°
.在Rt△BCD中,BD=CD=200米,在Rt△ABD中,AD=BD·
tam60°
=200米,∴AC=CD+AD=(200+200)米,∴动车的平均速度是(200+200)÷
10=20+20=20(1+)米/秒.
8.(30+10) [解析]如图,过点B,C分别作BH⊥EF,CK⊥MN,垂足分别为H,K,则四边形BHCK是矩形.
设CK=HB=x米.
∵∠CKA=90°
,∠CAK=45°
∴∠CAK=∠ACK=45°
∴AK=CK=x米,HC=BK=AK-AB=(x-30)米,
∴HD=x-30+10=(x-20)米.
在Rt△BHD中,∠BHD=90°
,∠HBD=30°
∴tan30°
=,即=,
解得x=30+10.
∴河的宽度为(30+10)米.
9.解:
(1)由题意得∠EAD=45°
,∠FBD=30°
∴∠EAC=∠EAD+∠DAC=45°
+15°
∵AE∥BF∥CD,
∴∠FBC=∠EAC=60°
∴∠DBC=30°
又∵∠DBC=∠DAB+∠ADB,
∴∠ADB=15°
∴∠DAB=∠ADB,
∴BD=AB=2km.
即B,D之间的距离为2km.
(2)如图,过点B作BO⊥DC,交其延长线于点O.
在Rt△DBO中,BD=2km,∠DBO=60°
∴DO=2×
=(km),BO=2×
cos60°
=1(km).
在Rt△CBO中,∠CBO=30°
,CO=BO·
tan30°
=km,
∴CD=DO-CO=km.
即C,D之间的距离为km.
10.B [解析]如图,延长AB交ED的延长线于点M,过点C作CJ⊥DM于点J,则四边形BMJC是矩形.
在Rt△CJD中,==,设CJ=4k米,DJ=3k米,则有9k2+16k2=4,
∴k=,
∴BM=CJ=米,BC=MJ=1米,DJ=米,EM=MJ+DJ+DE=米.
在Rt△AEM中,tan∠AEM=,
∴1.6≈,解得AB≈13.1(米).
11.A [解析]如图,作BM⊥ED交ED的延长线于点M,CN⊥DM于点N.
在Rt△CDN中,∵==,设CN=4k,DN=3k,∵CD=10米,∴(3k)2+(4k)2=100,∴k=2,∴CN=8米,DN=6米.∵四边形BMNC是矩形,∴BM=CN=8米,BC=MN=20米,EM=MN+DN+DE=66米.在Rt△AEM中,tanE=tan24°
=,∴0.45≈,∴AB≈21.7(米).
12.210 [解析]由题意得斜坡的高为18×
3=54(cm),由题意有=,解得AC=210(cm).
13.解:
如图,过点A作AE⊥CC′于点E,交BB′于点F,过点B作BD⊥CC′于点D,
则△AFB,△BDC,△AEC都是直角三角形,四边形AA′B′F,BB′C′D和BFED都是矩形,
∴BF=BB′-B′F=BB′-AA′=310-110=200(米),CD=CC′-C′D=CC′-BB′=710-310=400(米).
∵i1=1∶2,i2=1∶1,
∴AF=2BF=400米,BD=CD=400米.
又∵EF=BD=400米,DE=BF=200米,
∴AE=AF+EF=800米,CE=CD+DE=600米,
∴在Rt△AEC中,AC==1000米.
钢缆AC的长度是1000米.
14.解:
(1)如图,过点E作EM⊥AB于点M.
设ME=x米,
∴AM=tanα·
x米,BM=tanβ·
x米.
∵AB=36米,∴tanα·
x+tanβ·
x=36,
∴tan37°
x+tan24°
x=36,解得x=30,
∴AE=≈=37.5(米).
点A,E之间的距离约是37.5米.
(2)如图,延长EF交DG于点N.
∵EF∥BG,∴EN⊥DG,
易知GN=BM=tan24°
×
30≈13.5(米),DE=CE,EF∥BC,
∴DN=GN≈13.5米.
∵∠DCG=30°
,∴∠DEN=30°
∴EN=≈(13.5×
)米.
∵斜坡DF的坡比为∶1,
∴=,∴∠DFN=60°
∴∠EDF=30°
,FN=≈(13.5×
)米,
∴DF=EF=EN-FN≈(13.5×
∴EF+DF=27×
=18(米).
设施工队原计划平均每天修建y米.
根据题意,得=+2,解得y=3,
经检验,y=3是方程的根且符合题意.
施工队原计划平均每天修建3米.
【关键问答】
①直角与方向角的差,直角与方向角的和,方向角的和或差,平行线的性质定理等.
②坡角指的是坡面与水平面的夹角,坡度指的是坡角的正切值,即斜坡的垂直高度与水平宽度的比.
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