向量的内积Word下载.docx
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b=0
a
b”经常用来研究向量垂直问题,是推出两个向量内积坐标表示的重要基础.
【教学备品】
教学课件.
【课时安排】
2课时.(90分钟)
【教学过程】
教学
过程
教师
行为
学生
教学
意图
时间
*揭示课题
7.3平面向量的内积
*创设情境兴趣导入
如图7-21所示,水平地面上有一辆车,某人用100N的力,朝着与水平线成
角的方向拉小车,使小车前进了100m.那么,这个人做了多少功?
介绍
质疑
引导
分析
了解
思考
自我
从实例出发使学生自然的走向知识点
5
*动脑思考探索新知
【新知识】
我们知道,这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积.如图7-22所示,设水平方向的单位向量为i,垂直方向的单位向量为j,则
i+yj
,
即力F是水平方向的力与垂直方向的力的和,垂直方向上没有产生位移,没有做功,水平方向上产生的位移为s,即
W=|F|cos
·
|s|=100×
10=500
(J)
总结
归纳
理解
带领
图7-22
这里,力F与位移s都是向量,而功W是一个数量,它等于由两个向量F,s的模及它们的夹角的余弦的乘积,W叫做向量F与向量s的内积,它是一个数量,又叫做数量积.
如图7-23,设有两个非零向量a,b,作
=a,
=b,由射线OA与OB所形成的角叫做向量a与向量b的夹角,记作<
.
两个向量a,b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量b的内积,记作a·
b,即
a·
b=|a||b|cos<
(7.10)
上面的问题中,人所做的功可以记作W=F·
s.
由内积的定义可知
a·
0=0,0·
a=0.
仔细
讲解
关键
词语
记忆
式启
发学
生得
出结
果
15
由内积的定义可以得到下面几个重要结果:
b=−|a||b|.
(2)cos<
.
(3)当b=a时,有<
a,a>
=0,所以a·
a=|a||a|=|a|2,即|a|=
(4)当
时,a
b,因此,a·
b=
因此对非零向量a,b,有
b.
可以验证,向量的内积满足下面的运算律:
(1)a·
b=b·
a.
(2)(
)·
(a·
b)=a·
(
b).
(3)(a+b)·
c=a·
c+b·
c.
注意:
一般地,向量的内积不满足结合律,即
(b·
c)≠(a·
b)·
c.
请结合实例进行验证.
反复强调
30
*巩固知识典型例题
例1已知|a|=3,|b|=2,<
求a·
b.
解a·
b=|a||b|cos<
=3×
2×
cos
=3.
例2已知|a|=|b|=
a·
求<
解cos<
=−
由于0≤<
≤
所以<
说明
强调
引领
主动
求解
注意
观察
是否
知识
点
40
*运用知识强化练习
1.已知|a|=7,|b|=4,a和b的夹角为
,求a·
2.已知a·
a=9,求|a|.
3.已知|a|=2,|b|=3,<
,求(2a+b)·
提问
巡视
指导
口答
及时
掌握
得情
况
45
设平面向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),i,j分别为x轴,
y轴上的单位向量,由于i⊥j,故i·
j=0,又|i|=|j|=1,所以
b=(x1i+y1j)·
(x2i+y2j)
=x1x2i•i+x1y2i•j+x2y1i•j+y1y2j•j
=x1x2|j|2+y1y2|j|2
=x1x2+y1y2.
这就是说,两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和,即
a·
b=x1x2+y1y2 (7.11)
利用公式(7.11)可以计算向量的模.设a=(x,y),则
,即
(7.12)
由平面向量内积的定义可以得到,当a、b是非零向量时,
cos<
.(7.13)
利用公式(7.13)可以方便地求出两个向量的夹角.
由于a
b
b=0,由公式(7.11)可知
x1x2+y1y2=0.
因此
x1x2+y1y2=0. (7.14)
利用公式(7.14)可以方便地利用向量的坐标来研究向量垂直的问题.
60
例3求下列向量的内积:
(1)a=(2,−3),b=(1,3);
(2)a=(2,−1),b=(1,2);
(3)a=(4,2),b=(−2,−3).
解
(1)a·
b=2×
1+(−3)×
3=−7;
(2)a·
1+(−1)×
2=0;
(3)a·
(−2)+2×
(−3)=−14.
例4已知a=(−1,2),b=(−3,1).求a·
b,|a|,|b|,<
b=(−1)(−3)+2×
1=5;
|a|=
;
|b|=
cos<
例5判断下列各组向量是否互相垂直:
(1)a=(−2,3), b=(6,4);
(2)a=(0,−1), b=(1,−2).
解
(1)因为a·
b=(−2)×
6+3×
4=0,所以a
(2)因为a·
b=0×
(−2)=2,所以a与b不垂直.
含义
领会
反复
70
1.已知a=(5,−4),b=(2,3),求a·
2.已知a=(1,
),b=(0,
),求<
3.已知a=(2,−3),b=(3,-4),c=(−1,3),求a·
(b+c).
4.判断下列各组向量是否互相垂直:
(1)a=(−2,−3),b=(3,−2);
(2)a=(2,0),b=(0,
启发
动手
80
−3);
(3)a=(−2,1),b=(3,4).
5.求下列向量的模:
(1)a=(2,−3),
(2)b=(8,6).
*理论升华整体建构
思考并回答下面的问题:
平面向量内积的概念、几何意义?
结论:
a,b>
(7.10)
b的几何意义就是向量a的模与向量b在向量a上的投影的乘积.
归纳强调
回答
及时了解学生知识掌握情况
83
*归纳小结强化思想
本次课学了哪些内容?
重点和难点各是什么?
回忆
*自我反思目标检测
本次课采用了怎样的学习方法?
你是如何进行学习的?
你的学习效果如何?
1.已知a=(5,−4),b=(2,3),求a·
2.已知a=(2,−3),b=(3,−4),c=(−1,3),求a·
反思
检验
学习
效果
88
*继续探索活动探究
(1)读书部分:
阅读教材
(2)书面作业:
教材习题7.3A组(必做);
7.3B组(选做)
(3)实践调查:
编写一道向量内积问题并解答.
记录
分层次要求
90
【教师教学后记】
项目
反思点
学生知识、技能的掌握情况
学生是否真正理解有关知识;
是否能利用知识、技能解决问题;
在知识、技能的掌握上存在哪些问题;
学生的情感态度
学生是否参与有关活动;
在数学活动中,是否认真、积极、自信;
遇到困难时,是否愿意通过自己的努力加以克服;
学生思维情况
学生是否积极思考;
思维是否有条理、灵活;
是否能提出新的想法;
是否自觉地进行反思;
学生合作交流的情况
学生是否善于与人合作;
在交流中,是否积极表达;
是否善于倾听别人的意见;
学生实践的情况
学生是否愿意开展实践;
能否根据问题合理地进行实践;
在实践中能否积极思考;
能否有意识的反思实践过程的方面;
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- 向量 内积