最新高考高考数学三角函数与三角代换 精品.docx
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三角函数与三角代换
一.教学内容:
三角函数与三角代换
二.本周教学重难点:
三角函数的图象和性质、正、余弦定理、三角函数的应用。
【典型例题】
[例1]已知()
(1)求取得最大值时的集合;
(2)求的单调递增区间。
解:
(1)当时,取得最大值,这时()
∴()
∴使取得最大值的的集合为,
(2)令()
∴()
∴的单调增区间为()
[例2]已知正弦函数(,)的一部分图象如图所示。
(1)求此函数的解析式;
(2)求与的图象关于对称的函数解析式
(3)作出函数的图象的简图。
解:
(1)设,由图象可知,
解得,即,
将,代入得
即解得
∴
(2)设(,)是图象上的任意点,与它关于直线对称的点为(,)
则代入中
可得
∴
(3)
简图如图所示。
[例3]已知的图象关于直线对称,求实数的值。
解法1:
将变形为
∵直线是其一条对称轴∴必是的最大值或最小值
从而,即
解得
解法2:
∵的图象关于对称
∴取,则
即解得
[例4]已知,,且,试比较,,的大小。
解:
∵∴∴
又∴,
设法比较与的大小
令,则,于是
由可知,
且
∴
由于正弦函数在(0,)上是增函数,故可得
,即
综上可知
[例5]已知,,,,,求的值。
解:
∵∴,即
∵∴又∴
∴,
从而
[例6]如图,ABCD是一块边长为100m的正方形地皮,其中AST是一半径为90m的扇形小山,其余部分都是平地,一开发商想在平地上建一个矩形停车场,使矩形的一个顶点P在上,相邻两边CQ、CR落在正方形的边BC、CD上,求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值。
解:
设(),延长RP交AB于M,则AM=,MP=
∴PQ=MB=
∴
令()则
∴
故当时,的最小值为,当时,的最大值为
[例7]已知,问:
是否存在满足的、,使得F()的值不随的变化而变化?
如果存在。
求出、的值;如果不存在,说明理由。
解:
的值不随变化的充要条件是,
可得∴,同理
又∴存在,满足题意。
[例8]在中,角A、B、C所对的边分别为、、,且,求的取值范围。
解:
由条件,利用余弦定理:
∴
从而
∵∴即
【模拟试题】
一.选择:
1.函数定义在区间(,)()内,则()
A.有最大值B.有最大值或最小值
C.有最小值D.可能既无最大值又无最小值
2.设,若、,且,则下列结论中,必成立的是()
A.B.C.D.
3.在(0,)内,使成立的取值范围为()
A.
B.
C.
D.
4.若A、B、C是的三个内角,且(),则下列结论中正确的是()
A.B.
C.D.
5.函数是奇函数,则等于()
A.B.C.D.
6.已知,且,则的值是()
A.B.C.D.
7.函数的图象是轴对称图形,它的一条对称轴可以是()
A.轴B.直线C.直线D.直线
8.有四个函数:
①②③④其中周期为,且在(0,)上为增函数的是()
A.②③B.③④C.①②④D.①②③
二.填空:
1.若的图象关于轴对称,则的一个可取值为。
2.若的最小正周期为T,且,则的取值范围为。
3.函数的最小正周期为。
4.在高出地面的小山顶上建造一座电视塔CD(如图),今在距离B点60m的地面上取一点A。
若测得CD所张的角为,则该电视塔的高度为m。
三.解答题:
1.已知、都是锐角,,,求的值。
2.已知半径为1,圆心角为的扇形,求一边在半径上的扇形的内接矩形的最大面积。
3.设、为锐角,且,问是否存在最大值与最小值?
如果存在请求出,如果不存在,请说明理由。
4.已知外接圆半径为6的的边长为、、,角B、C和面积S满足条件:
和。
(1)求;
(2)求面积的最大值。
【试题答案】
一.
1.D2.D3.C4.C5.D6.B7.B8.D
二.
1.2.或3.4.150
三.
1.解:
∵、为锐角,∴,
∴
从而
2.解:
如图,设,则,
又
∴
∴
∴当,即时,
3.解:
∵、∴∴
即无最大值,故函数无最大值
又由知
当即,也即时有最小值
4.解:
(1)由
得,进而有
(2)∵∴即=16
∴
故当时,
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