高斯小学奥数五年级上册含答案环形路线Word文档下载推荐.docx
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为什么会出现最后一名超过第一名的现象呢?
同学们可能已经想清楚了,这是因为跑道
是一个圆•今天我们就来学习一下环形路线问题.
顾名思义,环形路线的运动路径是一个封闭的曲线,这就意味着从一个点出发,跑完一
圈之后会回到出发点,这是完全不同于直线运动的.同样的,环形中的相遇问题与直线形问
题也是略有不同的.如图所示,从一个点出发,背向而行的两人,会在圆周上的一点相遇.这时他们走过的路程和为一个圆周.而如果他们从同一个点出发同向而行,慢的那个人会在圆
周上的一点被快的那人追上•这时他们走过的路程之差是一个圆周.
相遇时间=周长*(甲速+乙速)
追及时间=周长+(乙速一甲速)
这里要特别说明,在圆周上两点之间的距离是这样定义:
两点间较短一段圆弧的长度•如右图,AB两点间的距离就是
AB间粗实线的长度.
例题1.黑、白两只小猫沿着周长为300米的湖边跑,黑猫的速度为每秒5米,白猫
的速度为每秒7米•若两只小猫同时从同一点出发,背向而行,那么多少秒后第1次相
遇?
如果它们继续不停跑下去,2分钟内一共会相遇多少次?
最后一次相遇时距离出发点多远?
「分析」请同学们在右边的圆上,画出两只猫运动的过程.
两只小猫第一次相遇需要多长时间?
第二次相遇需要多长
时间?
那两分钟之内相遇多少次呢?
练习
1.在420米的圆形跑道上,甲、乙两人从同一点出发,背向而行.甲的速度是8米/
秒,乙的速度是6米/秒,那么两人第8次相遇时,距离出发点多远?
从例题1可以看出,两只小猫从出发到第一次相遇需要25秒•第一次相遇时两只小猫
在一起,继续出发的话,到下一次相遇仍然需要25秒.由此可见,环形路线上的相遇问题
也具有周期性.同样的,环形路线上的追及问题也具有周期性.若甲、乙两人同地同向出发,
甲快乙慢,那么甲第一次追上乙时,恰好比乙多跑一整圈;
从此刻开始,甲想要再次追上乙,就必须再多跑一整圈.如此反复不断地追下去,甲每次追上乙都恰好要多跑一整圈,所以每
次追及的路程差是一样的•如果两人的速度差保持不变,那每次追上的时间也就相同了.
在环形路线问题中,善用周期性会使一些问题变得简单,特别是一些多次相遇和多次追
及的问题.
例题2.有一个周长是40米的圆形水池•甲沿着水池散步,每秒钟走1米;
乙沿着水池跑步,每秒跑3.5米,甲、乙从同一地点同时出发,同向而行•当乙第8次追上甲时,他
还要跑多少米才能回到出发点?
「分析」在环形路线上,快的每追上一次慢的,就要多跑一圈.本题乙第8次追上甲时,
就比甲多跑了8圈,这时怎么确定两人的位置?
练习:
2.环形跑道周长400米,甲、乙两名运动员同时顺时针自起点出发,甲每分钟跑300
米,乙每分钟跑275米.甲第4次追上乙时距离起点多少米?
如果不是同地出发,这样的环形路线问题还具有周期性吗?
例题3.甲、乙两人在400米长的环形跑道上跑步.甲以每分钟300米的速度从起点跑
出.1分钟后,乙以每分钟280米的速度从起点同向跑出.请问:
甲出发后多少分第一次追上乙?
如果追上后他们的速度保持不变,甲还需要再过多少分钟才能第10次追上乙?
「分析」从乙出发到甲第一次追上乙,跟从甲第一次追上乙到第二次追上乙,间隔的时
间一样吗?
从第几次追上开始就具有周期性了?
3.周长为400米的圆形跑道上,有相距100米的A,B两点.甲、乙两人分别从A、B两点同时相背而跑,速度分别是3米/秒和2米/秒.多少秒后两人第一次相遇?
如果相遇后
两人的速度保持不变,再过多少秒两人第10次相遇?
总的来说,环形上的行程问题比直线上的情况变化更多,更繁琐.在运动过程较复杂的
题目中,我们必须认真画图,仔细分析每一段运动过程.
同时匀速反向绕此圆
60米处又第二次相
例题4.如图,甲、乙两人分别从一圆形场地的直径两端点开始,形路线运动.当乙走了100米以后,他们第一次相遇,在甲走完一周前遇.求此圆形场地的周长.
「分析」题目中的已知条件很少,只知道两个与路程有关的
量,我们很难直接计算周长,先画图分析一下运动过程.
观察你所画出的示意图,题目给出的100米和60米是图中的哪一段?
如何利用这两段长度?
4.如图,有一个环形跑道,甲、乙二人分别从A、B两地出
发相向而行,第一次相遇在距离A点100米处的C点,第二次相遇在距离B点200米处的D点.已知AB长是跑道总长的四分之B
一,请问跑道周长为多少米?
D
例题5.小鹿和小山羊在某个环形跑道上练习跑步,小鹿比小山羊稍快.如果从同一起
点出发背向而行,1小时后正好第5次相遇;
如果从同一起点出发同向而行,那么经过1小
时才第一次追上.请问,小鹿和小山羊跑一圈各需要多长时间?
【分析】题目中并没有告诉环形跑道的周长是多少.想一想,跑道的周长是一个确定的数吗?
如果不是,如果周长的取值不同,对于结果有没有影响?
如图,一个正方形房屋的边长为12米•阿呆、阿瓜两人
分别从房屋的两个墙角出发,阿呆每秒钟行5米,阿瓜每
秒钟行3米•问:
阿呆第一次看见阿瓜时,阿瓜距离出发点多少米?
发相向而行,第一次相遇在距离A点100米处的C点,第二次相
遇在距离B点200米处的D点.已知AB长是跑道总长的四分之B
例题5.小鹿和小山羊在某个环形跑道上练习跑步,小鹿比小山羊稍快.如果从同一起点出发背向而行,1小时后正好第5次相遇;
如果从同一起点出发同向而行,那么经过1小时才第一次追上.请问,小鹿和小山羊跑一圈各需要多长时间?
【分析】题目中并没有告诉环形跑道的周长是多少.想一想,跑道的周长是一个确定的数吗?
如果不是,如果周长的取值不同,对于结果有没有影响?
例题6
如图,一个正方形房屋的边长为12米.阿呆、阿瓜两人分别从房屋的两个墙角出发,阿呆每秒钟行5米,阿瓜每秒钟行3米.问:
阿呆第一次看见阿瓜时,阿瓜距离出发
点多少米?
例题5.小鹿和小山羊在某个环形跑道上练习跑步,小鹿比小山羊稍快.如果从同一起点出发背向而行,1小时后正好第5次相遇;
如图,一个正方形房屋的边长为12米.阿呆、阿瓜两人分别从房屋的两个墙角出发,阿呆每秒钟行5米,阿瓜每秒钟行3米.问:
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