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三角函数周期题库
三角函数周期的求法
高中数学涉及到函数周期的问题,学生往往感到比较困难。
以下是有关三角函数周期的几种求法。
1.定义法:
定义:
一般地y=c,对于函数,如果存在一个不为零的常数,使得当取定义域内的每一个值时,
f(x+T)=f(x)
都成立,那么就把函数y=f(x)叫做周期函数;不为零的常数叫做这个函数的周期。
对于一个周期函数来说,如果在所有的周期中存在着一个最小的正数,就把这个最小的正数叫做最小的正周期。
下面我们谈到三角函数的周期时,一般指的是三角函数折最小正周期。
例1.求函数y=3sin()的周期
解:
∵y=f(x)=3sin()=3sin(+2)
=3sin()=3sin[]
=f(x+3)
这就是说,当自变量由x增加到x+3,且必增加到x+3时,函数值重复出现。
∴函数y=3sin()的周期是T=3。
例2:
求f(x)=sin6x+cos6x的周期
解∵f(x+)=sin6(x+)+cos6(x+)
=cos6x+sin6x=f(x)
∴f(x)=sin6x+cos6x的周期为T=
例3:
求f(x)=的周期
解:
∵f(x+)=
=
=
=f(x)
∴求f(x)=的周期:
T=
2.公式法:
(1)如果所求周期函数可化为y=Asin()、y=Acos()、y=tg()形成(其中A、、为常数,且A0、>0、R),则可知道它们的周期分别是:
、、。
例4:
求函数y=1-sinx+cosx的周期
解:
∵y=1-2(sinx-cosx)
=1-2(cossinx-sincosx)
=1-2sin(x-)
这里=1 ∴周期T=2
例5:
求:
y=2(sinx-cos3x)-1
解:
∵y=2(sinx-cos3x)-1
=2sin(3x-)-1
这里=3 ∴周期为T=
例6:
求y=tg(1+)的周期
解:
这里=,∴周期为:
T=/=
(2)如果f(x)是二次或高次的形式的周期函数,可以把它化成sinx、cosx、tgx的形式,再确定它的周期。
例7:
求f(x)=sinx·cosx的周期
解:
∵f(x)=sinx·cosx=sin2x
这里=3,∴f(x)=sinx·cosx的周期为T=
例8:
求f(x)=sin2x的周期
解:
∵f(x)=sin2x=
而cos2x的周期为,∴f(x)=sin2x的周期为T=
注:
以上二题可以运用定义求出周期。
例9:
求y=sin6x+cos6x的周期
解:
原函数次数较高,应先进降次变形,再求周期。
∵y=sin6x+cos6x
=(sin2x+cos2x)(sin4x-sin2x·cos2x+cos4x)
=(sin2x+cos2x)2-3sin2x·cos2x
=1-3sin2x·cos2x
=1-sin22x
=+cos4x
而cos4x的周期为T==,
∴y=sin6x+cos6x的周期为T=
例10:
函数y=3sin2x-2sinx·cosx+5cos2x的周期。
解:
利用三角恒等式对函数进行恒等变形,再求周期。
∵y=3sin2x-2sinx·cosx+5cos2x
=3-2sinx·cosx+2cos2x
=3-sin2x+cos2x+1
=4+2(cos2x-sin2x
=4+2cos(2x+)
∴y=3sin2x-2sinx·cosx+5cos2x的周期为T=
3.定理法:
如果f(x)是几个周期函数代数和形式的,即是:
函数f(x)=f1(x)+f2(x),而f1(x)的周期为T1,f2(x)的周期为T2,则f(x)的周期为T=P2T1=P1T2,其中P1、P2N,且(P1、P2)=1
事实上,由(既约分数),得T=P2T1=P1T2
∵f(x+P1T2)=f1(x+P1T2)+f2(x+P1T2)
=f1(x+P2T1)+f2(x+P1T2)
=f1(x)+f2(x)
=f(x)
∴P1T2是f(x)的周期,同理P2T1也是函数f(x)的周期。
例11:
求函数y=tg6x+ctg8x的周期。
解:
∵y=tg6x的周期为T1=,tg8x的周期为T2=
由P1T2=P2T1,得==,取P1=4,P2=3
∴y=tg6x+ctg8x的周期为T=P1T2=。
例12:
求函数y=sin2x+sin3x的周期
解:
∵sin2x的周期为T1=,sin3x的周期为T2=
而=,即是T=2T1=3T2,
∴y=sin2x+sin3x的周期为T=2T1=2
例13:
求函数y=cos+sin的周期
的恒等式,即对于自变量取定义域内的每个值时,上式都成立.
2、根据公式求周期
对于函数或的周期公式是,
对于函数或的周期公式是.
例3求函数的周期
解:
.
3、把三角函数表达式化为一角一函数的形式,再利用公式求周期
例4求函数的周期
解:
∴.
例5已知函数求周期
解:
∵
∴.
4、遇到绝对值时,可利用公式,化去绝对值符号再求周期
例6求函数的周期
解:
∵
∴.
例7求函数的周期
解:
∵
∴函数的最小正周期.
5、若函数,且,都是周期函数,且最小正周期分别为,如果找到一个正常数,使,
(均为正整数且互质),则就是的最小正周期.
例8求函数的周期
解:
∵的最小正周期是,的最小正周期是.
∴函数的周期,把代入得,即,
因为为正整数且互质,所以.
函数的周期.
例9求函数的周期
函数的周期性
--函数的周期性不仅存在于三角函数中,在其它函数或者数列中"突然"出现的周期性问题更能考查你的功底和灵活性,本讲重点复习一般函数的周期性问题
一.明确复习目标
1.理解函数周期性的概念,会用定义判定函数的周期;
2.理解函数的周期性与图象的对称性之间的关系,会运用函数的周期性处理一些简单问题。
二、建构知识网络
1.函数的周期性定义:
若T为非零常数,对于定义域内的任一x,使恒成立,则f(x)叫做周期函数,T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的
2.若T是周期,则k·T(k≠0,k∈Z)也是周期,所有周期中最小的正数叫最小正周期。
一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非所都有最小正周期。
如常函数f(x)=C;
3.若函数f(x)对定义域内的任意x满足:
f(x+a)=f(x-a),则2a为函数f(x)的周期。
(若f(x)满足f(a+x)=f(a-x)则f(x)的图象以x=a为图象的对称轴,应注意二者的区别)
4.若函数f(x)图象有两条对称轴x=a和x=b,(a
5.若函数f(x)图象有两个对称中心(a,0),(b,0)(a
(证一证)
6.若函数f(x)有一条对称轴x=a和一个对称中心(b,0)(a
举例:
y=sinx,等.
三.双基题目练练手
1.f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数,且f
(1)=0,则方程f(x)=0在区间(0,6)内解的个数的最小值是()
A.5B.4C.3D.2
2.若函数y=f(x)是周期为2的奇函数,且当x∈(0,1)时f(x)=x+1,则f(π)的值为()
A.π-5B.5-πC.4-πD.π-4
3.是偶函数,且为奇函数,则f(1992)=
4.设存在常数p>0,使,则的一个周期是,f(px)的一个正周期是;
5.数列中
简答精讲:
1、B;2、A;3、993;因(-1,0)是中心,x=0是对称轴,则周期是4;4、,;5、;由已知,周期为6。
四.经典例题做一做
【例1】已知f(x)是以2为周期的偶函数,且当x∈(0,1)时,f(x)=x+1.求f(x)在(1,2)上的解析式。
解法1:
(从解析式入手,由奇偶性结合周期性,将要求区间上问题转化为已知解析式的区间上。
)
∵x∈(1,2),则-x∈(-2,-1),
∴2-x∈(0,1),∵T=2,是偶函数
∴f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x+1=3-x.
x∈(1,2).
解法2(从图象入手也可解决,且较直观)f(x)=f(x+2)
如图:
x∈(0,1),f(x)=x+1.∵是偶函数
∴x∈(-1,0)时f(x)=f(-x)=-x+1.
又周期为2,x∈(1,2)时x-2∈(-1,0)
∴f(x)=f(x-2)=-(x-2)+1=3-x.
提炼方法:
1.解题体现了化归转化的思想,即把未知的(1,2)上向已知的(0,1)上转化;
2.用好数形结合,对解题很有帮助.
【例2】f(x)的定义域是R,且f(x+2)[1-f(x)]=1+f(x),若f(0)=2008,求f(2008)的值。
解:
周期为8,
法二:
依次计算f(2、4、6、8)知周期为8,须再验证。
方法提炼:
1.求周期只需要弄出一个常数;
2.注意既得关系式的连续使用.
【例3】若函数在R上是奇函数,且在上是增函数,且.
①求的周期;
②证明f(x)的图象关于点(2k,0)中心对称;关于直线x=2k+1轴对称,(k∈Z);
③讨论f(x)在(1,2)上的单调性;
解:
①由已知f(x)=-f(x+2)=f(x+2+2)=f(x+4),故周期T=4.
②设P(x,y)是图象上任意一点,则y=f(x),且P关于点(2k,0)对称的点为P1(4k-x,-y).P关于直线x=2k+1对称的点为P2(4k+2-x,y).
∵f(4k-x)=f(-x)=-f(x)=-y,∴点P1在图象上,图象关于点(2k,0)对称.
又f(x)是奇函数,f(x+2)=-f(x)=f(-x)
∴f(4k+2-x)=f(2-x)=f(x)=y,∴点P2在图象上,图象关于直线2k+1对称.
③设1 ∵f(x)在(-1,0)上递增,∴f(2-x1) 又f(x+2)=-f(x)=f(-x)∴f(2-x1)=f(x1),f(2-x2)=f(x2). (*)为f(x2) 提炼方法: 总结解周期性、单调性及图象对称性的方法。 【研究.欣赏】已知函数y=f(x)是定义在R上的周期函数,周期T=5,函数y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数.又知y=f(x)在[0,1]上是一次函数,在[1,4]上是二次函数,且在x=2时函数取得最小值-5. ①证明: ;②求的解析式; ③求在上的解析式. 解: ∵是以为周期的周期函数,且在[-1,1]上是奇函数,∴,∴. ②当时,由题意可设, 由得,∴, ∴. ③∵是奇函数,∴, 又知在上是一次函数,∴可设,而, ∴,∴当时,, 从而时,,故时,. ∴当时,有,∴. 当时,, ∴ ∴. 五.提炼总结以为师 1.函数的周期性及有关概念; 2.用周期的定义求函数的周期; 3.函数的周期性与图象的对称性之间的关系; 同步练习2.7函数的周期性 【选择题】 1.f(x)是定义在R上的奇函数,它的最小正周期为T,则f(-)的值为 A.0B.C.TD.- 2.(2004天津)定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数.若f(x)的最小正周期是π,
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